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容斥原理容斥原理教学目标1 . 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2 .掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识要点 一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算 ？求两个集合并集的元素的个数, 不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数 之和中减去重复计算的元素个 数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AUB A B AI B （其中符号“ U ”读作“并「相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理？图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部 分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AI B,即阴影面积？图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AI B,即阴影面积.行：第一步：分别计算集合 A B的元素个数，然后加起来，即先求 A B （意思是把A B的一切元素 都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C AI B （意思是“排除” 了重复计算的元素个数）？、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和 A类元素的个数B类元素个数C类元 素个数 既是A 类又是B类的元素个数 既是B类又是C类的元素个数 既是A类又是C类的元素个数 同时是 A类、B类、C类的元素个数？用符号表示为：AU BU C A B C AI B BI C AI C AI BI C了 i次.1.先包含：重叠部分AI B、图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元 素的个数，大圆表示C的元素的个数.ABCBI C、C I A重叠了 2次，多加2,再排除:在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（书恩图）来帮助分析思考.例题精讲模块一、两量重叠问题【例1】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加.这个班有多少人参加了语文或 数学兴趣小 组？（ 2级）【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？（2级）【巩固】四（二）班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写 完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人.【巩固】⑴问语文数学都写完的有多少人？【巩固】⑵只写完语文作业的有多少人？（ 2级）【例2】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了 ？这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？（2级）【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了 ？一班有多少人两项比赛都没有参加？（2级）【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人?这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？（2级）【例3】某次英语考试由两部分组成，结果全班有 12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人?【例4】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人.两项都会的有10人，两项都不会的有9人.这个班一共有多少人？（ 4级）【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的 有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ （ 4级）【例5】在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有 18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？（ 4级）既没来喽桃• 乂没无杏的68块玻璃不是甲组【例6】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃.那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？（ 4级）【例7】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？ （ 4级）【例8】47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人.问：两门者口在95分以上的有多少人？（ 4级）【巩固】（第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又 不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语？问既懂英语又懂俄语的有多少人？ （ 4级）【例9】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作 业都完成了?已知做完语文作业的有 37 人；做完数学作业的有 42 人 ?这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？ （4 级）四年级科技活动组共有 63 人 ?在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同 学有 42 人，装配好一架飞机模型的同学有34 人 ?每个同学都至少完成了一项活动?问：同时完成这两项活动的同学有多少人？ （4 级）40科技活动小组有 55 人 . 在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有32人?每个同学都至少完成了一项制作？问两项制作都完成的同学有多少人？（ 4级）【例10】一次数学测验，甲答错题目总数的1,乙答错3道题，两人都答错的4题目是题目总数的1?求甲、乙都答对的题目数.（6级）6I【例11】小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这8名同学站成一排？其中小孙和小周不能相邻，小钱和小吴也不能相邻，小李必须在小郑和小王之间（可相邻也可不相邻）？则不同的排列方法共有中？（6级）模块二、三量重叠问题【例12】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人?其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人?而手中只有红、黄两种小旗的有 9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有 4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？（ 6级）【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三 种球都爱好, 也没有一个人三种球都不爱好？问：既爱打篮球又爱打 排球的有几人？ （ 6级）【例13】四年级一班有46名学生参加3项课外活动？其中有24人参加了数学 小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3. 5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人?求参加文艺小组的人 数.（6级）【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项 ？其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文 兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8人，参加自然同时又参加语文 兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.（6级）【解析】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行,参加围棋比赛的有42 人，参加中国象棋比赛的有55 人，参加国际象棋 比赛的有 33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18 人，同时参加 了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比 赛的有 9 人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多 少人？ （ 6 级）14 】 新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出 ?如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、 跳舞但没有参加合唱的人多 4 人； 50 人没有参加演奏； 10 人同时参加 了跳舞和合唱但没有参加演奏； 40 人参加了合唱；那么，同时参加了 演奏、合唱但没有参加跳舞的有 ?（ 6五年级三班有46 名学生参加三项课外活动，其中 24 人参加了绘画小组， 20 人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 3.5 倍，又是三项活动都参加人数的 7 倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的 2 倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有 10 人，求参加朗诵小组的人数?（ 6 级）【巩固】六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项?其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人？问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？（6级）【例15】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕？问：⑴ 三种都带了的有几人？⑵只带了一种的有几个？ （8级）【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有 要？（ 8级）16】 全班有 25 个学生，其中 17 人会骑自行车， 13 人会游泳， 8人会滑冰 , 这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩 都及格了，但又都不是优秀?若全班有 6 个人数学不及格，那么，17 】 ⑴ 数学成绩优秀的有几个学生？18 】 ⑵ 有几个人既会游泳，又会滑冰？（ 8 级）五年级一班共有36 人，每人参加一个兴趣小组，共有 A、 B 、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加 C 组、 D 组的人数相同，参加 E 组的人数最少，只有 4 人 . 那么，参加 B 组的有 .（ 8 级）19 】 五一班有 28 位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一 个 . 其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数， 没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有 6 个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组全参加的人数的 5 倍，并且知道3 个小组全参加的人数是一个不为 0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人?8 级）【例20】在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多 3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李 子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子？如果参与采摘水果的总人数 是100 ,你能回答下。