1.1.2 余弦定理(二)[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式,能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题.知识点一 余弦定理及其推论1.a2=b2+c2-2bccos__A,b2=c2+a2-2cacos__B,c2=a2+b2-2abcos__C.2.cos A=,cos B=,cos C=.3.在△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角,c2>a2+b2⇔C为钝角;c20).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,变形可得:sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)解 由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A==.所以sin A==.由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样,都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理,还是余弦定理,必要时也可列方程(组)求解.同时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能利用某个定理的信息.(2)解题时,还应注意,当把条件转化为角之间的关系时,还应注意三角恒等变换公式的应用.跟踪训练2 在△ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B.(1)求角B;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解 (1)由bsin A=acos B及正弦定理,得sin B=cos B,即tan B=,因为B是三角形的内角,所以B=.(2)由sin C=2 sin A及正弦定理得,c=2a.由余弦定理及b=3,得9=a2+c2-2accos,即9=a2+4a2-2a2,所以a=,c=2.题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3 在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:=.证明 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,∴a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B,∴2(a2-b2)=2accos B-2bccos A,即a2-b2=accos B-bccos A,∴=.由正弦定理得=,=,∴==,故等式成立.反思与感悟 (1)证明三角恒等式,关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有:左⇒右;右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种:一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系转化为角的关系.跟踪训练3 在△ABC中,若acos2+ccos2 =,求证:a+c=2b.解 由题a(1+cos C)+c(1+cos A)=3b,即a+a+c+c=3b,∴2ab+a2+b2-c2+2bc+b2+c2-a2=6b2,整理得ab+bc=2b2,同除b得a+c=2b,故等式成立.例4 已知钝角三角形的三边BC=a=k,AC=b=k+2,AB=c=k+4,求k的取值范围.错解 ∵c>b>a,且△ABC为钝角三角形,∴C为钝角.由余弦定理得cos C==<0.∴k2-4k-12<0,解得-20,②由①②知0k+4,即k>2.正解 ∵c>b>a,且△ABC为钝角三角形,∴C为钝角.由余弦定理得cos C==<0,∴k2-4k-12<0,解得-2k+4,∴k>2,②由①②可知23,则x对角的余弦值<0且2+3>x,解得3,解得1