曲线和曲面上的积分.ppt

曲线和曲面上的积分内容提要•Green公式：说明平面上简单闭曲线C的(第二型)曲线积分和C所围区域的积分之间的关系及其对有界区域的推广•Stokes公式：R3中双侧曲面S上的(第二型)曲面积分与其边沿的(第二型)曲线积分的关系•Gauss公式： Rn中n-1维双侧闭曲面S的(第二型)曲面积分和S所围区域上的积分之间的关系及其对有界区域的推广Green定理•设C是平面R2中的一条分段光滑简单闭曲线, 是C所围成的闭区域(C=),F=(P,Q)是定义在上的光滑向量场. 规定C的方向为逆时针方向,则下列Green公式成立•其中r=(x,y), 表示在闭曲线C上沿逆时针的方向积分. Green定理示意图Green定理的证明•Green定理的一般证明是复杂,但思想很简单: 就是将分成满足下列形式的小区域k:的并, 先在每一个上证明定理, 然后加起来. •这里仅对上面特殊区域证明定理. 设Green定理证明(续1)•由公式右端出发Green定理证明(续2)•同样的Green定理证明(续3)•两式相加就得到Green公式例题1•计算曲线积分其中L是由A(1,1)经B(3,2)到C(2,5),再回到A的三角形闭路•解:记=ABC所围成的区域, 此时L的方向是正向.Green公式例题1(续)•利用Green公式一般形式的Green定理•设是平面R2中的有界闭区域, 其边界由有限多条分段光滑的简单闭曲线组成, F= (P,Q)是定义在上的光滑向量场. 规定的方向(正向)为: 沿该方向前行, 区域保持在左侧, 则下列Green公式成立Green定理的推论•梯度场(积分与路径无关)定理: 单连通开集中的光滑向量场是梯度场的充要条件•区域面积计算公式梯度场定理•单连通开集: 设是一个平面开集. 如果任何中的简单闭曲线C所围的区域都包含在中, 就说是单连通的.•设是平面上的单连通开集, F=(P,Q)是中的一个光滑向量场, 则存在中的数值函数使得F= 的充分必要条件是梯度场定理证明•条件的充分性：假设条件(*)成立. 则连结在中任意两点的曲线积分仅与初始点和终点有关,因此F是梯度场.•条件的必要性：假设F= , 则Green公式例题2•计算其中C是绕原点(0,0)按逆时针方向的一条闭曲线.•解Green公式例题2(续)•注意这个向量场在原点不连续,因此我们不能得到所求的曲线积分为零. •记Cr为以原点为心,r为半径的圆周,当r充分小时, Cr包含在C所围成的区域内.•由一般形式的Green公式. 区域面积计算公式•设是平面上的有界闭区域, 其边界由有限多条分段光滑的简单闭曲线组成, 则的面积为Stokes定理•设是平面上的一个有界单连通闭区域,其边界为一条分段光滑的简单闭曲线.: 为曲面S的正则表示, S=()称作曲面S的边界. 规定S的方向与S的方向成右手螺旋.•设F=(P,Q,R)为S上的一个光滑向量场,则Stokes公式(续1)这个公式称作Stokes公式, 其中r=(x,y,z),称作向量场的旋度, 也记成curl F. •这个公式是Green公式到三维欧氏空间曲面上的推广. •设(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)). ={h(t)= (u(t), v(t)): t[a,b]}逆时针方向. Stokes公式(续2)•下面计算： •注意下面记号的省略Stokes公式(续3)•由Green公式•计算得到Stokes公式(续4)•这就有•所以Stokes公式(续5)•类似地有•相加就得到所要的公式#Stokes公式的简单记法•Stokes公式有下面的行列式记法一般形式Stokes定理•设是平面R2中的有界闭区域, 其边界由有限多条分段光滑的简单闭曲线组成. :   R3为单射分片光滑. S=(), S=(). F=(P,Q,R)为S上的一个分片光滑向量场,则•其中S的方向(侧)与S的方向成广义右手螺旋, 即站在S一侧, 沿S的方向前行,曲面S保持在左侧.#梯度场定理•单面连通开集: 设R3是开集. 如果任何中的简单闭曲线C, 存在分片光滑单射: B2, (B2)=C,就说是单面连通的,其中B2是平面上的单位圆盘.•设 R3是单面连通开集, F=(P,Q,R)是中的一个光滑向量场, 则存在中的数值函数使得F=的充分必要条件是 rot F=0.#。