全等三角形作辅助线专题一(重点：截长补短法)-可打印版.doc

全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折〞．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转〞．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折〞，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移〞或“翻转折叠〞；〔遇垂线与角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形〕5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线〔线段〕造全等1：，如图△ABC中，AB=5，AC=3，那么中线AD的取值围是_________.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.中考应用：以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系与数量关系．〔1〕如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；〔2〕将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，〔1〕问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC2：如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证:AB＝AD+BC3：如图，在，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：5:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值． 中考应用：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是AB上一个动点，假设∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°，判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论三、 找全等1. ：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．2．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明． 四.借助角平分线造全等说明：①遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．练习：1． ：△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．2.如图22，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：AE=ED．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD．分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．④利用角的平分线构造等腰三角形如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形． 例： 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．求证：CD=BE．全等三角形作辅助线·课后练习1．在△ABC中，∠BAC=60º，∠C=40º，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．求证：AB+BP=BQ+AQ． 2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．求证：∠C=2∠B． 3．，E为△ABC的∠A的平分线AD上一点，AB＞AC．求证：AB-AC＞EB-EC． 4．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC． 求证：∠A+∠C=180º．5．如下图，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E作交AD于点D，交BC于点C．求证：AD+BC=AB． 6．，如图，△ABC中，∠ABC=90º，AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：CD=AE． 7．△ABC中，AB=AC，∠A=100º，BD是∠B的平分线．求证：AD+BD=BC． 8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，且D是BC的中点．求证：AB=AC． 9．：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC的中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F．求证：BM=CF． 10.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD11.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 〔1〕说明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=，AC=，求AE、BE的长.中考应用:如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：〔1〕如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③〔2〕如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。