数值方法 第９章 常微分方程数值解 （下）.doc

§3 单步法的收敛性和绝对稳定性（I）收敛性 解出： 数值求解微分方程初值问题解 ，总是要求是的近似，对于Euler方法，我们推导了整体截断误差 满足 当时，有，我们注意到这个极限与通常不同R中点 应该是不动的，当，如果用 那么这个极限过程当是同时的，而仍固定，这样的极限可以记为并称其为固定态极限（fixed station limit）例如： 另一种情况 定义 设初值问题 ，对y满足Lipschitz条件，如果单步方法 （*）得到的解 ，对任，均有则称单步法是收敛的 由收敛性可以推得，对于 整体截断误差 关于收敛性有：定理 若初值问题的一个单步方法 的局部截断误差为精确成立，并且对y有Lipschitz条件：单步法收敛并有 证明 根据收敛定义因此必须估计 事实上，，即估计 仿Euler方法中整体截断误差的推导，可以插入项，引入局部截断误差，局部截断误差有由定理条件 这样递推下去有取，并且 并有 具体例子Euler方法： 由于对满足Lipschitz条件对也满足Lipschitz条件。

应用定，理知Euler方法收敛Runge-Kutta方法，对R=2的改进Euler方法 假定步长，取为 关于的Lipschitz常数对于一般Runge-Kutta方法： ， 记 对满足Lipschitz条件 (为权应大于0) 于是，存在，当时有 对于 还可以取，使当时有同样可得：由此，取有（收敛性证明中，，因此可取h充分小）（II）相容性收敛性定理中要求局部截断误差 若按变量在处作Taylor展开，那么有，而，也就是说是有界量这相当于含h的项必为零，即满足微分方程，由此有 定义 单步法 满足条件 则称单步法与微分方程初值问题是相容的事实上，相容的方法必有 相容方法至少是一阶的则单步法是相容的相容单步法，若对满足Lipschitz条件方法收敛即 移次来看： 令 时 即计算格式趋微分方程。

相容本质的意义在于“差分格式”收敛于“微分方程”III）稳定性（绝对稳定性）用单步法 在求解时，舍入误差是不可避免的稳定性就是研究舍入误差传播问题，当求解过程中舍入误不增长，则称该数值方法是稳定的设是带舍入误差的值，而是单步法精确计算而得的准确值 即 在之间为使舍入误差不增长，则应有 由于与有关，所以稳定性与方程（微分）右端项有关，为了测试某个方法的稳定性，一般把该数值方法用于一个“模型方程”（试验方程），（为复数，其解析解，来考察其方法稳定性选择模型方程原因讨论方便，如果对这样简单方程不稳定，那么复杂方程也不稳定一般方程可局部化讨论先考虑Euler方法用 相应误差方程 可以看，误差方程与原来单步法一致，这是模型方程是常系数线性方程而得到的，因此用于模型方程，仅考虑的增长与误差增长是一样即对于一般单步法用于模型方程，可以写成 依赖于方法选取，Euler方法；先考虑一下的性态令 有误差 有误差有误差 有误差 有误差如果很大，产生不稳定，由此给出定义定义 单步方法 解模型问题 ，若得到的解 ，满足，则称单步法是绝对稳定的。

在复平面中，满足的区域，称为单步法的绝稳定区域，它与实轴的交称为绝对稳定区间 对于每个方法是不同的，对于Euler方法有 为复数，令，那么，这是以（-1，0）为圆心，1为半径的单位圆的内部，此为Euler法的绝对稳定性区域区域与实轴交的区间为，此为绝对稳定性区间对于改进Euler方法有 绝对稳定性条件为 此等价于 即 考虑区间当时，有，因此，改进Euler方法的绝对稳定性区间为对于4阶经典R-K方法 应用到方程 代入有： ，绝对稳定向后Euler方法 用于 它是以（1,0）为圆心，1为半径的单位圆外部，故绝对稳定性区间为定义 绝对稳定性区域包含整个左半平面，这种方法称为A-稳定的向后Euler方法是A稳定的§4 线性多步法（I）基本概念显式单步法一般为 即由上近似值上近似值，隐式也是由解方程（迭代）求出，即求上的近似值，仅与前面一个点的近似值相联系。

提高精度的Runge-Kutta方法，一般也不很简单另外提高精度办法是采用前面上的近似来求，这样的数值方法称为多步方法初值问题 右边采用Simpson求积公式，这样有用来表示得计算，要用到以及相应的，并且公式中对是线性的这样方法称为线性二步法线性多步法的一般形式为其中常数，不全为零，等式两边同除 ，故可设 要计算，假定均已计算出来，从而 均已知 若 ，可以显式计算，为显式方法若，为隐式方法 为求解，必须进行迭代 可由相应显式给定，迭代收敛条件 ， L为关于的Lipschitz常数线性单步法是线性步方法的特例，例如 有 不同可得各种显、隐单步法定义 （局部截断误差） 设 是 的解，步线性方法（*） ， 称为线性步法（*）在的局部截断误差，按h展开的首项称为主局部截断误差这个定义包含了线性步法（当然包含线性单步法），特别包含了线性隐式单步方法为主局部截断误差，相应的多步法称为P阶方法例子Simpson公式 用微分方程充分光滑解代入，并Taylor展开有 局部截断误差主项为（II）Adams方法 1.显式Adams方法Adams方法是基于数值积分的方法，但积分区间为，对微分方程在积分有为求近似积分，采用插值多项式来近似这样可以求得k-1次Lagrange插值多次式其中为对应点上的k-1次插值多项式基函数 从而有 其中 这是显式Adams方法，称Adams-Bashforth方法。

例k=2其中 容易得到：得多步法 （二步法）其局部截断误差 2.隐式Adams方法在显式Adams方法中，采用上的来插值求，这相当于外推，精度可以会影响，改进办法是把作为一个插值的节点，即共有k+1个节点，可得插值多项式取，那么 直接用局部截断误差定义求是一样的一般形式有：（隐式Adams方法or Adams-Moulton方法） 下面对常用显式Adams和隐式Adams列表如下 k为步数，P为方法的阶，Cp+1是局部截断误差主项的系数（主局部截断误差的系数） 显式Adams（Adams-Bashforth）隐式Adams (Adams-Moulton方法)（III）待定系数方法 设y是微分方程的充分光滑解，代入在处进行Taylor展开 其中 考虑4步方法即 要求方法是4阶的，即 （*）其5个方程，未知数9个取 得 由此得到 的Adams-Bashforth方法如果在（*）中取可以得出 ，可以有Milne公式 局部截断误差为 推导如下： 下面考虑三步方法要求方法是4阶的，那么有7个未知数，5个方程，取 ，可以解得得到Hamming方法（IV）预估一校正方法对于隐式方法，每一节点上近似值用迭代方法得到，这必须大大增加计算量。

若用一个恰当的显式方法，求出作为隐式方法的预估值，然后用隐式方法对预估值作校正，并以这个校正值作为所求节点上的，那么将克服迭代法缺点用Eular方法作预估，用梯形方法作校正的预估校正方法 预估值 计算函数值 相当于修正Euler方法 通常使用预估校正方法有： Adams-Bashforth-Moulton方法4步4阶显式Adams方法作为预估，3步4阶隐式Adams方法 作校正 预估 求值 校正这是使用相当广泛的方法如果h充分小，由可知，当h充分小，从而有 。