2022高等代数(北大版第三版)习题答案I.docx

2022高等代数(北大版第三版)习题答案I篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考答案 第三章 线性方程组 1． 用消元法解下列线性方程组： ?x1?x?1?1)?x1 ?x?1??x1 ?3x2?5x3?4x4?1?3x2?2x3?2x4??2x2?x3?x4?x5?4x2?x3?x4?x5?2x2?x3?x4?x5 ?x1?2x2?3x4?2x5?1 x5??1? ?x1?x2?3x3?x4?3x5?2 ?3 2)? 2x?3x?4x?5x?2x?72345?1 ?3 ?9x?9x?6x?16x?2x?25 2345?1 ??1 x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44 ?? x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?34 3)?4)? 4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?1 ??7x?3x?x??3?7x?2x?x?3x??0 234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1? 3x1?2x2?x3?x4?1????3x1?2x2?2x3?3x4?2 5)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?1 ?2x?2x?2x?x?1?5x1?x2?x3?2x4??1 234 ?1?2x?x?x?3x?4 234?1 ??5x1?5x2?2x3?2 解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有 ?1 ?1??1??1??1?1?0???0??0??0 33?2?420000?1 521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?1101010 1??1 ???10??3???0??3??0 ??1???01??1???20??0???0??0??0 ?0???0 30?5?7?10100?1 5?3?4?4?400?200 ?42358?12000 01?1?1101010 1? ??2?2? ?2??2??1???2?0? ?0?0?? 因为 rank(A)?rank(B)?4?5， 所以方程组有无穷多解，其同解方程组为 ?x1?x4?1? ?2x1?x5??2 ， ? ?2x?03? ??x?x?0?24 解得 ?x1?x?2??x3?x?4??x5 ?1?k?k?0?k??2?2k 其中k为任意常数。

2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有 ?1?1??2??9 ?1?0? ?? ?0???0 2?1?3?9 2 0?346 ?31?516 ?3 2?322 1??1 ??20??? ?07???25??0 2 ? ??????? 2?3?7?27 1 2 0?346 ?34111 0? 2?5?2?16 3 1? ?1? 5??16? ?1? ?3?34?51 ? 2529?8? 011?? 333 ? 033?2529??72?1 ? 0??334?51 ? 2529? 8 001?1? 333 ? 0000??01? 因为 rank(A)?4?rank(A)?3， 所以原方程无解 3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有 ?1?0??1??0 ?213?7 3?103 ?4111 4??1???30??? ?01????3??0 ?215?7 3?1?33 ?4151 4? ??3? ?3???3? ?1?0???0??0 0101 1?12?4 ?2108 ?2??1 ???30 ??? ?012????24??0 0101 0020 0008 ?8? ?3 ?， 12??0? 因为 rank(A)?rank(A)?4， 所以方程组有惟一解，且其解为 ?x1??x2??x3?x?4 ??8?3?6?0 。

4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 ?3?2??4??7?1?0???0??0 4?311?27?1717?34 ?53?131?819?1938 7??1???22??? ?416???3??79??1 ???200 ??? ?020????40??0 7?311?2 7?1700?83?131?819009? ??2? 16??3?9???20 ?， 0??0? 即原方程组德同解方程组为 ?x1?7x2?8x3?9x4?0 ， ? ??17x2?19x3?20x4?0 由此可解得 ??x1???x2??x3?x?4 ?? 3171917 k1?k1? 13172022 k2k2， ?k1?k2 其中k1,k2是任意常数 5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 ?2?3??5??2?2?7???10???10 1?21?11010?12?11?1010 1?32?31?101 1??2??27??? ?3?1???4??41??2??47??? ?102????3??0 10101010?1010?10101?11?21?1011? ?4? ?2??5?1??4? 2???1? 因为 rank(A)?4?rank(A)?3， 所以原方程组无解。

6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 ?1?3? ?2 ??2??5 22325 3 11?11 1 1? ?1??1??1??2? ? ???????32245 55355 42132 0? ?0?1 ??0?0?? 2122 2?12 ??2?5?????1???1?0? 05000 22?15 00101 10 0??0??20?? ?1? ????05??0???1 ?00??? 05000 07?65 00101 10 0? ?2?1???， 5?0?0?? 即原方程组的同解方程组为 ?5x2?7x3?2 ? 1?6 ， ?x?x???34 5?5 ???x1?x3?0 解之得 ?x1??x2???x3??x4? ?k?25?75k ?k?? 15?65k ， 其中k是任意常数 2.把向量?表成?1,?2,?3,?4的线性组合. 1)??(1,2,1,1) ?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1)?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1)2)??(0,0,0,1) ?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1)?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1)解 1）设有线性关系 ??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4 代入所给向量，可得线性方程组 篇二：高等代数(北大版)第7章习题参考答案 第七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 性空间V中，A?????,其中??V是一固定的向量； 2） 性空间V中，A???其中??V是一固定的向量； 3） 在P中，A(x1,x2,x3)?(x1,x2?x3,x3)； 3 3 4） 在P中，A(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)； 2 2 5） 在P[x]中，Af(x)?f(x?1) ； 6） 在P[x]中，Af(x)?f(x0),其中x0?P是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A??? n?n n?n 。

8） 在P中，AX=BXC其中B,C?P是两个固定的矩阵. 解 1)当??0时,是;当??0时,不是 2)当??0时,是;当??0时,不是 3)不是.例如当??(1,0,0),k?2时,kA(?)?(2,0,0), A(k?)?(4,0,0), A(k?)? kA(?) 4)是.因取??(x1,x2,x3),??(y1,y2,y3),有 A(???)= A(x1?y1,x2?y2,x3?y3) =(2x1?2y1?x2?y2,x2?y2?x3?y3,x1?y1) =(2x1?x2,x2?x3,x1)?(2y1?y2,y2?y3,y1) = A?+ A?， A(k?)? A(kx1,kx2,kx3) ?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1)?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1) 3 = kA(?)， 故A是P上的线性变换 5) 是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x],并令 u(x)?f(x)?g(x)则 A(f(x)?g(x))= Au(x)=u(x?1)=f(x?1)?g(x?1)=Af(x)+ A(g(x))， 再令v(x)?kf(x)则A(kf(x))? A(v(x))?v(x?1)?kf(x?1)?kA(f(x))， 故A为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x]则. A(f(x)?g(x))=f(x0)?g(x0)?A(f(x))?A(g(x))， A(kf(x))?kf(x0)?kA(f(x)) 7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)?kA(a) 8)是，因任取二矩阵X,Y?Pn?n，则A(X?Y)?B(X?Y)C?BXC?BYC?AX+AY， A(kX)=B(kX)?k(BXC)?kAX，故A是P n?n 上的线性变换 2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4=B4=C4=E,AB?BA,A2B2=B2A2，并检验(AB)2=A2B2是否成立 解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为 Aa=(x,-z,y), A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)， Ba=(z,y,-x), B2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z)， Ca=(-y,x,z), C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z)， 所以A4=B4=C4=E。

2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB?BA 3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A2B2=B2A2 4)因为(AB)。