椭圆与圆专题.pdf

椭圆与圆专题一、考题赏析1. （ 2018 年江苏卷18 题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1( 3, )2，焦点12(3,0),(3,0)FF，圆O的直径为12F F （1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆 C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于,A B 两点若OAB的面积为2 67，求直线l的方程2.（2019 年江苏卷17 题）如图， 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:22221(0)xyabab的焦点为F1（ 1、0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222(1)4xya交于点A，与椭圆C交于点D. 连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1=52（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标二、考情分析江苏高考中，椭圆考查等级是B 级，直线、圆是C 级要求 . 从 2008 年江苏高考改革以来，解答题每年都有椭圆或圆的题目，最近两年把椭圆和圆放在同一题目中考查，是高考命题的一个新趋势 . 有几个命题方向值得重视：（1）一条直线与椭圆和圆同时相交或相切的问题；（2）椭圆与圆的位置关系. 相交关系要注意特定位置，通常要求交点关于坐标轴或原点对称，相切关系值得注意；（3）以椭圆为背景的直线和圆问题. 虽然现在高考中的解析几何难度有所下降，因为去年的题目交简单，所以今年的考查难度可能稍有提高，与2018 年解几难度相当的可能性比较大. 三、例题精讲类型一在椭圆背景下求圆的方程例 1（原创题） 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为4，点3(1, )2A是圆E与椭圆C的交点，其中圆心E在y轴上（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）圆E在点A处的切线与椭圆交于点P，若3APAE，求圆E的方程例 2（原创题） 若椭圆 C:22221(0)xyabab. 如果圆 A满足下面三个条件：椭圆 C在点 P处的切线也是圆A的切线 , 且椭圆 C的中心和圆心A分别位于切线的两侧, 半径为1.称这样的圆为椭圆C 的外切单位圆, 点 P 为切点 . 已知椭圆C 的离心率为22, 圆M:223)1xy（为椭圆的外切单位圆. (1) 求椭圆 C的方程 ; (2) 若 P( ? ,1) 为椭圆 C与其外切单位圆的切点, 求此外切单位圆. 类型二定点、定值，定直线问题例 2（ 苏 北 三 市 2019 届 高 三 期 末 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系中 ， 已 知 椭 圆的离心率为，且右焦点到右准线的距离为 1过轴上一点为常数，且的直线与椭圆交于两点，与交于点，是弦的中点，直线与交于点（1）求椭圆的标准方程；xOy2222:1(0)xyCabab22lx(,0)M m(m(0,2)mC,A BlPDABODlQCM O A P y O E （2） 试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由例 3 （扬州市2019 届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线3100 xy与圆 O ：222(0)xyrr相切（1）直线l过点 (2 ，1) 且截圆 O所得的弦长为2 6，求直线l的方程；（2）已知直线y3 与圆 O交于 A，B两点， P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M ，N点判断点M 、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由例4 （ 2020年 苏 州 高 三 一 模 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy 中 ， 已 知 椭 圆的左焦点为，点在椭圆 C 上. (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 已知圆, 连接 FA 并延长交圆 O 于点 B,H 为椭圆长轴上一点（异于PQ2222:10 xyCabab3,0F13,2A222:Oxya左、右焦点） ，过点 H 作椭圆长轴的垂线分别交椭圆 C 和圆 O 于点 P,Q (P,Q 均在 x 轴上方） . 连接 PA,QB，记 PA 的斜率为, QB 的斜率为. i ）求的值 ; ii ）求证：直线 PA,QB 的交点在定直线上. 四、课堂小结：五、课后练习：1.（原创题） 已知椭圆12222byax)0(ba的离心率为21，过椭圆左顶点A的直线l交y正半轴于点B，与椭圆的另一个交点为C，若BCAB2. （1）若点B的坐标为)2, 0(，求直线l的方程；（2）设点P为椭圆上的动点，若ACP的面积最大值为21，求此时ACP的外接圆方程. 