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第04章 一元时间序列分析方法金融计量pdf第四章 一元时间序列分析方法[学习目标]¾ ¾ ¾ ¾时间序列数据是经济分析中的一类重要数据时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，在金融数据分析中具有广泛的应用一元时间序列模型是一类特别的模型，我们可以利用金融变量自身过去的数值，也可以依据误差项的当前及过去的数值中所供应的信息来建立模型并做出预料这与通常计量经济学中所谈论的构造式模型不同, 构造式模型是试图用其他说明变量的当前值或过去值的变动来说明因变量的改变模型,其本质上是多元的; 而通常, 时间序列模型是缺乏理论根底的,它的建立与运用不是建立在关于变量的行为模式的任何理论模型根底上的,而是从观测到的数据中实证地获得其特征模型本章将表达时间序列分析的根本概念和时间序列模型的识别、估计、检验，包括自回来模型〔AR〕、移动平均模型〔MA〕、自回来移动平均模型〔ARMA〕、单整自回来移动平均模型〔autoregressive integrate moving average models，ARIMA〕以刚好间序列平稳性与单位根检验了解平稳性和白噪声过程； 熟识随机序列模型； 熟识ARIMA过程；驾驭时间序列的平稳性和单位根检验。

第一节 时间序列的相关概念一、平稳性平稳性是时间序列分析的根底判定一个序列平稳与否特别重要，因为一个序列是否平稳会对它的行为及其性质产生重要的影响在时间序列平稳性，一般包括以下两类平稳过程：1、严格平稳过程〔Strictly Stationary Process〕假如对全部的t，随意正整数n和随意n个正整数(t1, ,tn)，〔yt1, ,ytn〕的联合分布与(yt1+m, ,ytn+m)的联合分布是一样的, 即：P{yt 1≤b1, ,yt n≤bn}=P{yt1+m≤b1, ,ytn+m≤bn} 〔4.1〕那么称时间序列{yt}为严格平稳的换句话说,严平稳要求序列{yt}的概率测度在时间的平移变换下保持不变2、弱平稳性过程〔Weakly Stationary Process〕假如一个时间序列{yt}的均值，方差在时间过程上保持是常数，并且在任何两时期之间的协方差值仅依靠于该两时期间的距离或滞后，而不依靠于计算这个协方差的实际时间，那么称时间序列{yt}是弱平稳的弱平稳的时间序列有如下性质：E(yt u)(yt u)=σ2<∞E(yt u)=u1金融计量pdfE(yt1 μ)(yt2 μ)=γt2 t1 t1,t2 〔4.2〕 可见，假如一个时间序列概率分布的全部阶矩都不随时间改变，那它就是严格平稳的；而假如仅仅是一阶矩和二阶矩〔即均值和方差〕不随时间改变，那它就是弱平稳的。

在金融文献里，通常假定资产收益率序列是弱平稳的我们对某种时间序列做平稳性假定是因为，假设一个时间序列是非平稳的，那么我们只能探究其在探究期间的行为每个时间序列数据集都是特定的一幕，结果，就无法把它推广到其它期间因此，从预料角度看，这种非平稳时间序列没有什么太大的实际价值 二、自协方差〔auto-covariance〕确定yt是如何与它自身的从前值相关的，对于一个平稳的时间序列，它只依靠于yt与yt 1之差其中，E[yt E(yt)]E[yt s E(yt s)]=γs,s=0,1,2 〔4.3〕被称为自协方差函数另一种更为简洁的方法运用自相关系数来描述他们之间的关系考虑弱平稳时间序列当yt与它的过去值yt l线性相关时，可以把相关系数的概念推广到自相关系数，yt与{yt}，yt l的相关系数称为yt的间隔l为的自相关系数，通常记为ρl，在弱平稳性的假定下它只是l的函数，定义ρlCov(yt,yt l)γl== 〔4.4〕γ0Var(y)t这里用到弱平稳序列的性质Var(yt)=Var(yt 1)由定义，我们有ρ0=1，ρl=ρ l和 1≤ρl≤1并且，一个弱平稳序列yt是前后不相关的当且仅当对全部l>0有ρl=0。

而我们要分析的时间序列数据是随机过程的一个样本，因此，我们只能计算样本的自相关函数，也称样本自相关系数定义为：ρl=t=l+1∑(yTTt y)(yt l y) , 0≤l<T 1 〔4.5〕t∑(yt=1 y)2 依据定义易知，样本自相关函数随着l的增加而下降且趋于零但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列下降速度快得多 三、白噪声过程假如时间序列{yt}是一个有有限均值和有限方差的、独立同分布的随机变量序列，那么称时间序列yt为白噪声特殊的，假设时间序列还听从均值为0，方差为σ的正态分布，那么 22金融计量pdf这个序列称为高斯白噪声白噪声是一种非常重要的时间序列，它是其它各类型时间序列的重要组成局部，在金融市场效率理论中具有重要的意义Tsay21对于白噪声序列，自相关系数为零在实际应用中，假如全部样本的自相关函数接近为零，那么认为这个序列为白噪声序列假设一个随机过程满意：E(yt)=μVar(yt)=σ2γt r σ2假设t=r= 0假设t≠r 〔4.7〕那么我们称之为白噪声过程〔white noise process〕因此，白噪声过程的均值和方差均为常数，且除滞后零阶外，自协方差都为零。

