连续时间傅里叶变换.doc

第二章 连续时间傅里叶变换1周期信号的频谱分析 傅里叶级数 FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积 f (t) dt ⑵傅里叶级数：正交函数线性组合正交函数集可以是三角函数集｛1,cosn *,sinn it：n N｝或复指数函数集｛ejn lt : n Z｝， 函数周期为Ti，角频率为i 2 fi 2Ti(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数4) 三角形式的FS:(i) 展开式： f(t) a0 (ancon 1t bn sin n 1t)n 1(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：a丄 f(t)dtTi Ti(b) n 次谐波余弦分量：an — f(t)cosn itdt, n NTi Ti(c) n次谐波的正弦分量：bn — f(t)sinn 1tdt, n NTi Ti(iii) 系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数iv) 称fi 1/Ti为信号的基波、基频；nfi为信号的n次谐波V) 合并同频率的正余弦项得：n和n分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位vi) 傅里叶系数之间的关系：(5) 复指数形式的FS:(i) 展开式：f(t) Fnejn itn(ii) 系数计算：Fn — T f(t)e jn itdt, n ZTi Ti(iii) 系数之间的关系：(iv) Fn关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭(V) 正负n (n非零)处的Fn的幅度和等于cn或dn的幅度。

6) 奇偶信号的FS:(i) 偶信号的FS:an— f (t) cosn 1tdtTi Tibn 吕 f (t)sinn itdt 0 ；Ti Ticn dn anFn色加号F n ( Fn实，偶对称)；n 0 ； n ；2 2 2(ii) 偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项iii) 奇信号的FS：(8)(9)2ag an 0 ； bn f (t)sinn 1tdt ；怖 dnbn2jFn ；T1 T1Fn F n 1 jbn ( Fn纯虚，奇对称)；(iv) 奇的周期信号的FS系数只有正弦项 周期信号的傅里叶频谱：(i)(ii)(iii)㈣(v) FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为(vi) FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散 线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示 FS频谱的值、幅度和相位(vii) 连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处 FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况Viii)称Cn为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小ix)称Fn为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的正负频率的频谱幅度相加， 才是实际幅度周期矩形脉冲序列的FS谱的特点：(i)(ii)称Fn为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或 FS谱。

称Fn为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称 FS幅度谱称n为傅里叶复数相位频谱，简称 FS相位谱周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率n1(或频率nfj上有值1 2 /T〔谱线包络线为Sa函数;谱线包络线过零点：(其中2为谱线间隔):T1n即当k，或n i 空k Z,kn 1 2k / 时，在频域，能量集中在第一个过零点之内带宽 2 /或f 1/只与矩形脉冲的脉宽 有关，而与脉高和周期均无关定义0~2 /为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)周期信号的功率：Pf(t) |Fn|2nan cnFn(iii)(iv)0 ~2 /(10)帕斯瓦尔方程：丄T f「t)dtT1 Tl n2Fn2非周期信号的频谱分析一傅里叶变换 (FT)(1)信号f (t)的傅里叶变换：是信号f(t)的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)⑵ 频谱密度函数F()的逆傅里叶变换为：f(t) + F( )ej td ?F 1 F()(3)称e j t为FT的变换核函数，ej t为IFT的变换核函数⑷FT与IFT具有唯一性如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等5) FT具有可逆性如果F f(t)F()，贝U必有F 1 F( ) f(t)；反之亦然。

6) 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成 F( ) F( )ej ()(i)称F()为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化 的幅频特性；的相位(ii) 称()Arg F()为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信 随频率变化的相频特性⑺FT频谱可分解为实部和虚部：F( ) Fr( ) jFi()(8) FT存在的充分条件：时域信号f(t)绝对可积，即 f(t)dt 注意：这不必要条件有一些并非绝对可积的信号也有 FT9) FT及IFT在赫兹域的定义：F(f) f (t)e j2 ftdt ； f (t) F(f)ej2 ftdf(10) 比较FS和FT:FSFT分析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值3典型非周期信号的 FT频谱(1)单边指数信号：f (t) e atu(t) (a 0)幅度谱：F( ) 21 2\aT相位谱： ()Arg F( ) Arg 弓 J 2 arctg 一 a2 2 a单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示图1 (a)单边指数信号偶双边指数信号：f(t) eat(a 0)(a J)tdt(b)幅度谱(c)相位谱占严，为实偶函数幅度谱:相位谱:F()2a""2 2a偶双边指数信号及其频谱如图2所示。

