2024年高考数学专项复习：排列组合之两个计数原理（解析版）.pdf

2 0 2 4年高考数学专项复习排列组合专题0 1两个计数 原 理（解析版）专 题1两个计数原理类型一、加法原理【例 1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种.【例 2】若、b 是正整数，且 O +6 W 6,则以（a,6）为坐标的点共有多少个？【例 3】用0 到9 这 10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 B.328 C.360 D.648【例 4】用数字1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A.8 B.24 C.48 D.120【例 5】用0,1,2,3,4,5 这 6 个数字，可以组成_ _ _ _ 个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.类型二、乘法原理【例 6】公园有4 个门，从一个门进，一个门出，共有 种不同的走法.【例 7】将 3个不同的小球放入4 个盒子中，则 不 同 放 法 种 数 有.【例 8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种.【例 9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种.【例 10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【例 11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【例 12】用 1,2,3,4,5,6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和 2 相邻，这 样 的 六 位 数 的 个 数 是 （用数字作答）.2 2【例 13从集合 1,2,3,，11 中任选两个元素作为椭圆方程三+=1 中的 和，则能组成落在矩形m n区域3=（x,y）|x|ll,且|川9 内的椭圆个数为（）A.43 B.72 C.86 D.90【例 14若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为=一/,值 域 为 1,9 的“同族函数”共 有（）A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10个【例 15】某银行储蓄卡的密码是一个4 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如 2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0,并且千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有（）A.90 个 B.99 个 C.100 个 D.112 个【例 16】从集合 4,-3,2,1,0,1,2,3,4,5中，选出5 个数组成子集，使得这5 个数中的任何两个1数之和不等于1,则取出这样的子集的个数为（）A.10 B.32 C.110 D.220【例 17若 x、y 是整数，且|x|W 6,|x|W 6,则以（x,切 为坐标的不同的点共有多少个？【例 18】用0,1,2,3,4,5 这 6 个数字：可以组成 个数字不重复的三位数.可以组成 个数字允许重复的三位数.【例 19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？【例 20】将 3 名教师分配到2 所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种.A.5 B.6 C.7 D.8类型三、基本计数原理的综合应用【例 21】用 0,3,4,5,6 排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是.（用数字作答）【例 22若自然数 使得作竖式加法 +（+1）+（+2）均不产生进位现象.则称为“可连数”.例 如：32是“可连数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+24+25产生进位现象.那么，小于1000的“可连数”的个数为（）A.27 B.36 C.39 D.48【例 23】由正方体的8 个顶点可确定多少个不同的平面？【例 24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和.【例 25】用0,1,2,3,4,5 这 6 个数字，可以组成 个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.【例 26】某 通 讯 公 司 推 出 一 组 手 机 卡 号 码，卡 号 的 前 七 位 数 字 固 定，从“0000”到“9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A.2000 B.4096 C.5904 D.8320【例 27】同室4 人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4 张贺年卡不同的分配方式有（）A.6 2.9 种 C.11种 D.23 种【例 28】某班新年联欢会原定的6 个节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目，如果将这3 个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A.504 B.210 C.336 D.120【例 29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙 3 种不同的树苗，从中取出5 棵分别种植在排成一排的5 个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5 个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A.15 种 B.12 种 C.9 种 D.6 种【例 30】用0 到9 这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 B.328 C.360 D.648【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（A.3种)B.4种C.5种D.6种3专 题1两个计数原理类型一、加法原理【例 1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种.【解析】18+38=56.【例 2】若、b 是正整数，且 O +6 W 6,则以（a,6）为坐标的点共有多少个？【解析】6义 6=36.