连续型随机变量.doc

第三章连续型随机变量教学目的1 •使学生掌握一、二维分布函数的定义及性质2 •使学生熟练掌握一维连续型分布函数与密度函数的关系，熟悉均匀分布，指数分布，--分布的密度3 .使学生熟记正态密度及其性质，牢固掌握正态分布表的查法4 •使学生掌握二维连续型随机变量联合分布（密度）与边际分布（密度）的概念及计算，了解条件分布的概念5 .使学生牢固掌握连续型随机变量独立性的概念及判别6 .使学生掌握一、二维连续型随机变量函数的分布，熟记 2 , t, F分布的构造性定理（了解其推导）7 .使学生牢固掌握连续型随机变量期望、方差的定义、性质，熟记正态分布的期望、方差、均方差，掌握随机变量协方差（含协方差阵）相关系数，矩概念，了解条件期望的概念8.掌握一维随机变量特征函数的定义及性质，熟记单点分布，二项分布、正态分布的特征函数，了解有关结论的推导，了解逆转公式，理解唯一性定理的含义§ 3.1随机变量及分布函数定义3.1设（i -F ,P ）是一个概率空间，对于-■ - ］是一个取实值的单值函数，对任意的8 Bi，有{「：匚⑺i- B} F，则称为（JF ）上的一个（实）随机变量 上面的三1表R1上的Borel；「-域A由三1的构成可见C i- } ={ x}是一个事件，这个事件的概率是研究 匚广：|的统计规律的基础，这个概率显然与 x有关，是X的函数，我们称它为 'I：.- ：1的分布函数。

定义3.r （i\F,P ）是一概率空间， ■为定义在（「，F ）上的随机变量，我们称F x]=P x x R1是随机变量：心的概率分布函数，简称分布函数或分布用d.f简记 由概率测度的性质易推出，分布函数具有如下基本性质定理3.1变量F x是r.v.的d.f，则有（1） 对任意实数x, x2，有F x, < F x2 ,（单调不减性）△ A（2） F - lim F x = 0,（ 3.3）F - lim F x =1一 w —说（3） 对一切x • R1, F x -0二F x （左连续性）(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)证：（1）由C 人]二C x2可得（2）由分布函数的定义有lim F x lim F m ，x )二 m j._::lim F x = lim F n（m,n为整数）0空F x空1，由（1） F x又是单调函数，故有由概率的可列可加性有仁 p{_比 Y 匕 Y +=c} =P』送(k 兰 ©Yk+1)QO八P k乞 k 1k :n n=lim ' P k _ k 1 = lim ' 〔F k 1 - F k 1m 「 m .：:k k =mn ・ n —-=lim F n A lim F mn )二 m -：:所以必有 lim F m = lim F x =0x—lim F n = lim F x =1m )： ： m > ： 1（3）因F x单调有界，所以对任一实数点 x , F x的左极限存在，且Fx—O Pm/Xn 珂im：FXn其中 X[ X2 7 • -： Xn 「 r x n「二又因为Xi — x八一 x^ - Xkik4由概率的可列可加性P x^ X 八 PXk — Xk .1k=1由上述消去F X1得F x二lim F Xn二F x - 0n_反过来，也能证明，满足上述（1）――（ 3 ）的函数是一个概率分布函数。

由上述可知，分布函数是一种分析性质良好的函数，便于处理易验，对任意B 3i PG - B可用•的d.f表示出来閃f 1、由（亡兰x）=n ^Yx+—［及概率的连续性得n.丿n =1(3.5)(3.6)F _x =1 -F x(3.7)F 二x 二F x 0 -F x(3.8)F x, x2 = F x2 - F x, 0(3.9)可见分布函数F x全面描述了随机变量的统计规律，对于离散型随机变量来说，其分布列和分布函数是一一对应可互推的，但在离散型场合，我们用分布列更方便例3.1将三个可辨的质点随机投入三个格子（假定每个格子装任意多质点）以数，求•的分布列及分布函数并求 P -3 ' 2 解：显然■的的可能取值为0, 1, 2，33=2 二C3即012P221939其分布函数为x乞00 x乞11 x乞2x - 2‘02F(x)=P(© Yx)»991P -3 2 二 F 2 -F -3 0 =8 -0 = 89 9可见离散型分布函数是一个阶梯函数，它在 r.v/的每一个可能取值点 ak处有跃度Pk =PF：訓例 3.2 若 p •二 a =1F(x)=」x Max ' a正好是示性函数I x - a例3.3 Poisson分布的分布函数。

