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第第六六章章 证证明明（（二二））一．全等三角形 1.全等三角形的几个公理： （1）两个三角形的两条对应边及它们的夹角对应相等的三角形全等（SAS） （2）两个三角形的两个对应角及它们的夹边对应相等的三角形全等（ASA） （3）两个三角形的三条边分别对应相等的两个三角形全等（SSS） （4）推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS） （5）性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等 [跟踪训练 1] （1） 已知，如图，在△ABC 和△A’B’C’中，AB=A’B’,∠B=∠B’, ∠C=∠C’. 求证：△ABC≌△A’B’C’2）已知，如图，线段AB 和 CD 相交于点 O，线段 OA=OD，OC=OB 求证：△OAC≌△ODB3）已知：如图，M 是线段 AB 的中点，∠C=∠D，∠1=∠2 求证：△AMC≌△BMD4）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，AB=AD求证：AC 平分∠BCD5）已知：如图，∠CAB=∠DBA，AC=BD求证：∠C=∠D，CB=DA2.（1）两个全等三角形对应边上的高对应相等；两个全等三角形对应角平分线对应相等； 两个全等三角形对应边上的中线对应相等。

（2）利用全等三角形证明线段相等或角相等，常须添加辅助线构造三角形，构造时有下 面两种情况：①待证的线段或角，在图形上不在两个全等的三角形之中，需添辅助线构造 三角形，使它们分别包括一个所要证的线段或角；②有些条件具备的全等三角形，图形中 没有直接显示出，需要添加辅助线才能发现 [跟踪训练 2] （1）已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD 和 CE 相交于点 F 求证：（1）∠B=∠C；（2）△BEF≌△CDF；（3）BF=CF2）如图，△ABC≌△DEF，∠A=500，∠E=200，则∠B=________，∠DFE=_________3）如图，已知 AC、BD 交于点 O，AB=DC，AC=BD求证：OA=OD二．等腰三角形 1.等腰三角形（含等边三角形）的性质 （1）定理：等腰三角形的两个底角相等简述：等边对等角； （2）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，也叫等腰 三角形三线合一定理； （3）推论：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 600这实际上是等边三角形 的性质 2.等腰三角形（含等边三角形）的判定 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

简述：等角对等边 [跟踪训练 3] （1）等腰三角形的一个角等于 300，则它的顶角的度数是__________________ （2）等腰三角形一腰上的中线把周长分成 15 和 12 两部分，则它的底边长是 __________ （3）如果等腰三角形的一个内角是 700，那么它的其他两个内角的度数是 _____________C'B'A'CBADCBAM21BCDACBDOABADC2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料——第 1 页2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料——第 2 页小杰数学材料 第六章 证明（二）小杰数学材料 第六章 证明（二）CBEFDADEFCBACDOBA学校：学校： 海阳市新英杰学校海阳市新英杰学校 班级班级____________ 姓名姓名__________________（4）如果等腰三角形的一个内角是 1000，那么它的其他两个内角的度数是 ____________。

5）已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD=CD求证：AB=AC3.有一个角是 300的直角三角形，它所对的直角边等于斜边的一半 4.等边三角形的有关定理 （1）有一个角等于 600的等腰三角形是等边三角形（即等边三角形的判定） （2）三个角都相等的三角形是等边三角形 [跟踪训练 4] （1）在△ABC 中，AB=AC，∠A=∠B，则△ABC 是_______________ （2）已知：如图，△ABC 是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD， 则∠ACD=__________；若 AD=2，则△ABC 的周cm 长=_3）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC，并且 AD=BD求证；AC=AB1 25.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推出矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立这种证明方法称为反证法 6.一般地形为“任何……，都有……”的命题的否定形式为“存在……，不具有……” ；形为“存在……，具有……”的命题的否定形式为“任意一个……，都不具有……” ；形为“……，都……”的命题的否定形式为“任意一个……，不都……” ；形为“……，最多有一个……”的命题的否定的形式为“……，至少有两个……” ；形为“……，至少有一个……”的命题的否定的形式为“……，不存在……”等等。

