第6章北大高微讲义库恩-塔克条件资料.pdf

1 第第1部分 消费者行为理论部分 消费者行为理论 • 第第1章 消费者的最优决策章 消费者的最优决策 • 第第2章 比较静态分析章 比较静态分析 • 第第3章 显示偏好理论章 显示偏好理论 • 第第4章 需求章 需求 • 第第5章 消费者的福利变化章 消费者的福利变化 • 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 • 第第7章 不确定条件下的个人选择章 不确定条件下的个人选择 2 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（Kuhn—Tucker condition）） 一、一、K—T条件条件 • 在最优化问题中，若在最优化问题中，若 – 选择变量要求非负选择变量要求非负 – 约束条件是不等式约束条件是不等式 则需要用则需要用K—T条件来解决问题条件来解决问题 1、、 K—T条件初步理解条件初步理解 （（1）关于选择变量非负的要求）关于选择变量非负的要求 ( ) . .0 Maxyf x stx = ≥ '' ( )0,0,( )0≤≥⋅=fxxand fxx 3 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（2）关于约束条件是不等式的要求：）关于约束条件是不等式的要求： 在（在（1）的基础上加入不等约束的要求）的基础上加入不等约束的要求 123 1 1231 2 1232 123 (,,) . .(,,) (,,) ,,0 x Max yf x xx stgx xxr gx xxr x xx = ≤ ≤ ≥ （P1） 且 4 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（3）关于（）关于（P1）最优解的推导）最优解的推导 第一步：第一步： 加入两个虚设变量加入两个虚设变量s1、、s2 ≥≥0，将（，将（P1）处理）处理 成以下的等价形式（成以下的等价形式（P2）。

即：去掉不等式约）即：去掉不等式约 束条件）束条件） 123 , 1 12311 2 12322 12312 (,,) . .(,,) (,,) ,,,,0 x s Max yf x xx s tgx xxsr gx xxsr x xxs s = += += ≥ （P2） 且 5 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（3）关于（）关于（P1）最优解的推导）最优解的推导 第二步：第二步： 假设去掉选择变量的非负要求，于是有：假设去掉选择变量的非负要求，于是有： 1231212 12 123111231221232 123 12 12 ( ,,, , ,,) ( ,,)(( ,,))(( ,,)) . . .0 0 0 Z x x x s s f x x xrg x x xsrg x x xs zzz FO C xxx zz ss zz λ λ λλ λλ =+−−+−− ∂∂∂ === ∂∂∂ ∂∂ == ∂∂ ∂∂ == ∂∂ （P2'） 6 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（3）关于（）关于（P1）最优解的推导）最优解的推导 第三步：加上选择变量非负的要求。

第三步：加上选择变量非负的要求 于是，于是， . . . 0,001,2,3(1) 0,001,2(2) 0(3) jj jj ii ii i F OC zz xandxj xx zz sandsi ss z λ ∂∂ ≤≥⋅== ∂∂ ∂∂ ≤≥⋅== ∂∂ ∂ = ∂ 改写为： 7 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（3）关于（）关于（P1）最优解的推导）最优解的推导 第四步：再加上不等式约束的要求（即消去第四步：再加上不等式约束的要求（即消去si） 00 000(4) ()0() () 00()(5) () 000(6 ii i iiii ii iiii i ii iiii i ii i ii ii z s ss z rgssrg rgrg z srg zz λλ λλ λ λλ λ λλ λλ ∂ =−≤⇒≥ ∂ ≥≥⋅= ∂ = −⋅ −=⇒= −⋅ ∂ −⋅ ≥≥⋅−⋅ ∂ = −⋅ ∂ ∂∂ ≥≥⋅= ∂∂ 由（2）式得， 于是（2）式可改写为：，且 由（3）式得， 于是（4）式可写成：，且 （）=0 如果在（P2'）中消去 ，则有 于是（5）式可写为，且) 8 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（3）关于（）关于（P1）最优解的推导）最优解的推导 最后，将式（最后，将式（1）和（）和（6）结合在一起，）结合在一起， 便得到非负以及不等式约束下的（便得到非负以及不等式约束下的（P1）最优解）最优解 的条件，即的条件，即K- T条件。

条件 0,001,2,3 0,001,2 ∂∂ ≤≥⋅== ∂∂ ∂∂ ≥≥⋅== ∂ ⇓ ∂ ⇓⇓ jj jj ii ii zz xand xj xx zz andiλλ λλ 边际条件 非负条件互补松弛条件 9 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 2、、 K—T条件的标准形式条件的标准形式 • （（1）极大值问题：）极大值问题： 12 12 12 ( ,,.,) ( ,,.,)1,2,., ,,.,0 n x i ni n Maxf x xx stg x xxrim x xx ≤= ≥ 10 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（1）极大值问题：）极大值问题： 121 1212 1 (,,.,,,.,) (,,.,)((,,.,)) 0,001, 2,., 0,001, 2,., nm m i niin i jj jj ii ii Z xxx fxxxrgxxx KT zz xxjn xx zz im λλ λ λλ λλ = =+− − ∂∂ ≤≥⋅== ∂∂ ∂∂ ≥≥⋅== ∂∂ ∑ 拉 格 朗 日 函 数： 条 件 ： 且 且 11 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（1）极大值问题：）极大值问题： 数学定理：数学定理： 如果如果 f 函数是凹函数， 是凸函数，则函数是凹函数， 是凸函数，则 K- T条件是极大值的充要条件。