【例 3】用 0 到9 这 10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 B.328 C.360 D.648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8 时，个位有4 种选法，因百位不能为0,所以百位有8 种，十位有8 种，共有8 8 4=256当尾数为0 时，百位有9 种选法，十位有8 种结果，共有9 8 1 =72根据分类计数原理知共有256+72=328故选：B.【例 4】用数字1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A.8 B.24 C.48 D.120【解析】由题意知本题需要分步计数，2 和 4 排在末位时，共有=2 种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有=4 3 2=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2 义 24=48（个）.故选：C.【例 5】用0,1,2,3,4,5 这 6 个数字，可 以 组 成一个大于3 0 0 0,小于5421的数字不重复的四位数.【解析】分四类：千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有 2 H=120个；千位数字为5 时，百位数字为0,1,2,3之一时，有团=4 8 个；千位数字为5 时，百位数字是4,十位数字是0,1之一时，有 4 a =6 个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.故 答 案 为 175.类型二、乘法原理1【例 6】公园有4 个门，从一个门进，一个门出，共有 种不同的走法.【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，则进门的方法有4 种，出门的方法也有4 种，则不同的走法有4x4=16种【例 7】将 3个不同的小球放入4 个盒子中，则 不 同 放 法 种 数 有.【解析】根据题意，依次对3 个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4 种不同的放法，同理第二个小球也有4 种不同的放法，第三个小球也有4 种不同的放法，即每个小球都有4 种可能的放法，根据分步计数原理知共有即4 4 4=64不同的放法，故答案为:64.【例 8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种.【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有用安排方法，故不同的安排种法有6 x 4=120,故答案为120.【例 9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种.【解析】3乜 8=684【例 10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3 种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法36=729种.【例 11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【解析】由题意，每项比赛的冠军都有6 种可能，因为有3 项体育比赛，所以冠军获奖者共有6 6 6=63种可能【例 12】用1,2,3,4,5,6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和 2 相邻，这 样 的 六 位 数 的 个 数 是 （用数字作答）.【解析】解析：可分三步来做这件事：第一步:先将3、5 排列，共有片 种排法;2第二步：再将4、6 插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2团种排法;第三步：将 1、2 放到3、5、4、6 形成的空中，共有C 种排法.由 分 步 乘 法 计 数 原 理 得 共 有 耳=40（种）.答案为：402 2【例 13】从集合 1,2,3 ,，11 中任选两个元素作为椭圆方程三+与=1中的加和，则能组成落在矩形m n区域3=（x,且 I川 9 内的椭圆个数为（）A.43 B.72 C.86 D.90【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m n,所以有两类，一类是加，从 1,2,3,.6,7,8 任选两个不同数字，方法有4 =56令 一 类 是/从 9,1 0,两个数字中选一个，”从 1,2,3,.6,7,8 中选一个方法是：2 义 8=16所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72故选：B.【例 14若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为了=/,值 域 为 1,-9 的“同族函数”共 有（）A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10个【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有-1、1 中的一个和-3、3 中的一个，满足条件的定义有：-1 ,3、-1 ,3、1 ,3、1 ,3、1,1,3、1,1,3、-1,-3,3、1 ,-3,3、-1 ,1,3,3,共 9 个.故选：C.【例 15】某银行储蓄卡的密码是一个4 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如 2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0,并且千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有（）A.90 个 B.99 个 C.100 个 D.112 个【例 16】从集合 4,3,2,1,0,1,2,3,4,5中，选出5 个数组成子集，使得这5 个数中的任何两个数之和不等于1,则取出这样的子集的个数为（）A.10 B.32 C.110 D.220【解析】从集合 1,-2 ,-3,-4 ,0,1,2,3,4,5 中，随机选出5 个数组成子集，共有G05种取法，即可组成G05个子集，3记“这 5 个数中的任何两个数之和不等于1”为事件A,而两数之和为1 的数组分别为(1,2),(2,3),(-3,4)(-4,5),(0,1),I 包含的结果有只有有一组数的和为1,有。

5 1 c 4 3 G l e=160种结果有两组数之和为1,有61=60种，则A包含的结果共有220种故答案为：220.【例 17若 x、y 是整数，且|x|W 6,|x|W 6,则以(x,y)为坐标的不同的点共有多少个？【解析】整数x,y。