线性代数同济大学4-3.pptx

1 updown回顾 §2.向量组的线性相关性 向量组线 性相关的充要条件（判定定理）1 2 m 1 2 m 充要条件为k1 1 k22 kmm o(二) 齐次线性方程组(1,2,,m)x  o 有非零解，即 R (1,2,,m) m(三) 向量组 1,2,,m (m  2)中至少有一个向量可以 被 其它m  1个向量线性表示2 updown向量组线 性无关的充要条件（判定定理） 给定向量 1 2 m 1 2 m(一) 对于任意一组不全为零的数 k1,k2,,km 都有 k11  k22  kmm  o若 k11  k22  kmm  o，则必有 k1  k2   km  0  o 只有零解，即 R (1,2,,m)  m(三)向量组 1,2,,m (m  2)中任何一个向量都不可 以被 其它向量线性表示。

因而线性无关也称作线性独立3 updown是唯一的 .线性相关性与向量组的关系(1) 包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .(2)若 向量组 A：1,2,,m 线性相关,则向量组B :1,,m,m1 也线性相关.反言之,若向量组 B 线性无关,则向量组A也线性无关 . 部分相关则整体相关，整体无关则部分无关（3 ）m个n维向量组成的向量组，当维数 n小于向量 个数 m 时一定线性相关 特别的 n1个 n 维向量必线性相关4) 设向量组 A:1,2,,m线性无关 ,而B :1,,m,b 线性相关 ,则向量 b必能由向量组 A线性表示 ,且表示式4 updown结论 n阶方阵A可逆的充要条件为A的列（行）向量组 线性无关 结论若对于两个 n 维向量组1, 2,, m与1,2,,m 矩阵 Kmm , 使得 (1, 2,, m)  (1,2,,m)K (1)若 K 可逆,则1, 2,, m线性无(相)关  1,2,,m线性无(相)关 (2)若 K 不可逆，则1, 2,, m必线性相关。

5 updownexer2 如果 n维向量组1,2,3与1,2满足下面的关系式,3  51 22则向量组1,2,3一定线性 相关结论若向量组1,,m可由向量组1,,n线性表示，且 m  n,则1,,m必线性相关有同学发现：3  41 26 updown问题：若R(A)=r，那么体现在向量组上有什么特征？§3 向量组的秩一、最大线性无关组二、矩阵与向量组秩的关系三、向量组秩与矩阵秩等价的结论7 updown矩阵秩的概念 1、 行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .2、 矩阵A的秩R(Amn) 是A中不等于零的子式的最 高阶数.而 矩阵A  (aij)mn有n个m维列向量   a21 a22  a2 j  a2n      am1 am2  amj  amn问题：若R(A)=r，那么体现在向量组上有什么特征？8 updown它的秩为 0.等价定义一、最大线性无关向量组定义１ 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量1,2,,r，满足（1）向量组A0 :1,2,,r线性无关； （2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有r 1个向量的话）都线性相关， 那末称向量组A0是 向量组A的一个最大线性无关向量组 （简称最大无关组） ; 最大无关组所含向量个 数r称为向量组的秩 .记作RA只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定9 updown最大无关组的等价定义设向量组 A0 :1,2,,r 是向量组 A的一个部分组， 且满足(1)向量组 A0 :1,2,,r 线性无关; (2)向量组 A的任一向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么向量组 A0 是向量组 A的一个最大无关组。

说明 向量组与它的最大无关组是等价的.若1,2,,r为向量组 A的一个最大无关组,则 A  {c11  c22  crr |ci R,i 1,2,,r}10 updown二、矩阵与向量组秩的关系定理１矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.证 设A  (a1,a2,,am)，R(A)  r,并设r阶子式Dr  0.Dr  0  R(D)  r  D所在的A中的r列线性无关；又由A中所有r  1阶子式均为零 A中任意r  1个列向量都线性相关. Dr所在的r列是A的列向量的一个最大无关组，所以,列向量组的秩等于 r. 类似可证 , A的行向量组的秩也等于 R(A).11 updown向量组a1,a2,,am的秩也记作R(a1,a2,,am)结论若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的r行即是行向量组的一个最大无关组.说明（1）最大无关组不唯一;（2）向量组与它的最大无关组是等价的.12 updown全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的例1一个最大无关组及 Rn 的秩.解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组E :e1,e2,,en 是线性无关的，又知 Rn 中的任意 n1个向量都n故 Rn 的秩等于 n.说明 由n维向量构成的向量组的秩不超过 n.13 updown 向量b能由向量组A:1，2， ,m线性表示的定理1充分必要条件为 R(1，2， ,m)  R(1，2， ,m,b)定理1’ 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是 RA  RB.(其中B  A{b})三、向量组秩与矩阵秩等价的结论14 updownRA  RC定理2向量组 B :1,2,,l 可由向量组 A:1,2,,m 线 性表示的充要条件为 R(1,2,,m)  R(1,2,,m,1,2,,l)定理2’向量组 B 可由向量组 A线性表示的充要条件为其中C  A B.15 updownRA  RB  RC 其中C  A B推论 向量组 B :1,2,,l 与向量组 A:1,2,,m 等价的充要条件为 R(1,2,,m)  R(1,2,,l )  R(1,2,,m,1,2,,l )推论’ 向量组 B与向量组 A等价的充要条件为定理3 向量组B :b1,b2,,bl能由向量组A:1,2,,m 线性表示，则 R(b1,b2,,bl)  R(1,2,,m)返回18页16 updown定理3’向量组 B 能由向量组 A线性表示，则 RB  RA。