条件是极大值的充要条件 i g 12 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（2）极小值问题：）极小值问题： 12 12 12 n( ,,.,) ( ,,.,)1,2,., ,,.,0 n x i ni n Mif x xx stg x xxrim x xx ≥= ≥ 13 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（2）极小值问题：）极小值问题： 121 1212 1 (,,.,,,.,) (,,.,)((,,.,)) 0,001,2,., 0,001,2,., nm m i niin i jj jj ii ii Z xxx f xxxrgxxx KT zz xxjn xx zz im λλ λ λλ λλ = =+− − ∂∂ ≥≥⋅== ∂∂ ∂∂ ≤≥⋅== ∂∂ ∑ 拉格朗日函数： 条件： 且 且 14 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 （（2）极小值问题：）极小值问题： 数学定理：数学定理： 如果如果f 函数是凸函数， 是凹函数，则函数是凸函数， 是凹函数，则K- T条件是极小值的充要条件条件是极小值的充要条件 i g 15 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 3、对、对 K—T条件的理解条件的理解 （（1）关于极大值问题的）关于极大值问题的K—T条件条件 12 12 12 ( , ,., ) ( , ,., )1,2,., , ,.,0 n x i ni n Maxf x xx stg x xxr im x xx ≤= ≥ 16 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 3、对、对 K—T条件的理解条件的理解 （（1）关于极大值问题的）关于极大值问题的K—T条件条件 命题命题 如果如果g(x)是凸函数，则是凸函数，则g(x)≤≤r的水平集合的水平集合 （即下等值集）必定是一个凸集合。

即下等值集）必定是一个凸集合 17 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 证明：证明： 图示图示 12 12 12 12 12 12 (x) ( ),( ) (x)((1) ) ( ) (1) ( ) (1) (x)( ),( ), ((1) )(x) g grgr gg tt tgt g trt rr ggrgr g ttrgr ≤≤ + − ≤+ − ≤+ −= ≤≤ + −≤⇒ 1n 令x，x 为定义域上的任意两点 ，（其中x=(x,.x )） 根据约束条件有xx（1） 因为是凸函数，故有:xx xx 说明：对于是凸函数来说，如果 xx 则有xx凸函数关于的下等值集 必定是一个凸集合 18 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 3、对、对 K—T条件的理解条件的理解 （（1）关于极小值问题的）关于极小值问题的K—T条件条件 12 12 12 n( ,,.,) ( ,,.,)1,2,., ,,.,0 n x i ni n Mif x xx stg x xxr im x xx ≥= ≥ 19 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 3、对、对 K—T条件的理解条件的理解 （（1）关于极小值问题的）关于极小值问题的K—T条件条件 命题命题 如果如果g(x)是凹函数，则是凹函数，则g(x)≥≥r的水平集合的水平集合 （即上等值集）必定是一个凸集合。

即上等值集）必定是一个凸集合 20 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 证明：证明： 图示图示 12 12 12 12 12 12 (x) ( ),( ) (x)((1) ) ( ) (1) ( ) (1) (x)( ),( ), ((1) )(x) g grgr gg tt tgt g trt rr ggrgr g ttrgr ≥≥ + − ≥+ − ≥+ −= ≥≥ + −≥⇒ 1n 令x，x 为定义域上的任意两点，（其中x=(x,.x )） 根据约束条件有xx（1） 因为是凹函数，故有:xx xx 说明：对于是凹函数来说，如果 xx 则有xx凸函数关于的上等值集 必定是一个凸集合 21 4、库恩库恩 - - -塔克充分性定理塔克充分性定理 定理：给定非线性规划定理：给定非线性规划 如果满足以下条件：如果满足以下条件： （（a）目标函数）目标函数f(x)在非负象限连续可微，且为凹函在非负象限连续可微，且为凹函 数；数； （（b）每个约束条件）每个约束条件g(x)在非负象限连续可微，且为在非负象限连续可微，且为 凸函数；凸函数； （（c）点满足）点满足K—T极大值条件。

极大值条件 那么，为π那么，为π=f(x) 的整体极大化解的整体极大化解 1 1,2 ( )() . .( ) 0 = == ≤ ≥ L L n i iim Maxfxxxx s tgx x π γ 且 x x 22 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 证明：证明： 上述极大值问题对应的拉格朗日函数可以上述极大值问题对应的拉格朗日函数可以 写为写为 凹函数凹函数凹函数凹函数 z(x)为凹函数为凹函数 由凹函数的性质可知：过凹函数由凹函数的性质可知：过凹函数z( )点作点作 切线，则在任意的切线，则在任意的x≠点上，有≠点上，有 1 ( )(( )) i m i i i Zf xrgxλ = =+− ∑ （1） 1 j ( )() = ∂ ≤+−∀ ∂ ∑ n jj j z Z xZ xxxx x （ ）（2） x x 23 第第6章 库恩章 库恩 - - -塔克条件塔克条件 = λ≤∀ ∂ ≤+− ∂ + ∂∂ =≤≤≥ ∂∂ ∂∂ === ∂∂ ∴+≤ ∂ ∴−≤ ∂ ∴≤ ∑ ∑ ∑ ∑ Q Q n jj j1 jj 12 m 1jj j jj m 2jj j jj 12 m jj j j xz( x )z( x )x Z ( x ) z Z( x )。