因此，白噪声过程的自相关系数在s=0时的值为1除外，其余时刻均为0假如μ=0，且上述三个条件都成立，那么这一过程就称为带有零均值的白噪声过程为说明这一过程，在此我们特举例说明这里，我们选取了上海证券交易所上市的“浦发银行”〔交易代码：600000〕在2005年的全年收益率数据，剔除波动率超过5%的异样数值后的收益率时间序列，就表现为一个由白噪声过程产生的时间序列〔见图4-1〕 图4-1：由白噪声过程产生的时间序列假如进一步假定yt是听从标准正态分布的,而样本的自相关系数也是近似地听从如下正态分布： ～N(0,1/T) 〔4.8〕 γs 表示从样本中估计得到的滞后s阶的自相关系数.这一结果这里，T是指样本容量，γs 可以用来对自相关函数进展显著性检验, 通过给自相关函数建立一个置信区间, 来检验其估计得到的自相关系数是否显著地不等于零比方，置信度95％的置信区间是：brooks-2043金融计量pdf±1.96 s落在这个区间外，那么滞后s阶的自相关系对给定的s值，假如样本的自相关系数ρ数为零的假设就被拒绝。

还可以运用Q统计量对全部m个自相关系数ρs是否同时为零进展联合检验 金融应用中常须要检验的几个自相关系数是否同时为零，Box和Pierce(1970)提出了混成检验统计量： k2 〔4.10〕 Q(m)=T∑ρ k=1m其中，T为样本容量，m为最大滞后长度Q统计量通常用于检验一个时间序列是否是白噪声在大样本中，它近似听从自由度为m的χ分布在实际的检验中，通常会计算出不同滞后阶数的Q统计量，自相关系数和偏自相关系数假如各阶Q统计量都没有超过由设定的显著性水平确定的临界值，那么承受原假设，即不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0；假如在某一滞后阶数m，Q统计量超过设定的显著性水平的临界值，那么拒绝原假设，说明序列存在m阶自相关由于Q统计量的值要依据自由度m来估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q统计量有效的重要因素然而，用Box-Pierce统计量来检验小样本的性质并不是很好在小样本状况下，该统计量经常导致错误的决策为提高有限样本检验的成效，Ljung和Box(1978)年提出修正统计量：2Q(m)=T(T+2)∑*m k2ρT k 〔4.11〕k=1从Ljung-Box统计量的表达可以看到，(T+2)和(T k)两项在渐进意义上可相互抵消，从而Ljung-Box检验等同于Box-Pierce检验。

对于时间序列线性依靠关系的混合检验，这一统计量也特别适用其次节 随机序列模型假设对每一个固定的t，yt是一个随机变量，那么y1，y2，┅yt，┅为随机时间序列而提醒随机时间序列自身改变规律和相关关系的数学表达式就是时间序列分析模型随机时间序列分析模型分为三类：自回来模型〔auto-regressive model, AR〕、移动平均模型〔moving-average model,MA〕和自回来移动平均模型〔auto-regressive moving average model,ARMA〕对于任一个时间序列，怎样判定它是遵循纯AR过程〔假设是的话，阶数p取什么值〕，纯MA过程，〔假设是的话，阶数q取什么值〕或是ARMA模型，此时p和q各取多少我们将遵循以下四个步骤对这三个模型做一具体介绍：步骤一：识别就是找出适当的p和q值我们即将说明怎样借助相关图和偏相关图来解决此类问题步骤二：估计一旦区分适当的p和q值，下一步便是估计模型中所含自回来和移动平 4金融计量pdf均项的参数一般状况下可用简洁的最小二乘法进展计算，但有时那么有必要寻求非线性估计方法步骤三：诊断选定模型并估计其参数之后，下一步就要看所选的模型对数据拟合的是否够好。

对所选模型的一个简洁的检验，是看从该模型估计出来的残差是不是白噪声；假如是，就可承受这个详细的拟合；假如不是，我们必需重新在做步骤四：预料ARMA建模方法之所以得以普及，理由之一是它在预料方面的胜利有很多事例用这个方法做出的预料比用传统的计量经济建模方法做出的预料更为牢靠，特殊是在短期预料方面 一、自回来模型〔AR〕假设一个时间序列可表示为yt=φ0+φ1yt 1+εt 〔4.12〕其中，{εt}为白噪声，E(εt)=0，var(εt)=σε，那么称rt为一阶自回来过程，或简称2为AR(1)假定序列是弱平稳的，那么E(yt)=μ，Var(yt)=γ0，Cov(yt,yt l)=γl,其中μ,γ0是常数，γl是l的函数而与t无关对式〔4.12〕两边取期望，得E(yt)=φ0+φ1E(yt 1) 〔4.13〕 在平稳性的假定下，E(yt)=E(yt 1)=μ，从而μ=φ0+φ1μ 或 E(xt)=μ=φ0(4.14) 1 φ1可见，第一，假设φ1≠1，那么yt的均值存在；其次，yt的均值为0当且仅当φ0=0。

利用φ0=(1 φ1)μ，我们可以把AR(1)模型写成如下形式：yt μ=φ1(yt 1 μ)+εt 〔4.15〕 对等式两边平方，然后取期望得到Var(yt)=φ1Var(yt 1)+σt 〔4.16〕22在平稳性假定下，Var(yt)=Var(yt 1)故σt2Var(yt) 〔4.17〕 21 φ1由于随机变量的方差是非负有限的，这就要求φ1<1这样，AR(1)模型的弱平稳性可推得 1<φ1<1反之，假设 1<φ1<1，可以证明xt的均值，方差，自协方差是有限的。