概率论与数理统计-第三章条件概率与事件的独立性.ppt

第三章 条件概率与事件的独立性,第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性 第五节 贝努利试验与二项概率,,,,,第一节 条件概率,,,,,定义 设A、B为两事件，且P(A)0，称已知事件A发生条件下事件B发生的概率为B的条件概率，记为P(B|A)例1.1 抛一颗骰子，观察出现的点数，令A={单}，B={小}，则知样本Ω={1,2,3,4,5,6}，而A={1,3,5}，B={1,2,3}由古典概型计算公式可得P(A)=1/2，P(B)=1/2，那么在事件A发生条件下，B事件发生的条件概率P(B|A)是多少呢？,可以肯定，P(B|A)应为2/3，即A已发生，样本空间缩减为{1,3,5}，此时只当{1,3}发生时，B事件才发生，故有P(B|A)=2/3而分析P(B|A)=2/3=(1/3)/(1/2)=P(AB)/P(A)，再检查，对古典概型而言，上式均成立，故上式可作为条件概率的具体描述公式设A、B为两事件，且P(A)0，则事件A发生条件下事件B发生的条件概率为,条件概率的计算公式,,,,,既然P(B|A)谓之条件概率，则可以验证P(B|A)满足概率的三条公理：,,,,,例1.2 设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20的这种动物能活到25岁以上的概率？,解：设这种动物活到20岁以上的事件为A，活到25岁以上的事件为B，则AB=B，P(A)=0.7，即P(AB)=P(B)=0.4 故,,,,,乘法定理：设P(A)0，则有P(AB)=P(A)P(B|A),乘法定理的推广：,特别地，当n=2时，即为乘法定理。

例1.3(抓阄问题) 1995年全国足球甲A联赛的最后一轮，四川全兴队与解放军八一队的比赛在成都市进行，这场比赛是关系到四川全兴队是否降级的命运之战肯定会异常精彩，可西南交大某班30位同学仅购得一张票，大家都想去看，只好采取抓阄的办法抽签决定，每个人依次从30个阄中地抽取一阄，试问，每人抽得此票的机会是否相等？,,,,,解：设Ai={第i个人抽得球票}, i=1,2,,30,,,,,同理，第i个人要抽得球票，必须在他抽取之前的i–1个人都没有抽到此票的事件一起出现，即,故每个人抽到概率都是1/30，即机会均等第二节 全概率公式,定义2.1 设Ω是试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件，若满足条件 1)B1,B2,…,Bn两两互不相容 2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω 则称B1,B2,…,Bn为Ω的一个划分定理 设试验E的样本空间为Ω, A为E的事件, 若B1, B2,…, Bn为Ω的一个划分，且P(Bi)0, i=1, 2,…, n, 则 上式称为全概率公式图示,,,,,,,化整为零 各个击破,,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求出最终结果.,,,,,例2.1 设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中N只白球，M只红球。

现从甲袋任取一只放入乙袋，然后从乙袋中取一只，问取到白球的概率是多少?,,,,,例2.2 一商店出售的电子管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中甲、乙、丙三厂产品分别占总数的20%、50%、30%，三厂产品次品率分别为0.01、0.02、0.03，试求任取一只电子管出售，这只电子管是次品的概率解：设A={抽出的电子管为次品}, B1, B2, B3分别为所取电子管由甲、乙、丙厂生产显然, B1, B2, B3为Ω={任抽一电子管为由甲、乙、丙厂生产}的一个划分第三节 贝叶斯公式,,,,,定理 设试验E的样本空间为Ω，A为E的事件，存在一个划分B1,B2,…,Bn且P(A)0，P(Bi)0，i=1,2,3,…,n则 上式是18世纪英国哲学家Thomas Bayes首先总结出来的，所以称为贝叶斯公式可以这样说, P(B1), P(B2),…, P(Bn)是人们对B1, B2,…, Bn发生的可能性大小的经验认识, 即先验概率当发生新信息(知道A)之后, 人们对B1, B2,…, Bn又有了新的认识, 即后验概率P(B1|A), P(B2|A),…, P(Bn|A), 贝叶斯公式正是描述了这种认识的变化过程。

例3.1 对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少?,例3.2 假定患肺结核的人通过接受胸部透视，被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核的人通过透视，被诊断有病的概率为0.002，又设某城市居民患肺结核的概率为0.1%若从该城市居民中随机选出一人来，通过透视被诊有肺结核，求此人确实有肺结核的概率？,,,,,第四节 事件的独立性,,,,,了解条件概率P(B|A)之后，是否能肯定成立 P(B|A)P(B) 或 P(B|A)P(B),一、两个事件的相互独立性,,,,,对4）设P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(AB)取不同值时可有下述结果 即当AB，且A,B无相互包含关系时，上述三种情况之一都有可能发生，即事件A发生条件下，事件B发生的条件概率与无条件概率没有必然的大小对应关系相互独立性定义,例4.1 设n件产品有k(n)件次品，每次任取一件，试验证放回抽样的两次抽取是独立的，而不放回抽样的两次抽取是不独立的。

