阿罗不可能定理和有关理论教学内容.doc

阿罗不可能定律　　阿罗不可能定律指出，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果定律是由1972年度诺贝尔经济学奖获得者美国经济学家肯尼思·J·阿罗提出阿罗不可能定律不仅对传统福利经济学和政治理论提出了严峻的挑战，也导致了经济学关于经济行为研究的困惑　　阿罗不可能定律源自十八世纪法国思想家孔多赛提出的著名的“投票悖论”；而利用数学对其进行论证的则是阿罗　　肯尼斯·阿罗是美国著名数理经济学家，因在一般均衡理论方面的突出贡献与约翰·R·希克斯共同荣获1972年诺贝尔经济学奖除了在一般均衡领域的成就之外，阿罗还在风险决策、组织经济学、信息经济学、福利经济学和政治民主理论方面进行了创造性的工作阿罗不可能定理”和森的“帕累托自由悖论”进一步揭露了“一人一票”的虚伪性博弈论(Game theory)、社会选择(Social choice)理论、机制设计(Mechanism design)理论是现代社会科学家们研究这“民主问题”的标准工具     博弈论是研究人们的行为是如何相互影响的，人们是如何在相互作用(interaction)之中作出自己的行为选择和行为决策的。

    社会选择理论所探讨的是，对于每一种社会经济环境，我们能否以及如何确定一个满足某些价值规范的社会目标集合如果回答是肯定的，并且接受人们是按照博弈论所刻画的方式行为的     机制设计理论则探究能否以及如何提供一个博弈框架（game form），使得在这个框架下的博弈均衡解是在社会选择目标集合里，也就是说，社会选择函数是可执行的（implementable），或者退而求其次，这种均衡解是无限接近于社会选择目标集合的，可以说是近似地执行     在这些理论中处于基础和核心地位的有——阿罗(Kenneth Arrow)关于社会选择理论的著名的“阿罗不可能定理”，森(Amartya Sen)的帕累托自由不可能性定理，以及赫尔维茨（Leonid Hurwicz）和马斯金(Eric S. Maskin)的机制设计理论本文从“阿罗不可能定理”作为切入点进行深入探讨     阿罗不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，孔多塞投票悖论反映了直观上貌似良好的“民主机制”潜在的不协调     早在十八世纪法国思想家孔多塞就提出了著名的“孔多塞投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对a、b、c三个备选方案，有如图的偏好排序。

    甲（a  ＞ b  ＞ c）     乙（b  ＞ c  ＞ a）     丙（c  ＞ a  ＞ b）     注：甲（a  ＞ b  ＞ c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c     但若以“一人一票”的投票规则来排列社会偏好次序，会引发不同形式的悖论结果     在“一人一票”的投票中选民可以将自己仅有的一张选票投向其中一位候选人来表达偏好，“最喜欢”与“不喜欢”，若是仅有两位候选人，选票诠释的结果是“1”和“0”，这是非此即彼的表达，还尚且没有大问题，最终可以通过对两位候选人获得“1”的个数加总对比出得票多少而排列出谁最受该选民群体的喜欢     但是，当候选人是“三”的情况下，由于每位选民手中的选票只有一张，若将选票投向其中一位，则对另外两位的偏好程度就被抹杀了，无法表达出对另外两位的偏好信息，只有把他们统统归为“不喜欢”，这显然是荒谬的     不仅如此，“一人一票”在候选人个数达到“三”时，还会因为只有“1”和“0”两种千篇一律的表达而抹杀了选民对每一个选择支的喜好程度，这种“抹杀”形成了诸多的信息反馈盲区，所以会出现不同形式的悖论     比如下列状况中可以给甲、乙、丙三人每人100分，他们可以根据偏好程度分别赋予a、b、c一定的分值，以表达偏好程度的不同。

    甲（a  ＞ c  ＞ b）      65    25    10     乙（b  ＞ a  ＞ c）      50    30    20     丙（c  ＞ b  ＞ a）      40    35    25     合计：         a获得65+30+25=120     b获得10+50+35=95     c获得25+20+40=85     真实的社会偏好次序为：a  ＞ b  ＞ c                                                          120   95    85     而“一人一票”的投票结果若用分值来分析如下：     甲（a  ＞ c  ＞ b）         100    0     0     乙（b  ＞ c  ＞ a）        100    0     0     丙（c  ＞ a  ＞ b）        100    0     0     完全把个人的社会偏好程度完全抹杀掉了，     所得的社会偏好次序为：a  =  b  =  c                          100   100   100     和前面的真实偏好是矛盾的，所以是不科学的，而且是荒谬的。

