人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_全称量词与存在量词_提高.pdf

精品文档 用心整理 人教版高中数学选修 2-1 知识点梳理 重点题型（ 常考知识点 ）巩固练习 全称量词与存在量词 【学习目标】 1理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念； 2能准确地使用全称量词和存在量词符号 “” “”来表述相关的教学内容； 3掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法； 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【要点梳理】 要点一、全称量词与全称命题 全称量词 全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词. 常见全称量词：“所有的 ”、“任意一个 ”、“每一个 ”、“一切 ”、“任给 ”等.通常用符号“ ” 表示，读作“对任意”. 全称命题 全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题 . 一般形式：“对M中任意一个x，有 p(x)成立 ”， 记作： xM ， p(x)（其中M 为给定的集合，p(x)是关于x的语句）. 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是 0 的整数，可以被5 整除 ”； （2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”； （3）“负数的平方是正数”；都是全称命题. 要点二、存在量词与特称命题 存在量词 定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词 . 常见存在量词：“有一个 ”，“存在一个 ”,至少有一个 ”，“有的 ”,有些”等.通常用符号“ ” 表示，读作“存在”. 特称命题 特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题 . 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 一般形式：“存在M中一个元素x，有p(x )成立”， 00 记作：x M， p(x ) （其中M为给定的集合，p(x)是关于x的语句）. 00 要点诠释： （ 1） 一 个 特 称 命 题 中 也 可 以 包 含 多 个 变 量 ， 例 如 ： 存 在R,R使 sin() sinsin. （2）有些特称命题也可能省略了存在量词 . （3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述 要点三、 含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p：xM，p(x) p的否定p：x M ，p(x )； 00 从一般形式来看，全称命题 “对 M 中任意一个x，有 p（x）成立”，它的否定并不是简 单地对结论部分 p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即 “任意 xM, p(x)”的否定为“x M，p(x )”. 00 对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p：x M，p(x ) 00 p的否定p：xM，p(x)； 从一般形式来看，特称命题“x M， p(x ) ”，它的否定并不是简单地对结论部分 00 p(x ) 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即 “ x M，p(x ) ” 000 的否定为“xM，p(x)”. 要点诠释： (1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的 . (3) 正面词：等于、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、至少两个、 大于等于. 要点四、全称命题和特称命题的真假判断 要判定全称命题“xM， p(x) ”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 明p(x)成立；要判定全称命题 “xM，p(x)”是假命题，只需在集合M中找到一个元 素 x 0，使得 p(x ) 不成立，即举一反例即可 . 0 要判定特称命题“x M ， p(x ) ”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x 0， 00 000 使得p(x )成立即可；要判定特称命题 “x M，p(x )”是假命题，必须证明在集合M 中，使 p(x)成立得元素不存在. 【典型例题】 类型一：量词与全称命题、特称命题 例 1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并 把量词用相 应的数学符号表示. （1）对任意正实数a,a2a2 0； 对某个大于10的正整数n，( 2)n1024.（2） 【解析】 （1）命题（1）中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合 .命 题（1）可以写成“a 0,a2a2 0”. （2）命题（2）中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整 数集合.命题（2）可写成“n10,nN*,(2)n1024. 【总结升华】判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有 “所 有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思 . 举一反三： 【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1）任何一个实数除以1仍等于这个数； 等边三角形的三边相等； 存在实数x，使x23 0。