解： （1）设),(yxC，由BCAB2得)2,(2)2,(yxa，所以C的坐标为)3,2(a，代入椭圆方程，结合21ac得椭圆方程为1121622yx. （ 2）设点)0(),0(bmmB，则)23,2(maC，椭圆方程可化为1342222cycx. 把点1k2k21kk椭 圆 与 圆 的 位置关系椭圆直线圆直线与圆（相交、相切）直线与椭圆（相交、相切）椭圆、圆与直线的位置关系)23,2(maC代入椭圆方程得cm，所以直线AC的斜率为21. 当ACP的面积最大时，点P应是与AC平行的直线l与椭圆相切处，于是设直线nxyl21:，与椭圆方程联立，消去y得012444222cnnxx，令0得cn2（舍正），)23,(ccP. 根据两平 行 线 间 的 距 离 公 式 得 直 线l与l的 距 离56cd，cAC253，2129212cdACSACP， 所 以31c. 从 而)21,31(),21,31(),0,32(PCA， 易 得ACP的外接圆方程为6425)241(22yx. 2.（苏北七市2019 届高三一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（）的上顶点为，圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点， 过点作直线的垂线交圆于另一点若PQN的面积为3，求直线的斜率解析： （1）因为椭圆的上顶点为，所以，又圆经过点，所以所以椭圆的方程为（2）若的斜率为0，则，所以PQN的面积为，不合题意， 所以直线的斜率不为0 5 分22221yxCab：0ab03A，2224aOxy：0 1M，CM1lCPQM1l2lON1lC03A，3b22214Oxya：0 1M，2aC22143yx1l4 63PQ2MN4 631l设直线的方程为，由消，得，设，则，所以 8 分直线的方程为，即，所以 11 分所以PQN的面积，解得，即直线的斜率为 14分3.(2016泰州高三期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y24，椭圆C：x24y21，A为椭圆右顶点过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(65，0). 设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2. (1) 求k1k2的值；(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数，使得kPQkBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由；(3) 求证：直线AC必过点Q. 思路分析(1) 直接设出B(x0，y0) ，C( x0，y0) ，求出k1，k2，并运用椭圆方程消1l1ykx221431yxykx，y22(34)880kxkx11P xy，22Q xy，2124262134kkxk22242 62134kkxk221212()()PQxxyy22212246 121134kkkxxk2l11yxk0 xkyk22222 111kMNkk12SPQ MN22224 6 1211232341kkkk12k1l12去y0即可；(2) 设出直线AP为yk1(x2) ， 与圆联立得出点P坐标，与椭圆联立得出点B坐标，通过斜率公式求出kPQ和kBC即得的值；(3) 通过直线PQ与x轴垂直时特殊的位置，猜想直线AC过点Q，再证明当直线PQ与x轴不垂直时，直线AC也过点Q，先通过直线PQ方程与圆方程联立，求出点Q坐标，再通过证明斜率相等来证明三点共线，从而证得直线AC必过点Q. 规范解答 (1) 设B(x0，y0) ，则C( x0，y0) ，x204y201，因为A(2,0) ，所以k1y0 x02，k2y0 x02，所以k1k2y0 x02y0 x02y20 x20 4114x20 x20414. (2) 设直线AP方程为yk1(x2) ，联立yk1x 2 ，x2y24得 (1k21)x24k21x4(k211) 0，解得xP2k2111k21，yPk1(xP2) 4k11k21，联立yk1x 2 ，x24y21得(1 4k21)x216k21x4(4k211) 0，解得xB2 4k21114k21，yBk1(xB2) 4k114k21，所以kBCyBxB2k14k211，kPQyPxP654k11k212k2111k21655k14k211，所以kPQ52kBC，故存在常数52，使得kPQ52kBC. (3) 设直线AC方程为yk2(x2) ，当直线PQ与x轴垂直时，Q65，85，则P65，85，所以k112，即B(0,1)，C(0 ， 1) ，所以k212，则kAQ8565212k2，所以直线AC必过点Q. 当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ方程为y5k14k211x65，联立y5k14k211x65，x2y2 4解得xQ2 16k21116k21 1，yQ16k116k211，因为k2yBxB24k114k212 14k211 4k21214k1，所以kAQ16k116k2112 16k21116k211214k1k2，故直线AC必过点Q. 。