(完整版)《平行四边形及其性质》知识讲解(基础).doc

平行四边形及其性质（基础）【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理 .2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．4. 掌握两个推论： “夹在两条平行线间的平行线段相等”夹在两条平行线间的垂线段相等” ．【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 平行四边形 ABCD 记作“ YABCD”，读作“平行四边形 ABCD” .要点诠释： 平行四边形的基本元素：边、角、对角线 . 相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条 .知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（ 1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系 .（ 2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择 .（ 3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决 .知识点三、平行线的性质定理1. 两条平行线间的距离：（ 1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离 . 注：距离是指垂线段的长度，是正值 . 2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等 .【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图所示，已知四边形分线．求证： DF＝ EC．ABCD是平行四边形，若AF、 BE 分别为∠DAB、∠ CBA的平【答案与解析】证明：∵ 在 Y ABCD中， CD∥ AB，∠ DFA＝∠ FAB．又∵ AF 是∠ DAB的平分线，∴ ∠DAF＝∠ FAB，∴ ∠DAF＝∠ DFA，∴ AD ＝DF．同理可得 EC＝ BC．∵ 在 YABCD中， AD＝BC，∴ DF ＝EC．【总结升华】 利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．举一反三：【变式】如图， E、F 是平行四边形 ABCD的对角线 AC上的点， CE＝ AF，请你猜想：线段 BE与线段 DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明 .【答案】证明：猜想： BE ∥ DF且 BE＝DF.∵四边形 ABCD是平行四边形∴ CB=AD， CB∥ AD∴∠ BCE＝∠ DAF在△ BCE和△ DAF中CB ADBCE DAFCE AF∴△ BCE≌△ DAF∴ BE＝ DF，∠ BEC＝∠ DFA∴ BE∥ DF即 BE ∥ DF且 BE＝ DF.2. （ 2016·永州）如图，在 ?ABCD中，∠ BAD的角平分线 AE交 CD于点 F, 交 BC的延长线于点 E．（ 1）求证： BE=CD；（ 2）连接 BF，若 BF⊥ AE，∠ BEA=60°， AB=4，求平行四边形 ABCD的面积．【思路点拨】 （1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠ BAE=∠ BEA，即可证明；（ 2）证明△ABE为等边三角形，由勾股定理求出 BF，由 AAS证明△ ADF≌△ ECF，得出△ ADF与△ ECF的面积相等，平行四边形 ABCD的面积 =△ ABE的面积，即可得出结果．【答案与解析】（ 1）证明：∵在平行四边形 ABCD中， AD∥BC， AB∥ CD，AB=CD， ∴∠ AEB=∠DAE，又∵ AE 是∠ BAD的角平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠ AEB=∠BAE，∴ AB=BE，∴ BE=CD．（ 2）解：∵ AB=BE，∠ BEA=60°∴△ ABE 为等边三角形，∴ AE=AB=4， ∵ BF⊥ AE，∴ AF=EF=2，∴ BF=2 3 ，∵AD∥BC，∴∠ D=∠ ECF，∠ DAF=∠ E，在△ ADF和△ ECF中，D ECFDAF E ,AF EF∴△ ADF≌△ ECF（ AAS）∴△ ADF的面积 =△ ECF的面积，∴平行四边形 ABCD的面积 =△ ABE的面积 = 1 AE BF 1 4 2 3 4 3 ．2 2【总结升华】 本题考查了平行四边形的性质、 全等三角形的判定与性质、 等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、 勾股定理； 解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．