图2 (a)偶双边指数信号(b)频谱⑶矩形脉冲信号：f(t) eg (t)(脉宽为？、脉高为E)匚 sin t分2 E Say，为实函数幅度谱：F( ) ESa —2相位谱：0,4k | | 2(2k 1)(对应F()0)()>k Z2(2k1) | | 4(k 1)(对应F()0)矩形脉冲信号及其频谱如图3所示图3 (a)矩形脉冲信号(b)频谱 矩形脉冲FT的特点：(i) FT 为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积;(ii) FT 的过零点位置为 2k / (k 0)；(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间 2 / ,2 /之内(iv) 带宽为B 2 /或Bf 1/，只与脉宽有关，与脉高E无关信号等效脉宽： F(0)/ f(0)信号等效带宽：Bf丄图4 (a)信号的等效脉宽(b)等效带宽(4)符号函数：不满足绝对可积条件，但存在 FT幅度谱:F()相位谱：()/2,/2,符号函数及其频谱如图5所示图5 (a)符号函数(b)频谱⑸冲激信号：均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的 强度为E的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度单位冲激信号及直流信号的频谱函数总结:FT定义?1FT可逆性？?FT可逆性?IFT定义;(6)阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在 FT在 0处有一个冲激，该冲激来自u(t)中的直流分量 单位阶跃信号及其幅度谱如图6所示。

图6单位阶跃函数及其幅度谱4 FT的性质(1) 线性性：F anfn(t) anF耐⑴n n线性性包括：齐次性 F af (t) aF f (t);叠加性 F fj) f2(t) F f't) F f2(t)2) 奇偶虚实性：偶偶 奇 奇实偶 实偶(FT可变为余弦变换) 实奇 虚奇(FT可变为正弦变换) 实信号的FT:(实信号可分解为：实偶+实奇) 实部是偶函数，虚部是奇函数：实 实偶+j实奇偶共扼对称：F( ) F*() 幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数：实 实偶EXP(实奇)虚信号的FT具有奇共扼对称性：F( ) F*()偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称： F( ) |F( ) 0实信号或虚信号的FT幅度谱偶对称，幅度谱函数是偶函数3) 反褶和共轭性：时域频域原信号f(t)F(?)反褶f(- t)F(-?)共扼*f (t)*F (-?)反褶+共扼f (-t) F (?)对偶性：傅里叶正逆变换的变换核函数是共轭对称的： ejt* ej t ； ej t* e j t F g( ) g( )e j td表示按自变量？进行傅里叶变换，结果是t的函数IFT可以通过FT来实现FT的对偶特性：F[ F(t)] 2 f()若f (t)为偶函数，贝U F F(t) 2 f()；若f(t)为奇函数，贝U F F(t) 2 f()。

⑸ 尺度变换特性：F[f(at)] 1 F — , (a 0)忖a此性质表明：时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩6) 时移特性：F f(t to) F( )e j to F f(t) e j to时移不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位与尺度变换特性综合：(7) 频移特性：与尺度变换特性综合：F 1 f - ej ot/a F a o， (a 0)同a频谱搬移：时域信号乘以一个复指数信号后， 频谱被搬移到复指数信号的频率位置处利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号达到频谱搬移目的8) 微分特性：时域微分：F lf(t) j F()dt频域微分：■dFQ F ( jt)f(t)d如果连续运用微分特性，则(9) 积分特性：时域积分：F 七 f( )d (j ) 1F( ) F(0)()如果在 0处有界(或F(0) 0)，则F t f( )d (j ) 1F()频域积分： F( )d f (0) (t) —f(t)jt(10) 卷积定理：时域卷积定理：F f1 (t) f2(t) F f1(t) F f2(t)频域卷积定理： F f1(t) f2(t) 丄F f't) F f2(t)2(11) 时域相关性定理：FRf1f2(t) F f1(t) F* f2(t)若f2(t)是实偶函数，则F Rf1f2(t) R(展()。

此时，相关性定理与卷积定理一致自相关的傅里叶变换：F Rf (t) F f(t) F* f(t) F f(t) 2即函数的自相关函数与其 幅度谱的平方是一对傅里叶变换对)2 彳 2 2(12) 帕斯瓦尔定理： f(t) dt 丄 F( ) d F(2 f) df5周期信号的FT(1) 正余弦信号的FT:余弦信号和正弦信号的频谱如图7所示：图7余弦信号和正弦信号的FT(2) 一般周期信号的FT:(i)设周期为Ti的周期信号f(t)。