微分方程在rlc电路中的应用实践.pdf

微分方程在 RLC 电路中的应用 1 微分方程在 RLC 电路中的应用 Abstract The relationship of RLC circuit and differential equation has been discussed. This paper gives two traditional examples of the resolution of the RLC circuit. The pictures drawn by Matlab for the solution of the differential equation are also contained in this paper. 关键关键词词：RLC 电路、微分方程、Matlab 一、 RLC 电路与二阶微分方程 RLC 电路是一种由电阻（R） 、电感（L） 、电容（C）组成的电路结构RC 电路是其简单的例子，它一般被称为二阶电路，因为电路中的电压或者电流的值，通常是某个由电路结构决定其参数的二阶微分方程的解 电路元件都被视为线性元件的时候，一个 RLC 电路可以被视作电子谐波振荡器这种电路的固有频率一般表示为： （单位：赫兹 Hz） 𝑔𝑑= 12𝜋√𝐿𝐷 它是一种带通或带阻滤波器的形式，其 Q 值可以由下式得到： Q = 𝑔𝑑 𝐶𝑤= 2𝜋𝑔𝑑𝐿 𝑆= 1√𝑆2𝐷/𝐿 RLC 电路的组成结构一般有两种：串联型和并联型。

由于 RLC 电路通常是由电路结构决定其参数的二阶微分方程， 因而完全可以用解微分方程的方法来求解 RLC 电路中的各种问题 二、二、 应用举例应用举例 例 1 设有一个由电阻 R，电感 L，电容 C 和电源 E 串联组成的电路（简称 R-L-C串联电路） ，其中 R、L、C 为常数，电源电动势是𝐸 = 𝐸𝑚𝑡𝑖𝑛𝜔𝑢，这里E及ω 也是常数（图 2. 1） 求出 R -L -C 串联电路中电容 C 上的电压𝑈𝑑(𝑢)所满足的微分方程 微分方程在 RLC 电路中的应用 2 解： 设电路中的电流为𝑖(𝑢)， 电容器所带的电量为Q(𝑢)，自感电动势为𝐸𝐿(𝑢) 由电学知识可知： 𝑖 = 𝑒𝑅 𝑒𝑢,𝑈𝑑= 𝑅 𝐷 ,𝐸𝐿= −𝐿𝑒𝑖 𝑒𝑢 因而在 R-L-C 电路中各元件的电压降分别为： {𝑈𝑆= 𝑆𝑖 = 𝑆𝐷𝑈𝑑′𝑈𝑑= 𝑅 𝐷𝑈𝐿= −𝐸𝐿= 𝐿𝑒𝑖 𝑒𝑢= 𝐿𝐷𝑈𝑑′′根据基尔霍夫电压定律电压定律， 得𝑈𝑆+ 𝑈𝑑+ 𝑈𝐿= 𝐸， 将上述方程组代入该式，得： 𝐿𝐷𝑈𝑑′′+ 𝑆𝐷𝑈𝑑′+ 𝑈𝑑= 𝐸 即 𝑈𝑑′′+ 𝑆 𝐿𝑈𝑑′+ 1 𝐿𝐷𝑈𝑑= 𝐸𝑚 𝐿𝐷𝑡𝑖𝑛𝜔𝑢 这就是串联电路中电容 C 上的电压𝑈𝑑(𝑢) 所满足的微分方程。

如果电容 C 经充电后，撤去外接电源（即 E = 0） ， 则上式成为： 𝑈𝑑′′+ 𝑆 𝐿𝑈𝑑′+ 1 𝐿𝐷𝑈𝑑= 0 例 2 在如图 2.2 所示的电路中，先将开关 K 拨向 A，使电容充电，当达到稳定状态后再将开关拨向 B设开关 K 拨向 A 的时间𝑢 > 0时回路中的电流𝑖(𝑢)已知 E = 20 伏，C = 0.5F， L=1.6H，R=4.8Ω；且𝑖|𝑡=0= 0，𝑒𝑖𝑒𝑡|𝑡=0= 252 解：在电路 R-L-C 中各元件的电压降分别为： {𝑈𝑆= 𝑆𝑖𝑈𝑑= 𝑅 𝐷𝑈𝐿= −𝐸𝐿= 𝐿𝑒𝑖 𝑒𝑢根据基尔霍夫电压定律，得：𝑈𝑆+ 𝑈𝑑+ 𝑈𝐿= 𝐸 将上述各式代入，得：𝐿𝑒𝑖𝑒𝑡+ 𝑆𝑖 + 1𝐶𝑅 = 𝐸 图图 2.1 RLC 串联电路串联电路 图图 2.2 RLC 暂态电路暂态电路 微分方程在 RLC 电路中的应用 3 在上式两边对 t 求导，因为𝑖 = 𝑒𝑅𝑒𝑡， 因此，得：𝐿𝑒2𝑖𝑒𝑡2+ 𝑆𝑒𝑖𝑒𝑡+ 1𝐶𝑖 = 0， 即 𝑒2𝑖𝑒𝑡2+𝑆𝐿𝑒𝑖𝑒𝑡+ 1𝐿𝐶𝑖 = 0 将 R = 4.8，L = 1.6，C = 0.5 代入，得： 𝑒2𝑖 𝑒𝑢2+ 3𝑒𝑖 𝑒𝑢+ 5 4𝑖 = 0 上述方程的特征方程为： 𝑠2+ 3𝑠 + 5 4= 0 特征根为：𝑠1= −52 𝑠2= −12。

所以上述方程的通解为𝑖 = 𝐷1𝑓−5 2𝑡+ 𝐷2𝑓−1 2𝑡 为求得满足初始条件的特解，求导数得： 𝑖′= −5 2𝐷1𝑓−5 2𝑡 − 12𝐷2𝑓−1 2𝑡 将初始条件 𝑖|𝑡=0= 0，𝑒𝑖𝑒𝑡|𝑡=0= 252代入，得： {𝐷1+ 𝐷2= 0 5 2𝐷1+ 1 2𝐷2= −25 2解得：𝐷1= − 254𝐷2= 254因此得回路电流为： 𝑖 = − 254𝑓−5 2𝑡+ 254𝑓−1 2𝑡 图 2.3 为电流 i 的图象．当开关 K 拨向 B 后，这回路中的反向电流 i，先由 0 开始逐渐增大，达到最大值后又逐渐趋于零 图图 2.3 电流图电流图 微分方程在 RLC 电路中的应用 4 三、三、 小结小结 例 1 是将一个具体的 RLC 问题建立了微分方程数学模型， 而例 2 中不仅建立了微分方程数学模型，还把微分方程的特解求了出来 在利用微分方程寻求实际问题中未知函数的三个步骤中， 关键是第一个步骤，即根据实际问题建立微分方程，确定初始条件而建立微分方程的方法，主要是利用导数的几何意义或物理意义直接列出方程。

然后求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解 由上述例子和分析可知， 微分方程在 RLC 电路的求解中可以发挥重要的作用，对于一些复杂度不高的 RLC 电路可以通过求解微分方程求出其所求值的具体表达形式 参考文献参考文献 [1] 李瑞遐.应用微分方程.上海.华东理工大学出版社，2005 年 [2] 秦曾煌.电工学（上册）.第六版.北京.高等教育出版社，2004 年 。