3. 如图，在 ?ABCD中，点 E， F 分别在边 DC， AB 上， DE=BF，把平行四边形沿直线 EF折叠，使得点 B， C分别落在 B′， C′处，线段 EC′与线段 AF 交于点 G，连接 DG，B′G．求证：（ 1）∠ 1=∠ 2；(2 ）DG=B′G．【思路点拨】（ 1）根据平行四边形得出 DC∥ AB，推出∠ 2=∠ FEC，由折叠得出∠ 1=∠ FEC=∠ 2，即可得出答案；（ 2）求出 EG=B′G，推出∠ DEG=∠ EGF，由折叠求出∠ B′FG=∠ EGF，求出 DE=B′F，证△ DEG≌△ B′FG 即可．【答案与解析】证明：（ 1）∵在平行四边形 ABCD中， DC∥ AB，∴∠ 2=∠ FEC，由折叠得：∠ 1=∠ FEC，∴∠ 1=∠ 2；（ 2）∵∠ 1=∠ 2，∴ EG=GF， ∵ AB∥DC， ∴∠ DEG=∠ EGF，由折叠得： EC′∥ B′F，∴∠ B′FG=∠ EGF，∵ DE=BF=B′F，∴ DE=B′F，∴△ DEG≌△ B′FG（ SAS），∴DG=B′G．【总结升华】 本题考查了平行四边形性质， 折叠性质， 平行线性质， 全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．4. 如图， 已知 ?ABCD中，F 是 BC边的中点， 连接 DF并延长， 交 AB 的延长线于点 E．求证： AB=BE．【思路点拨】 根据平行四边形性质得出 AB=DC，AB∥ CD，推出∠ C=∠FBE，∠ CDF=∠E，证△ CDF ≌△ BEF，推出 BE=DC即可．【答案与解析】证明：∵ F 是 BC边的中点，∴ BF=CF，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AB=DC， AB∥ CD，∴∠ C=∠ FBE，∠ CDF=∠ E，∵在△ CDF和△ BEF 中C＝ FBECDF＝ ECF＝ BF∴△ CDF≌△ BEF（ AAS），∴ BE=DC， ∵ AB=DC，∴ AB=BE．【总结升华】 本题考查了平行四边形性质， 全等三角形的性质和判定， 平行线的性质的应用，关键是推出△ CDF≌△ BEF．举一反三：【变式】 如图，已知在 ?ABCD中，延长 AB，使 AB=BF，连接 DF，交 BC于点 E．求证： E 是 BC的中点．【答案】证明：在□ ABCD中， AB∥ CD，且 AB=CD，∴∠ CDF=∠ F，∠ CBF=∠ C，∵ AB=FB， ∴ DC=FB，∴△ DEC≌△ FEB，∴ EC=EB，即 E 为 BC的中点．类型二、平行线的性质定理及其推论5. （1）如图 1，已知△ ABC，过点 A 画一条平分三角形面积的直线；（ 2）如图 2，已知 l 1∥ l 2，点 E，F 在 l 1 上，点 G，H 在 l 2 上，试说明△ EGO与△ FHO面积相等；（ 3）如图 3，点 M在△ ABC的边上，过点 M画一条平分三角形面积的直线．【思路点拨】 （1）根据三角形的面积公式，只需过点 A 和 BC的中点画直线即可；（ 2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；（ 3）结合（ 1）和（ 2）的结论进行求作．【答案与解析】解：（ 1）取 BC的中点 D，过 A、 D画直线，则直线 AD为所求；（ 2）证明：∵ l 1 ∥l 2，∴点 E， F 到 l 2 之间的距离都相等，设为 h．11∴ S = GH× h， S =GH× h，△ EGH△ FGH22∴ S△ EGH=S△FGH，∴ S△ EGH-S △GOH=S△ FGH-S △GOH，∴△ EGO的面积等于△ FHO的面积；（ 3）解：取 BC的中点 D，连接 MD，过点 A 作 AN∥ MD交 BC于点 N，过 M、 N 画直线，则直线 MN为所求．【总结升华】 此题主要是根据三角形的面积公式， 知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．举一反三：【变式】（南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．探索：已知：如图 1，AD∥BC，AB∥CD．求证： AB=CD．应用此定理进行证明求解．应用一、已知：如图 2，AD∥BC， AD＜BC， AB=CD．求证：∠ B=∠C；应用二、已知：如图 3，AD∥BC，AC⊥BD， AC=4， BD=3．求： AD与 BC两条线段的和．【答案】探索：证明：如图 1，连接 AC，∵AD∥BC，∴∠ DAC=∠BCA∵AB∥CD．∴∠ BAC=∠DCA在△ ABC和△ CDA中，，∴△ ABC≌△ CDA（ ASA），。