[跟踪训练 5] （1）反证法有哪几个步骤_____________________________________________________ （2）反证法反设应注意哪些问题______________________________________________ （3）在一个三角形中，不能有两个角是钝角的反设是____________________________ （4）求证：三角形中至少有一个角不大于 600三．直角三角形 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 2.直角三角形的判定定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形 3.互逆命题与互逆定理 （1）互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和 条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 （2）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两 个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的定理 4.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等即 HL 定理 [跟踪训练 6] （1）说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假 A.内错角相等，两直线平行。

B.等腰三角形的两个底角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.两边上高相等的三角形是等腰三角形 （2）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为___________ （3）如图，△ABC 中，AB=AC，BD⊥AC 于 D 点，CE⊥AB 于 E 点，O 是 BD、CE 的交 点求证：BO=CO4）如图，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是 CD上一点，且 CN=CD求证：△AMN 为直角三角形1 4四．线段的垂直平分线 1.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上 3.三角形的三条边的垂直平分线的性质定理：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点， 并且这一点到三个顶点的距离相等 线段的垂直平分线实质上是线段的一条对称轴在证题或作图时，要充分运用这个对称性[跟踪训练 7] （1）如图，点 D 在△ABC 的边 BC 上，且 BC=BD+AD，则点 DCBDACBDADCABCBODEADNCMBACDBA2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料——第 3 页2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料——第 4 页小杰数学材料 第六章 证明（二）小杰数学材料 第六章 证明（二）在________的垂直平分线上。

（2）在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E，若△ABC 与△BEC 的周 长分别为 13，9，则△ABC 的边长分别为_______________cmcm （3）如图，△ABC 为等边三角形，BD 是中线，延长 BC 到点 E， 使 CE=CD求证：点 D 段 BE 的垂直平分线上五．角平分线 1.定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2.定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 3.定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 [跟踪训练 8] （1）角平分线上的点到_______________的距离相等 （2）如图，P 在∠AOB 的平分线上，在利用角平分线性质定理推 证 PD=PE 时，必须满足的条件是____________________. （3）△ABC 中，∠B=900，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D 点，BC=10，CD=6，则 D 点到 AC 的距离为__________cmcm （4）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A=900，BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC 于 E，BC=10，求△DEC 的周长。

cm（5）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8现将直角边 AC 沿cmcm 直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长[ [自自 我我 检检 测测] ]一．选择题 1.下列命题为真命题的是（ ） A.有一个锐角和一条直角边相等的两个直角三角形全等 B.腰长相等，有一个角是 800的两个等腰三角形全等 C.两边中垂线的交点在第三边上的三角形是直角三角形 D.三角形一边上的中线等于这边的一半 2.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAD=300，AD=AE，那么∠EDC 为( )A.7.50 B.100 C.12.50 D.150 3.若△ABC 的三内角大小之比为 1:2:3,那么三内角所对边的比为( )A.1:2:3 B.1::2 C. D. 31:2 :31:1:24.已知点 P 是△ABC 的边 BC 的中点，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分别为 D，E，若 PD=PE，且 PD⊥PE，则△ABC 是（ ） A.任意直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形5.以 Rt△ABC 的斜边 AB 为斜边，另作一个 Rt△ABD，如果 BC=1,AC=,AD=2,那么 BD 等b 于（ ）A. B. C. D. 23b 21b 23b 25b6.如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，BD=1，∠A=300，则△ABC 的面积为（ cm ）A. B. C. D. 25cm24 5cm23cm22 3cm7.到三角形三边距离相等的点是（ ） A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条边的中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条高线的交点 8.如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，∠B=900，AD=12，CD=13，则四边形的面积为（ ）A.72 B.36 C.39 D.78 二．填空题9.Rt△ABC 中，∠ACB=900，∠B=300，CD⊥AB，垂足为 D， DE⊥AC，垂足为 E，若 AE=2，则 BD=______________. 10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 300，这个等腰三角形的 顶角等于_____。