    为了回避“一人一票”投票中，候选人个数达到“三”时因为信息反馈出现盲区而形成的悖论，我们下面用候选人“两两对决”的办法进行表决：     若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：     甲（a  ＞ b ）     乙（b  ＞ a ）     丙（a  ＞ b ）     社会次序偏好为（a  ＞ b ）    若再取“b”、“c”对决，“a”、“c”对决，于是我们得到三个社会偏好次序——（a  ＞ b ）、（b  ＞ c ）、（c  ＞ a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c~！所以，当候选人个数达到“三”的时候，即便两两对决，按照“一人一票”的投票规则，也不能得出真实的社会偏好次序，真实的社会偏好次序完全被掩盖了     真实的社会偏好次序为：a  ＞ b  ＞ c                          120   95    85     “一人一票”投票结果所     表达的两个错误偏好次序为：     1）a  =  b  =  c      100   100   100     2）（a  ＞ b ）、（b  ＞ c ）、（c  ＞ a ）     真实的社会偏好次序被“一人一票”完全掩盖了，所以“一人一票”的投票规则在候选人达到“三”时，无法表达社会偏好次序，用在选举中，会导致——“投票结果无法表达民意”的荒谬结果。

    需要强调的是，民主的主旨是遵从民意，按照民意来办事，但“一人一票”这种方式连民意都不能正确萃取，又如何表达民意？尊重民意？     1972年诺贝尔经济学奖的获得者肯尼思.阿罗，在他的《社会选择与个人价值》（1951）中，证明了著名的“阿罗不可能定理”，在该书中，他运用数学工具把孔多塞的观念严格化和一般化了     1972年诺贝尔经济学奖获得者、美国经济学家阿罗（K. Arrow）采用数学中的公理化方法，于1951年深入研究了这个问题，并得出在大多数情况下是否定的结论，那就是鼎鼎大名的“阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）”     阿罗遵从经济学研究集体决策（group decisionmaking）和公共选择（public choice）问题时的惯例，首先将个人投票视为每个独立个体根据自己的偏好程度给各种备选方案从大到小排序，个体的偏好排序满足下列要求：完全性（completivity）、反身性（reflexivity）、传递性（transivity） 　　     阿罗进而将选举视为一种规则，它能够将每个个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，并满足五个条件（即五个阿罗公理[Arrow's atoxism]）。

    然而通过引入决定性集合（decisive set）和最小决定性集合概念以及相关引理的证明，阿罗令人惊讶地发现：在只有两名候选人的情况下，采用简单多数规则的选举就能满足上述的五个条件的要求；但在超过三名候选人的情况下，满足前四个公理的选举规则竟然违反第五个公理（本来选举的目的就是让大家作主，结果却整出来个一言九鼎的“独裁者”），因此不存在能同时满足这五个条件的选举规则！     这个结论被称为“阿罗不可能定理”，其确切表述如下：     当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则     阿罗用这个结论证明——在已知社会所有成员偏好的情况下，通过一定的程序，把各种各样的个人偏好次序归结为单一的社会偏好次序，但通过数学证明，在能被一般人接受的条件下，即至少有三名候选人和两位选民时，这是不可能的     “阿罗不可能定理”的这个结论和“孔多塞投票悖论”的假设是一模一样的，说白了，就是“一人一票”在候选人达到“三”和至少两民选民时，无法正确萃取民意，无法正确表达民意更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。

    “阿罗不可能定理”对于票选制度的打击被认为是类似于能量守恒定律对于永动机的打击，被称为是最根本和最彻底的所以阿罗不可能定理几乎是刚刚问世便遭到了西方学术界的围攻，数以百计的批驳文字瞬间如雪片般飞来——而它们的作者中甚至包括了萨谬尔森、李特尔等地位超卓的“权威人士”、“学术大佬”     但一件不可否认的事实是：迄今为止，阿罗不可能定理经受住了一切技术和科学上的批评 而技术和科学之外的“批评”以及其他，那不是一个真正的科学家所需要以及有能力作太多“关照”的阿罗不可能定理，至今，其理论坚若磐石~！     一提到阿罗不可能定理，自然有人会将阿马蒂亚·森(Amartya Sen)提出来与之讨论森对阿罗的几个公理进行了更加细致的分析，对于其中“非独裁性公理”，他认为该定理没有明确规定最低限度的个人自由权力，他在于1970年所发表的《帕累托自由的不可能性》一文中，将非独裁性公理修改为：对一组状态进行选择时，社会偏好应该反映至少两个人的偏好这一修改后的条件被称之为“最低限度的自由主义”（Minimal liberalism）     森进一步论证，如果“阿罗不可能定理”中的“非独裁性公理”被修改为最低限度的自由主义条件，那么会出现这样一种状况，即不可能找到一个社会选择（或决策）规则同时满足于这一条件和帕累托最优原则，这就是被学者们称谓的著名的——帕累托自由不可能定理（Paratian liberal impossibility theorem）,或者被称之为“森的帕累托自由悖论”（Sen’’s paradox Paratian liberal）。

    这个悖论里两个矛盾的主体如下：     1）“帕累托最优原则”指在不损害他人福利的前提下使自己的福利得以改善；     2）“个人自由”原则是人类不懈的追求，用森的话说是，如果你想趴着睡而不想躺着睡，社会应当认可     二者都是人们直觉上能够完全接受的标准，但是森的研究表明，这两个如此诱人的标准却是矛盾的和无法同时成立的森的定理非常简单，它建立在三个基本前提假设之上：     1），个人偏好的无限性；（个人偏好不被改变、忽略、牺牲）  。