大学高数三角函数总结参考.docx

备战考试 | 千锤百练三角函数1. ①与〔0°≤＜360°〕终边一样的角的集合〔角与角的终边重合〕：②终边在x轴上的角的集合： ③终边在y轴上的角的集合：④终边在坐标轴上的角的集合： ⑤终边在y=x轴上的角的集合： ⑥终边在轴上的角的集合：⑦假设角与角的终边关于x轴对称，那么角与角的关系：⑧假设角与角的终边关于y轴对称，那么角与角的关系：⑨假设角与角的终边在一条直线上，那么角与角的关系：⑩角与角的终边互相垂直，那么角与角的关系：2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745〔rad〕3、弧长公式：. 扇形面积公式：4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取〔异于原点的〕一点P〔x,y〕P与原点的距离为r，那么 ； ； ； ； ；. .5、三角函数在各象限的符号：〔一全二正弦，三切四余弦〕6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx8、同角三角函数的根本关系式： 9、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限〞三角函数的公式：〔一〕根本关系 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 〔二〕角与角之间的互换公式组一 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 , ,,. 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：〔A、＞0〕定义域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数〔〕；上为增函数上为减函数〔〕上为增函数〔〕上为减函数〔〕上为增函数；上为减函数〔〕注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，假设在上递增〔减〕，那么在上递减〔增〕.②与的周期是.③或〔〕的周期.的周期为2〔，如图，翻折无效〕. ④的对称轴方程是〔〕，对称中心〔〕；的对称轴方程是〔〕，对称中心〔〕；的对称中心〔〕.⑤当·；·.⑥与是同一函数,而是偶函数，那么.⑦函数在上为增函数.〔×〕 [只能在某个单调区间单调递增. 假设在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.〔奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称〔奇偶都要〕，二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：〕奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.〔定义域不关于原点对称〕奇函数特有性质：假设的定义域，那么一定有.〔的定义域，那么无此性质〕⑨不是周期函数；为周期函数〔〕；是周期函数〔如图〕；为周期函数〔〕；的周期为〔如图〕，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： .⑩ 有.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y＝Asin〔ωx＋φ〕的振幅|A|，周期，频率，相位初相〔即当x＝0时的相位〕．〔当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号〕，由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长〔当|A|＞1〕或缩短〔当0＜|A|＜1〕到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．〔用y/A替换y〕由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长〔0＜|ω|＜1〕或缩短〔|ω|＞1〕到原来的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向左〔当φ＞0〕或向右〔当φ＜0〕平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin〔x＋φ〕的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向上〔当b＞0〕或向下〔当b＜0〕平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．〔用y+(-b)替换y〕由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin〔ωx＋φ〕〔A＞0，ω＞0〕〔x∈R〕的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法1.三角函数恒等变形的根本策略〔1〕常值代换：特别是用“1〞的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等〔2〕项的分拆与角的配凑如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=〔α+β〕－β，β=－等〔3〕降次与升次〔4〕化弦〔切〕法〔4〕引入辅助角asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定2.证明三角等式的思路和方法〔1〕思路：利用三角公式进展化名，化角，改变运算构造，使等式两边化为同一形式〔2〕证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等4.解答三角高考题的策略〔1〕发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进展所谓的“差异分析〞〔2〕寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系〔3〕合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化四、例题分析例1．，求〔1〕；〔2〕的值.解：〔1〕； (2) .说明：利用齐次式的构造特点〔如果不具备，通过构造的方法得到〕，进展弦、切互化，就会使解题过程简化。

例2．求函数的值域解：设，那么原函数可化为，因为，所以当时，，当时，，所以，函数的值域为例3．函数〔1〕求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；〔2〕证明：函数的图像关于直线对称解： (1)所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，，所以成立，从而函数的图像关于直线对称例4． 函数y=cos2x+sinx·cosx+1 〔x∈R〕,〔1〕当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；〔2〕该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：〔1〕y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +〔2sinx·cosx〕+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,〔k∈Z〕，即 x=+kπ,〔k∈Z〕所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}〔2〕将函数y=sinx依次进展如下变换：〔i〕把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；〔ii〕把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍〔纵坐标不变〕，得到函数y=sin(2x+)的图像；〔iii〕把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍〔横坐标不变〕，得到函数y=sin(2x+)的图像； 〔iv〕把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。

综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像说明：此题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考察三角函数的图像和性质这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式此题〔1〕还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}例5．函数 〔Ⅰ〕将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； 〔Ⅱ〕如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解： 〔Ⅰ〕由=0即即对称中心的横坐标为〔Ⅱ〕由b2=ac 即的值域为.综上所述， ， 值域为 . 说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、根本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进展整合的能力。

例6．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，(1)求的值；(2)假设，且a=c，求的面积解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因为，，所以，因为，所以，又，所以2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为三角函数一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)1．点P〔tanα，cosα〕在第三象限，那么角α的终边在 〔 〕A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．集合M＝{x|x＝±，k∈Z}与N＝{x|x＝，k∈Z}之间的关系是 〔 〕A.MN B.NM C.M＝N D.M∩N＝ 3．假设将分针拨慢十分钟，那么分针所转过的角度是 〔 〕A.60° B.－60° C.30° D.－30° 4．以下各角〔1〕787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是 。