备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题07常考常新的分段函数.doc

1专题专题 0707 常考常新的分段函数常考常新的分段函数【【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】】分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化.即“分段函数——分段看”.高考关于分段函数的考查，往往与函数的图象和性质相结合，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．1、分段函数的定义域与值域——各段的并集.2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起.3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性如果不便作出，则只能通过代数方法比较 ,f xfx的关系，要注意, xx的范围以代入到正确的解析式.4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值） ，若两个值相等，那么分段函数是连续的.否则是断开的.例如： 221,34,3xxfxxx，将3x 代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析.再比如  221,31,3xxfxxx中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段.（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数.例如： 13fxx，可转化为： 13,1 13,1xxfxxx 5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论.6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合.2【【经典例题经典例题】】例 1【2017 山东，文 9】设 ,01 21 ,1xxf xxx,若 1f af a,则1fa（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．例 2【2017 天津，文 8】已知函数|| 2,1, ( )2,1.xx f xxxx设aR，若关于x的不等式( ) ||2xf xa在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）（A）[ 2,2]（B）[ 2 3,2]（C）[ 2,2 3]（D）[ 2 3,2 3]【答案】A【解析】3【名师点睛】一般不等式恒成立求参数 1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为 0F x 的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围. 例 3.已知  21.1,01,0,1xxf xxx ，则下列选项错误的是（ ）A. ①是1f x 的图像 B. ②是fx的图像C. ③是 fx的图像 D. ④是 f x的图像【答案】D4例 4.函数 31,12sin,12xx f x x x ，则下列结论正确的是（ ）A. 函数 f x在1,上为增函数 B. 函数 f x的最小正周期为 4C. 函数 f x是奇函数 D. 函数 f x无最小值【答案】A【名师点睛】 （1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为 f x本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义.（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属于哪个解析式.本题中1x  就属于2sin2yx部分，所以才存在最小值.例 5【2017 课标 3，文理】设函数10( )20xxxf xx，，，，则满足1( )()12f xf x的 x 的取值范围是_________.【答案】1,45写成分段函数的形式：  132,02 1112,0222 121 2,2xxxxg xf xfxxxx  ，函数 g x 在区间11,0 , 0,,,22  三段区间内均单调递增，且：00 1111,201,212142g，据此 x 的取值范围是：1,4.【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.例 6【2018 届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知函数 2231,3{ 2,3xaxaxf xax（0a 且1a ） ，若 f x有最小值，则实数a的取值范围是（ ）6A. 50,6B. 51,4C. 550,1,64D. 50,1,4【答案】C故选C.例 7【2018 届四川省广元市高高三第二次统考】已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合 ，若函数 有零点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出图象如下图所示,由图可知,,令得,即与有交点,当过时斜率最小,为 ,当与相切时,斜率最大.设切点为,,故斜率为,故有斜率为.故选 .7【名师点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质,考查函数的零点问题,考查利用导数研究函数零点问题,考查求函数的切线方程的方法.分段函数的图象需要分成两段来画出,有四个零点等价于和有四个不同的交点.在利用导数求切线方程时,要注意已知点是切点还是曲线外一点.例 8【2018 届广西高三下学期第二次模拟】若函数是在 上的减函数，则 的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意可得 ，则.例 9【2018 届北京市朝阳区高三 3 月一模】已知aR，函数 211+10 π{ sin2,0.22xxxax xf xx ，，当0x 时，函数 f x的最大值是_____；若函数 f x的图象上有且只有两对点关于y轴对称，则a的取值范围是______．【答案】 1 211,28点，即方程211sin2122xxx xa 有两个正根，即函数2 11sin22122xxxyxxa  有两个零点，利用导数研究函数图像的走向，从而确定出所求的参数a的取值范围是11,2.例 10【2018 届北京市汇文实验中学高三九月月考】已知函数 143,0{ 2 ,0xaxaxf x ax ,若函数 f x的图像经过点13,8,则a ___________;若函数 f x满足对任意12xx,都有  12120f xf xxx成立,那么实数a的取值范围是___________.【答案】 1 21 3,2 4【解析】 1函数 f x的图象经过点138，，30，则31 8a ，解得1 2a  2函数 f x满足对任意12xx,都有  12120f xf xxx成立 f x为减函数 0x 时，  xf xa为减函数，则01a，且 01f0x 时，   1432f xaxa为减函数，9故430a， 3 4a ，且0xA时，   1012f xafA，则1 2a 综上所述可得实数a的取值范围是1 3 2 4，【名师点睛】本题主要考查的是函数的连续性以及函数单调性的性质，还考查了分段函数的解析式的求法及其图象的作法。

对于 1函数 f x的图象经过点138，，且30，即可求得1 2a ；对于 2，根据所给条件可得 f x为减函数，只要考虑0x 时的单调性即可精选精练精选精练】】1【2018 届河南省南阳市第一中学高三第十二次考】设函数若,则实数的 取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C2【2018 届河北省邯郸市高三一模】若函数 221,1{ 1,1xxf xxaxx在R上是增函数，则a的取值范围为（ ）A. 2,3 B. 2, C.  1,3 D. 1,【答案】A【解析】由题意得1{ 2,32 112 1a a a    ，选 A.103．函数 2log,0{ 2,0xx xf xa x有且只有一个零点的充分不必要条件是A. 0a  B. 102a C. 112a D. 0a 或1a 【答案】A【解析】函数 2log,0{ 2,0xx xf xa x，当0x 时，由 0f x ，得2log0x ，解得1x .由题意可知，当0x 时，  0f x 无解，即20xa无解，因为20,1x,所以0a 或1a .所以0a 是0a 或1a 的充分不必要条件.故选 A.4【2018 年山西省高考测试】定义在R上的函数 f x满足 fxf x，且当0x 时，  21,01{ 22 ,1xxxf xx.若对任意的,1xm m，不等式1fxf xm恒成立，则实数m的最大值是（ ）A. 1 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 3【答案】C将1xm代入可得： 23410mm 解得： 113m  11则实数m的最大值是1 3故选C点睛：本题考查的知识点主要是分段函数的应用以及函数奇偶性的性质。

分析当0x 时，当0x 时，可得函数 f x的单调性，由偶函数的性质可得1xxm，结合二次函数的图象和不等式恒成立思想，解不等式即可得到所求最大值5【2018 届江西省高三六校联考】已知则=__________.【答案】2【解析】∵=，∴故答案为：2.【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变。