同余式与不定方程 教案1（可编辑）.docx

同余式与不定方程 教案1第一篇：同余式与不定方程 教案1 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》 竞赛讲座03--同余式与不定方程 同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容. 1. 同余式及其应用 定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为 或 一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r（r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n 1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n 1、n2 对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等. 利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质: (1) 若 ,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则 ; (2) 如果a=km+b(k为整数),则; (3) 每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m同余； (4) 同余关系是一种等价关系： ① 反身性 ； ② 对称性，则，反之亦然. ③ 传递性，，则； （5）如果，，则 ①； 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》 ②特别地 应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题. 例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2+1能被3整除的一切自然数n. n解∵ ∴ 则2+1nn ∴当n为奇数时，2+1能被3整除； 当n为偶数时，2+1不能被3整除. 例2 求2最后两位数码. 解 考虑用100除2所得的余数. 999 999n∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴2的最后两位数字为88. 例3 求证 31980999 + 4198 1能被5整除. 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》 证明 ∵ ∴ ∴ ∴2．不定方程 不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解. (1) 不定方程解的判定 如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解. 例4 证明方程2x-5y=7无整数解. 证明 ∵2x=5y+7，显然y为奇数. 2 222① 若x为偶数，则 ∴ ∵方程两边对同一整数8的余数不等， ∴x不能为偶数. 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》 ② 若x为奇数，则 但5y+72 ∴x不能为奇数.因则原方程无整数解. 说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法. 例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程 ① 证明 如果有整数x，y使方程①成立， 则 =知（2x+3y）+5能被17整除. 2设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某 22222个数，但是这时（2x+3y）+5=（17n）+34na+（a+5）=a+5（mod17），而a+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立. 例7 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x+y=x的正整数对（x，y）的个数是（ ）. （A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对 解由x+y=x得y=x（x-1）， 所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k(k为自然数),则 222322 2 2 3为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D). 说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解. (2) 不定方程的解法 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》 不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路. 例6 求方程解(配方法)原方程配方得(x-2y)+y=13. 2 22 的整数解. 在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于213即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解 解得 例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c222及素数a满足方程a+b=c.证明:这时有a＜b及b+1=c. 证明（因式分解法）∵a+b=c， ∴a=（c-b）（c+b）， 又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a. 22 2 2 2梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》 于是得c=b+1及a=b+c=2b+1＜3b， 2即＜.而a≣3,∴≢1，∴＜1.∴a＜b. 例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程 的正整数（a，b，c）的组数是（ ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4 解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得 （a+b）c=23=1×23. ∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得 (23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0, ∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C). 例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解. 解 由(y-2)x=2y-7,得 分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数, ∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1. ∴方程整数解为 例11 求方程x+y=x-xy+y的整数解. 2 2梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》 解（不等式法）方程有整数解 必须△=（y+1）-4（y-y）≣0，解得 22≢y≢. 满足这个不等式的整数只有y=0，1，2. 当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2. 所以方程有整数解 最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子. 例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）. 解将原方程变形得 由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以， 12-x=1，x=11，这时y=132. 故 满足题设的方程的正整数解为 （x，y）=（11，132）. 例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的整数对（x，y）的个数是（ ）. （A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7 解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由 的不同 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》 得 62当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=2·31，故当且仅当x具有31t形式时，1984x是完全平方数. ∵x＜1984，∵1≢t≢7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≢x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）. 解法2 ∵1984= 2∴由此可知：x必须具有31t形式，y必须 2具有31k形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3. 练习二十 1. 选择题 (1)方程x-y=105的正整数解有( ). （A） 一组 （B）二组 （C）三组 （D）四组 (2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（ ）. （A） 3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 2．填空题 （1）的个位数分别为_________及_________. 4 5422(2)满足不________. 等式10≢A≢10的整数A的个数是x×10+1，则x的值(3) 已知整数y被7除余数为5,那么y被7除时余数为________. (4) (全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x-51y=1的自然数解x和y_________. 3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足 2 23. 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》 4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？ 5．求的整数解. 6．求证可被37整除. 7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件能的值. 的整数x，y的所有可8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数. 9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、q＞1，试求p+q的值. 练习二十 1.D.C. 2.(1)9及1. (2)9. (3)4. 、都是整数，并且p＞1，(4)原方程可变形为x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50. 223.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z都不能是整数. 4.可仿例2解. 梯田文化 教辅专家 《课堂点睛》 《课堂内外》 《作业精编》 5.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得 6.8888≡8(mod37),∴8888333 3222 2≡8(mod37). 2222 27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N. 22 3+7777 3333 ≡(8+7)(mod37),。