定义 设A、B是两事件，如果满足 P(AB)=P(A)P(B) 则称A、B相互独立证：设第一、二次抽到次品的事件分别为A, B, 则,,,,,定理 若四对事件A与B， 中有一对是相互独立的事件，则另外各对事件也是相互独立的事件证：不妨设A, B相互独立，去证其它各对亦为相互独立的事件例4.2 设事件A、B相互独立，已知P(A)=0.4，,,,,,答：1、(1) 2、(2),练习：,,,,,例4.3 若P(A)0，P(B)0，P(A|B)=P(A)，则( )不成立注：相互独立和互不相容是两个不同的概念两事件相互独立,两事件互斥,二者之间没有必然联系,,,,,二、多事件相互独立性,定义,,,,,三个事件间的相互独立性,定义 设A、B、C为三事件，如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) （1） P(CA)=P(C)P(A) 则称三事件A、B、C为两两独立的事件 一般事件A、B、C为两两独立时，等式 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) （2） 不一定成立 只有(1)(2)同时成立，事件A、B、C才相互独立。

例4.4 在四张标有数字1，2，3，4的卡片中等可能的任取一张，设事件A={取到数字1或2的卡片}，B={取到数字1或3的卡片}，C={取到数字1或4的卡片}，试验证A、B、C两两独立例4.5 若有一均匀正八面体，其第1,2,3,4面染上红色，第1,2,3,5面染上白色，第1,6,7,8面染上黑色，现令： A={抛一次正八面体朝下的一面出现红色}； B={抛一次正八面体朝下的一面出现白色}； C={抛一次正八面体朝下的一面出现黑色}； 试验证（2）式成立，但P(AB)P(A)P(B),,,,,例4.6(下赌注问题) 17世纪末，法国的De Mere爵士与人打赌在“连掷4次一颗色子至少出现一次6点”的情况下他赢了钱，可是“连掷24次两颗色子至少出现一次双6点”的情况下却输了钱，这是为什么？,此概率大于0.5，故赢钱的可能性大此概率小于0.5，故输钱的可能性大例4.7 设甲、乙、丙三人同时向一敌机射击，射中的概率分别为0.4，0.5，0.7，且知若只有一人射中，飞机坠落的概率为0.2，若二人射中，飞机坠落的概率为0.6，若三人射中，飞机必坠落，求飞机坠落的概率解：设A={飞机坠落}, Bi={有i人击中}, i=0, 1, 2, 3. 显然, B0, B1, B2, B3为Ω={三人射击飞机时有若干人击中飞机}的一个划分。

例4.8 设有电路如下图所示，其中1,2,3,4为继电器接点设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一继电器接点闭合的概率均为p，求L至R为通路的概率解: 设A={L至R为通路}, Ai={第i个继电器接点闭合}, i=1, 2, 3, 4.,由概率加法公式及A1, A2, A3, A4的独立性知,第五节 贝努利试验和二项概率,,,,,定义5.1 若在同样条件下，将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是独立重复试验，n称为重数例5.1 在同样条件下，抛掷一均匀硬币n次，易见每次投掷的结果，即不管出现“正面”或“反面”，均不会影响其它各次投掷结果，即此为n次独立重复试验例5.2 从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而每只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果，故此亦为n次独立重复试验贝努利概型是一种很重要的数学模型，有着非常广泛的运用在n重贝努利概型中事件A恰恰出现k次的概率是实际中常遇到的，这个概率常称为二项概率，记为Pn(k)二项概率公式Pn(k)的推导：,,,,,,,,,推广: n重贝努利概型中A恰出现k次的概率,,,,,例5.3 某织布车间有30台自动织布机，由于检修、上纱等各种工艺上的原因，每台布机时常停机。

设各台布机的停或开相互独立，且每台布机在任一时刻停机的概率为1/3，试求在任一指定的时刻里有10台布机停机的概率解：显然本例为30重贝努利试验，p=P{布机停机} =1/3，故30台布机中有10台布机停机的概率为,由此可见，虽然每台布机有1/3的可能时常停机，但并不能说明在任一时刻所有的布机都有1/3的台数停机本例计算表明，10台停机只有15.3%的可能。