初一数学绝对值典型例题精讲.doc
11页
第三讲 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的构成部分，它其中有关的基本思想及数学措施是初中数学学习的基石，但愿同窗们通过学习、巩固对绝对值的有关知识可以掌握要领 绝对值的定义及性质绝对值 简朴的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用绝对值的定义及性质绝对值的定义：在数轴上，一种数所相应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表达：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a＜0) （3） 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；（4） 任何一种数的绝对值都不不不小于这个数，也不不不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；（5） 若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；（7） |a|=|a|=a；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|[例1]（1） 绝对值不小于2.1而不不小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论对的的是（ ）A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0（3） 下列各组判断中，对的的是（ ）A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a=(-b) （4） 设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1） 结合数轴画图分析。
绝对值不小于2.1而不不小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2） 答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点33） 选择D4） 根据绝对值的非负性可以懂得|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[巩固] 绝对值不不小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？<分析>：绝对值不不小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0[巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案对的（ ） A.a＞b B.a=b C.a
1 n为偶数时，原式=1；n为奇数时，原式=-1小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b≥0） 若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0； 若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0； 若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0； 固然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增长到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0简朴的绝对值方程【例3】（1） 已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2） 已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3） 已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（4） 如果x，y表达有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？分析： （1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2 （4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x，x-y≤0； 当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意； 当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。
巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值分析：由于|x|=4，因此x=±4，由于|y|=6，因此y=±6 当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10； 当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2; 当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10【例4】解方程：（1） （2）|4x+8|=12 （3）|3x+2|=-1 （4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=，因此有x+5=±，进而可得：x=-，-； （2）4x+8=±12，x=1，x=-5 （3）此方程无解 （4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x与y互为相反数，因此x=3，y=-3，【例5】 若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值分析：a与b互为相反数，那么a+b=0 = 当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4； 当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4； 综上可得=4化简绝对式【例6】（1） 已知a=-，b=-，求的值（2） 若|a|=b，求|a+b|的值（3） 化简：|a-b|分析：（1）原式= （2）|a|=b，我们可以懂得b≥0，当a<0时，a=-b，|a+b|=0；当a≥0时，a=b，|a+b|=2b （3）分类讨论。
当a-b＞0时，即a＞b，|a-b|=a-b； 当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0； 当a-b＜0时，即a＜b，|a-b|=b-a巩固】 化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x≥8） 分析：（1）3.14<π，3.14-π＜0，|3.14-π|=π-3.14 （2）x≥8，8-x≤0，|8-x|=x-8例7】有理数a，b，c在数轴上相应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|CB0A分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c【巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|a0cb分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【巩固】数a，b在数轴上相应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||a0b分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b【例8】（1）若a<-b且，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2| （3）已知x<0 x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=，零点可以将数轴提成几段 当x≥，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2； 当-5≤x＜，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x； 当x<-5，x+5<0,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2【巩固】化简：|2x-1|分析：先找零点2x-1=0，x=，依次零点可以将数轴提成几段（1） x<,2x-1<0，|2x-1|=﹣（2x-1）=1﹣2x；（2） x=，2x-1=0，|2x-1|=0（3） x>，2x-1>0，|2x-1|=2x-1也可将（2）与（1）合并写出成果【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值 分析：先找零点，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2 依这三个零点将数轴分为四段：m＜0,0≤m＜1,1≤m＜2，m≥2 当m<0时，原式=﹣m﹣（m-1）-（m-2）=-3m+3 当0≤m＜1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3 当1≤m＜2时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1 当m≥2时，原式m+(m-1)+（m-2）=3m-3绝对值几何意义的应用|a|的几何意义：在数轴上，表达这个数的点离开原点的距离|a-b|的几何意义：在数轴上，表达数a，b相应数轴上两点间的距离【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值分析：由上题可知，本题中的式子值应为x所相应的点分别到3,5,2，-1，-7所相应的点距离和。 通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16这里我们可以把小学奥数中的有关知识联系到一起解说： 【小学奥数有关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，目前设立一种邮筒。