证明 设向量组 B的一个最大无关组为 B0 :b1,,br，向量组 A的一个最大无关组为 A0 : a1,,as ,B0组能由 B组线性表示B组能由 A组线性表示而 A 组能由 A0 组线性表示 ， 故B0组能由A0组线性表示 , 因而 R(b1,b2,,br )  R(a1,a2,,as)即r  s ,RB  RA17 updown等价的向量组的秩相等 .推论1证明 设向量组 A与向量组 B的秩依次为 s 和 r.向量组A与B等价  两个向量组能相互线性表示，故s  r与r  s同时成立,所以s  r.b11  b1n 18 updown设 Cmn  AmsBsn，则 R(C) R(A),R(C) R(B).推论2 设矩阵 C和A用其列向量表示为C  (c1,,cn),A  (a1,,as). 而B  (bij)，  (c1,,cn)  (a1,,as)    bs1  bsn 证由知矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示， 因此R(C)  R(A).CH3 th715页19 updown设 Cmn  AmsBsn，则 R(C) R(A),R(C) R(B).推论2CH3 th7知矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，因此R(C)  R(A).因CT  BT AT ,由上段证明知R(CT )  R(BT ),即R(C)  R(B).20 updown设向量组B含r个向量，则它的秩为 r,证推论3 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组.条件.因A组能由B组线性表示，故A组的秩  r， 从而A组中任意r  1个向量线性相关，所以向量组B满足定义1所规定的最大无关组的最大无关组的等价定义定义121 updown1于是矩阵 Kr 可逆，并有 (a1,,ar)  (b1,,br)Kr即A0组能由B0组线 性表示. 从而A组能由B组线 性表示 . 从而A组与B组等价 .例2 设向量组 B 能由向量组 A线性表示,且它们的秩相等，证明向量组 A与向量组 B 等价. 证一设两个向量组的秩都为 r，并设 A组和 B 组的最大无关组依次为 A0 :a1,,ar 和 B0 :b1,br, 因 B 组能由 A组线 性表示，故 B0 组能由 A0 组线 性表示，即有 r 阶方阵 Kr 使(b1,,br)  (a1,,ar)KrR(Kr)  R(b1,,br)  r, 但R(Kr)  r，因此R(Kr)  r.22 updown例2 设向量组 B 能由向量组 A线性表示,且它们的秩相等，证明向量组 A与向量组 B 等价. 证二 设向量组A和B的秩都为 r. 因B组能由A组线 性表示,故A组和B组合并而成的向量组(A,B)能由A组线 性表示. 而A组是(A,B)组的部分组,故A组总 能由(A,B)组线 性表示.所以(A,B)组与A组等价,因此(A,B)组的秩也为r. A0组是( A,B )组的最大无关组.又因B组的秩为r,故B组的最大无关组B0含r个向量,因此B0组也是(A,B)组的最大无关组 ,从而(A,B)组与B0组等价.23 updown(例2 设向量组 B 能由向量组 A线性表示,且它们的秩相等，证明向量组 A与向量组 B 等价.由A组与(A,B)组等价，A,B)与B0等价,推知A组 与B组等价. 注意 本例把证明两向量组A与B等价,转换为证 明它们的最大无关组A0与B0等价.证法一证明B0用A0线性表示的系数矩阵可逆;证法二实质 上是证明A0与B0都是向量组(A,B)的最大无关组.24 updown例2 设向量组 B 能由向量组 A线性表示,且它们的秩相等，证明向量组 A与向量组 B 等价.证三 设向量组 A与向量组 B 合成向量组 C，因为 B 组能由 A组线 性表示 ,故 R。