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第三单元教学信息第6章 微积分的创立积分学可以追溯到古代，而微分学的起源则晚得多，刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、瞬时变化率及求函数的极大极小值等问题微积分酝酿阶段最有代表性的工作有开普勒发表的《测量酒桶的新立体几何》论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法卡瓦列里不可分量原理系统发展了不可分量方法笛卡儿在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”本质上是一种代数方法笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的费马提出了求极大值与极小值的代数方法，费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是符号不同巴罗也给出了求曲线切线的方法，他是使用几何法，巴罗的几何法的关键概念后来变得很有名，就是微分三角形，也叫特征三角形沃利斯的著作《无穷算术》本质上是分析的途径发展积分法沃利斯的工作直接引导牛顿发现了有理数幂的二项式定理由于受笛卡儿《几何学》和沃利斯的《无穷算术》的影响，使牛顿走上了创立微积分之路牛顿的《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献他将求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法---正、反流数术也即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。

牛顿努力改进和完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文，其中《曲线求积术》是最成熟的微积分著作牛顿微积分学说最早公开表述出现在他的力学名著《自然哲学的数学原理》，它也成为数学史上划时代著作《原理》被爱因斯坦称赞为“无比辉煌的演绎成就”全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力《原理》中的微积分命题虽然都采用了几何形式来叙述、证明，但绝大多数命题是依靠使用了“新分析法”然后再“综合地证明”可以说牛顿发明微积分主要是依靠了高度的归纳算法的能力，并没有多少综合几何的背景莱布尼茨创立微积分是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究莱布尼茨提出了自己的特征三角形他在《微积分的历史和起源》中自述，他的这项发现是受帕斯卡论文《关于四分之一圆的正弦》的启发莱布尼茨对帕斯卡的方法进行了推广，得出了一般性结论即对任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，只要用给定曲线的法线来替代圆半径，而借助于这样的无限小三角形，可以迅速地、毫无困难地建立大量的定理。

莱布尼茨在关于特征三角形的研究中认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差值变成无限小时之比；而求曲线下的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（纵坐标之和在这里是指纵坐标乘以无限小区间的长度再相加，因而也相当于宽度为无限小的矩形面积之和）莱布尼茨借助笛卡尔解析几何把曲线的纵坐标用数值表示出来,并想象一个由无穷个纵坐标y组成的序列,以及对应的 x值序列,而x 被看作是确定纵坐标序列的次序,同时考虑任意两相继的y值之差的序列.莱布尼茨由此发现“求切线不过是求差，求积不过是求和莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》这是数学史上第一篇正式发表的微积分文献后来他又发表积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，正是在这篇论文中积分号∫第一次出现在印刷出版物上，他引进的符号d和∫体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，并沿用至今因此对微积分的创立，牛顿和莱布尼茨尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的，他们都是时代的巨人第7章 分析时代在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期雅各布.伯努力和约翰.伯努力是莱布尼茨的忠实学生和朋友，他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。

对微积分所作出的重大进步是欧拉他出版的《无限小分析引论》、《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作18世纪微积分发展包括以下几个主要方面：积分技术与椭圆积分，尤其是积分技术更明显约翰.伯努力和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教科书中求函数积分的常用方法微积分向多元函数的推广，专门的偏导数符号是由雅可比在行列式理论中正式创立并逐渐普及欧拉给出了计算二重积分的一般方法在无穷级数这一领域最权威的是雅各布.伯努力，他撰写了5篇关于无穷级数的论文其中最有启发性的工作是关于调和级数的和是无穷的证明函数概念的深化，微积分发展的一个历史性转折，是将函数放到了中心的地位，以往都是以曲线作为微积分的主要对象，这一转折应归功于欧拉微积分严格化的尝试，牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的解一阶常微分方程的积分因子法，分别由欧拉和克莱洛独立提出欧拉给出了n阶方程的通解是其n个特解的线性组合，他是最早明确区分“通解”与“特 解”的数学家。

拉格朗日用参数变易法解出了一般n阶变系数非齐次常微分方程偏微分方程是由于对弦振动等力学问题的应用引出的，位势方程是一类重要的偏微分方程，现称“拉普拉斯方程” 拉普拉斯利用求调和函数解出了位势方程，后由格林、高斯发展为数学物理的重要部分变分法起源于“最速降线”和其它一些类似的问题所谓最速降线问题是要求出两点之间一条曲线，使质点在重力作用下沿着它由一点至另一点降落最快（即所需时间最短）欧拉对变分法问题给出了一般的处理他在1744年发表的《求某种具有极大或极小性质的曲线的技巧》中给出的二阶常微分方程也称“欧拉方程”,至今仍为变分法的基本方程欧拉的工作奠定了变分法的这门新学科的独立基础而拉格朗日在纯分析的基础上建立了变分法他在1760年发表的《论确定不定积分式的极大和极小值的一个新方法》首创了函数y 的“变分”概念，并用记号d表示他还第一次成功处理了端点变动的极值曲线问题及重积分情形，后来又研究了被积函数中含有高阶导数的变分问题，这些后来都成为变分法的标准内容拉格朗日的工作使由最速降线等特殊问题发展起来的变分法名符其实地成为分析的一个独立分支欧拉是微分几何的重要奠基人，他关于曲面论的经典工作《关于曲面上曲线的研究》被公认为微分几何史上的一个里程碑。

蒙日发展了微分几何，他发表的《关于分析的几何应用的活页论文》是第一部系统的微分几何著述他借这些偏微分方程对曲面族、可展曲面及直纹面进行研究而获得了大量深刻的结果蒙日不仅将分析应用于几何，同时又用几何去解释微分方程并推动了微分方程的发展，他开创了偏微分方程的特征理论，引进了探讨偏微分方程的几何工具----特征曲线与特征锥等，它们至今仍是现代偏微分方程论中的重要概念18世纪代数学的主题仍然是代数方程，高斯在他的博士论文《每个单变量有理整函数均可分解为一次或二次实因式积的新证明》中公布了代数基本定理的第一个实质性证明代数基本定理断言n次代数方程恰有n个根后来他又给出了代数基本定理的另外三个不同的证明代数方程论发展的另一个方向是高次方程根式可解性问题的探讨其中拉格朗日的工作最为重要拉格朗日最有启发性的思想是研究根的对称函数并考虑一个有理函数当其变量发生置换时取值的个数，这蕴含了置换群的概念代数方程论发展的第三个方向是方程组理论近代意义的数论研究是从费马开始的，费马提出了一堆猜想，这些猜想使数学家们忙碌了好几个世纪，有的至今仍为现代数论饶有兴趣的课题费马发明了无限下降法,此方法成为18世纪一种证明数论问题的有用技巧，欧拉、拉格朗日、勒让德等都普遍地使用这一方法。

这一时期最著名的猜想是哥德巴赫猜想和华林问题欧拉在数论研究方面所做的两项重要工作：欧拉导出了恒等式欧拉另一项工作是他发现了二次互反律，二次互反律成为数论研究的重要课题并引出了许多伟大的结果，开启了数论的一个新领域即代数数论。