00 （2） （3） 【答案】 （1）全称命题， （2）全称命题， （3）特称命题 【全称量词与存在量词395491 例 1】 【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题 . （1）xR，x2+11； （2）所有素数都是奇数； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数 . 【答案】 （1）有全称量词“任意”，是全称命题； （2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题； （4）有存在量词“有些”；是特称命题 类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例 2.判断下列命题的真假： （1）xN,x41 2； （2）x Z,x31. 00 【解析】 （1）由于0N，当x 0时，x41 2不成立，故(1)为假命题； （2）由于1Z，当x 1时能使x3 1，所以（2）为真命题. 【总结升华】 （1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x，验证 p(x)成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合 M中的一个x x ，使p(x )不成 00 立即可； （2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个x x， 使 p(x ) 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题 . 0 0 举一反三： 【变式1】试判断下列命题的真假 （1）x R,x2 1 0； （2）x N,x2 1； （3）xZ,x3 3； （4）x R,x2 3x 2 0； （5）xR,x21 0； 【 答 案 】 （ 1）真命题； （2）假命题； （3）假命题 ； （4）假命题； （5）假命题 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（） 有的实数是无限不循环小数； 有些三角形不是等腰三角形； 有的菱形是正方形 . A0B1C2D3 【答案】A 类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定 例 3.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判 断真假. （1）三角形的内角和为180 ； （2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）存在一个四边形不是平行四边形； （4） p:xR,x22 0； （5） p:x R,x21 0. 00 【解析】 （1）是全称命题且为真命题 . 命题的否定：三角形的内角和不全为180 ， 即存在一个三角形，它的内角和不等于 180 ，为假命题. （2）是全称命题且为假命题 . 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题 . （3）是特称命题且为真命题 . 命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题 . （4）是全称命题且为真命题 . 由于xR都有x2 0，故x22 2 0，p为真命题； p：x R,x22 0，p为假命题 00 （5）是特称命题且为假命题 . 因为不存在一个实数x，使x21 0成立，p为假命题； p：xR,x21 0，p为真命题. 【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命 题的否定是全称命题 . 举一反三： 【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假 . 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （1）xR,x24x4 0； （2）所有的正方形都是矩形； （3）x R,x2 x 1 0； 000 （4）至少有一个实数x 0，使得 x 2 20. 0 【答案】 （1） p ：x R,x24x 4 0（假命题） ； 000 （2） p ：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）； （3） p ：xR,x2 x1 0（真命题） ； （4） p ：xR,x22 0（真命题）. 【全称量词与存在量词395491例 5】 【变式2】 “a和b都不是偶数”的否定形式是（） （A）a和b至少有一个是偶数 （B）a和b至多有一个是偶数 （C）a是偶数，b不是偶数 （D）a和b都是偶数 .【答案】A 【变式3】(2015 湖北文)命题“x (0,),ln x x 1”的否定是 Ax (0,),ln x x 1 000 000 Bx (0,),ln x x 1 000 Cx(0,),ln x x1Dx(0,),ln x x1 【答案】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为 x(0,),ln x x1，故选C. 类型四：含有量词的命题的应用 x1 例 4已知p:|1 |2，q: x22x1m2 0(m 0)，若p是q的必要不 3 充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】 x 1 x 1x 1 p:|1 | 2 21 2 1 3 2 x 10 333 q:x2-2x+1-m 20 x-(1-m)x- (1+m)0 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 又m0 不等式的解为1-mx1+m p是q的必要而不充分条件 ”的等价命题即逆否命题为 “p 是 q的充分不必要 条件” x 1 | 2的解集是x2-2x+1-m 20(m0)的解集的子集.不等式|1 3 1 m 2 m 3 , m 9 9 1 m 10 m 实数m的取值范围是9, 【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查 了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法 是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式， 找解集间的包含关系，进而使问题解决 . 举一反三： 【变式1】(2015 山东)若“x0, ， tanx m”是真命题，则实数m的最小值 4 为。

【答案】1 【解析】若“x0, ，tanx m”是真命题 4 则m f(x) max ，其中 f(x) tanxx0, 4 函数 f(x) tanx m1 【变式2】 （ 2016 两条件： x0,的最大值为1 4 即m的最小值为1，所以答案应填1. 1 江苏模拟）若函数f(x) ( )x 2，g（x）=a （xa+3 ）同时满足以下 2 xR，f（x）0或 g（x）0； x(1,1)，f（x）g（x）0 则实数a的取值范围为_ 【答案】 1 已知函数f(x) ( )x 2，g（x）=a （xa+3 ） ， 2 根据xR，f（x）0，或g（x）0， 即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值， 由 f（x）0，求得x1， 即当x1时，g（x）0恒成立， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 a0 故 ，解得：a2； a 3 1 根据x(1,1)，使f（x）g（x）0成立， g（1）=a （1a+3 ）0， 解得：0a4， 综上可得：a（2，4） ， 故答案为： （2，4） 1 时，函数【变式 3】已知 c0，设命题 p：函数 ycx为减函数.命题 q：当x ,2 2 f(x) x 1 1 x 恒成立.如果p或 q为真命题，p且 q为假命题.求 c的取值范围. c 【答案】c|0 c 1 2 或 c1 【解析】由命题p知：0c1. 由命题q知：2 x 15。