§ 3.2连续型随机变量定义3.2若•是随机变量，F x是它的分布函数，如果存在可积函数 P x，使对任意x • R1，有xF x = =P y dy （3.11）则称］q ］为连续型随机变量，相应的F x称为连续型分布函数，同时称P x为F x的概率密 度函数，简称密度其具有如下性质：（1） P x _ 0（3.12） （2）「P X dx =1（3.13）J_=o反之，任意一个实函数 P x具有以上两个性质，则 P x就是一个概率密度由（3.11）式它就定义一个连续型分布函数，由定义看出连续型分布函数是处处连续的，是一个绝对连续函 数由上定义可得，对连续型 r.v/ ~ P xP 捲乞 X2 AFX2 -Fx" I P y dy （ 3.14）x1特别地： P* =X1 A0 （注意：（匚=X1 ）不一定是不可能事件）• •• P（X1 兰巴兰X2 ）= P（X1 Y 匕 YX2 ）= P（X1 Y E EX2 ）=「P（y dy （ 3.15）X1由于 P x x = P y dy = F x ；二x - F x , （ 很小时）因此密度P x的值在一定程度上反映了 r.v.在X附近取值的大小，从某种意义上说，连续型随机变量的密度函数与离散型变量的概率函数相当。

在P X的连续点处，有F X = P X （ 3.16）下面举几个常见的连续型分布1 .均匀分布r 1若r.v.的密度形如P x二b _ai 0a X b则称.服从（a, b）上的均匀分布，记为~ U a,b这时•的d.f为0 x兰ax _ aF(x)=』—— aYx兰bb—a1 x a b2•指数分布若r.v.'的密度形如：(3.17)P（x）=/° , x>_0 （入〉0，为参数）则称 芒服从指数分布0 x兰0指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如某些电子元件的寿命服从指数分布，指数分布与几何分布一样，具有"无记忆性”即有P - s t| - Si=P t统计学中常称指数分布为“永远年青”的分布3.正态分布若亠；「二-0是两个常数，则是- -个概率密度(3.18)其它称（3.18）为正态密度它对应的 d.f为(3.19)Fx「1 九_ 2 ■:称F x为正态分布，简记为N〔S,；「2 ,如果一个随机变量 '的分布函数是正态分布， 则称•为正态变量，记为'~ N：［L,；「2特别称N （0,1）分布为标准正态分布，其密度记为 x，相应的分布函数记为 处［X ,即X21 _c XX e 2，处［X 二 y dy （ 3.20）x'2n 耳（一）正态密度的性质如下（1） © ~ N（巴CT2其密度 P（X y描述的曲线称为正态曲线，它是以 x = P为对称轴的钟 形曲线。

2 ）在X = -1处，曲线处于最高点，（3）-决定曲线形状，c越大，曲线越矮胖，'的分布越平缓，c越小，曲线越高瘦，•越是集中取值于 「之附近见书P115图3.7）（二）正态分布表设 ~ N 0,1，则在u _0时u 1WdxsX2ue 2 dxJ之值可在书 P502表3中查出:(1)PU1 U2 八 U2 -G U1(2)当u1 '0时，门」-1 •处〔u(3)若 ~ N亠二2，则可以验证© — 4 ~ N 0,1，于是有CT；Yx2 )=P X1— Y ——X2CJCJ=G例3.4已知E ~ N(P,/ )，查表求P隹—円兰kI(k=1,2,3J 解：pf^ —卩 ^crJ^pt^-cr 兰匕兰 A+cr}+

4.『―分布（Gamma）若r.v.'的分布密度形如：[21 OM -{X xA0P X X e , 0（ ： - 0, ： -0）[0 x"则称•服从参数为（）的丨-分布，记为 - :■/ ，其中厂虑为丨-积分值， 即:「o：x“e%lx （: -0）-积分具有性质：厂以亠1二：疔m（1 \ F（1）=F（2）=1,F -「折<2）Pin 1二n!, （n为自然数）§ 3.3多维随机向量及其分布（一） n维联合分布及边际分布定义3.3设 ……,；■■是定义在同一可测空间（「，F ）上的随机变量，则称这 n个随机变量的整体（ ■……,\ ■ ■）为（「，F ）上的n维随机向量 或n维随机变量由可测空间的性质及一维随机变量的定义，对任意 n个实数x1,x2 xn，若记qQ Cn 」：，Xi 则有―Cf Xi,…,n Xn 二 Fi 4定义33 称n元函数，FXi,X2，…，Xn = Pi Xi/' , n Xn ［为n维随机变量（1,…；）的联合分布函数，简称联合分布或分布联合分布函数可以完全描述 n维随机向量的统计规律设（,）为二维随机向量，那么二维联合分布 F x,y二x, yf，表点（',）落如下图阴形区域的概率。