控制工程基础第四章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,第四章 频率分析法,频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与研究系统特性的方法频率特性包括,幅频特性,和,相频特性,，它在频率域里全面地描述了系统输入和输出之间的关系即系统的特性频率特性在有些书中又称为频率响应，但严格地说：频率响应是指系统对正弦输入的,稳态输出,将会看到，频率特性和频率响应是两个联系密切但又有区别的概念频率特性分析方法具有如下特点：,,,可通过分析系统对不同频率的稳态响应获得系统动态特性频率特性有明确物理意义，可用实验方法获得这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义即使对于能用分析法建模系统，也可通过频率特性实验对其模型加以验证和修改不需要解闭环特征方程，由开环频率特性即可研究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性第一节 频率特性的基本概念,一、,频率特性及物理意义,,,,系统在正弦函数输入作用下的稳态响应称为,频率响应,若对线性系统,G,(,s,) 输入一幅值为,X,，频率为,,的正弦信号：,x,(,t,)=,X,sin,,t,，则系统稳态输出频率与输入信号相同，只是幅值和相位与输入不同。

一般地，输出信号幅值,Y,(,,)是,,的函数，它正比于输入信号幅值，输出信号与输入信号之间相位差,,(,,)也是,,的函数，它与幅值无关线性系统在正弦函数输入下的稳态响应记为：,,y,(,t,)=,Y,(,,)sin[,,t,+,,(,,)],当输入信号幅值固定，而频率,,变化时，幅值,Y,(,,)与相位差,,(,,)也随之变化系统幅频特性定义：,,,输出信号与输入信号的幅值之比，记为,它描述了稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性系统的相频特性定义,：输出信号与输入信号的相位之差随频率,,的变化，记为,,(,,)它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特性,如上图所示，矢量,G,(j,,)的模|,G,(j,,)|即为系统的幅频特性,A,(,,)；矢量,Ｇ,(j,,) 与正实轴的夹角∠,G,(j,,)即为系统的相频特性,,(,,) 幅频特性,A,(,,)和相频特性,,(,,)统称为系统频率特性，记作,G,(j,,)频率特性,G,(j,,)是频率,,的复变函数，是一个矢量按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定,,(,,)按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向旋转为负值。

因此，有,,式中：Re(,,)是,G,(j,,)的实部，称为,实频特性,；,,Im(,,)是,G,(j,,)的虚部，称为,虚频特性,频率特性,G,(j,,)的物理意义,,,(1)、频率特性表示系统对不同频率的正弦信号的“复现能力”或“跟踪能力”在低频率(,,T,<<1)处，输入信号基本上可在输出端,按原比例,复现出来；频率较高时，输入信号就被抑制而不能传递出去实际系统一般都有这样的“低通”滤波及相位滞后作用2) 频率特性随频率而变化，缘于系统含有储能元件实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率信号使系统显示出不同的特性系统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与外界因素无关3) 频率特性反映系统本身的特点：系统元件的参数(如机械系统的,k,、,c,、,m,)给定以后，频率特性就完全确定，系统随,,变化的规律也就完全确定二．频率特性的求法,频率特性的求法有三种,１．根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入,,，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正弦的,,复数比即得系统的频率特性２．,根据传递函数求取,，将传递函数,G,(,s,)中的,s,用j,,替代,,，即为频率特性,G,(j,,)。

３．通过实验测得这里仅介绍根据传递函数求取频率特性下图为一线性定常系统，系统输入与输出分别为,x,(,t,)和,y,(,t,)，系统传递函数为,G,(,s,)当把传递函数中的,s,，以j,,代替，即为频率特性,G,(j,,)输入,x,(,t,)是正弦函数，并由,x,(,t,)=,X,sin,,t,,其拉氏变换为,下面我们来证明此结论的正确性（自学）系统的传递函数可表示为,,于是输出量的拉氏变换为,如果只具有不同的极点，则其部分分式展开为,式中,a,，和,b,i,(,i,=1，…，,n,)为待定常数，而,a、,是的待定共轭复数式中的,a,和 可按求留数的方法予以确定：,因此上式的拉氏反变换为,对稳定系统而言（无论是相异根或者重根），-,p,1,，.....，-,p,n,具有负实部，因而，在上式中，当,t,→,∞,时，第三项以后各项全部为零，稳态值只有第一、二项不论那种情况，其输出的稳态响应为,因为是一个复数，所以可以表示成为,,可得,欧拉公式,与,x,(,t,)=,X,sin,,t,相比，输出信号与输入信号幅值比和相角差分别为,,(,,) =∠,G,(j,,),因此,|,G,(j,,)|就是系统的幅频特性，∠,G,(j,,)就是系统的相频特性。

即，,G,(j,,)为频率特性总结以上分析：,(1) 线性定常系统频率特性可通过系统的传递函数获得，即：,G,(j,,) =,G,(,s,)|,s,=j,,,系统的频率特性就是其传递函数,G,(,s,)中复变量,s,=,,+j,,在,,=0时的特殊情况2)若系统输入信号为正弦函数，则系统的稳态输出也是相同频率的正弦函数，但幅值和相位与输入信号的幅值和相位不同显然，若改变输入信号频率，系统时域响应稳态值也会发生相应变化，而频率特性正表明了幅值比和相位差随频率变化的情况系统,s,传递函数,j,,频率特性,d,dt,s,d,dt,j,,s,j,,微分方程,(3) 系统频率特性与传递函数、微分方程间都存在内在联系它们之间可以相互转换，均可表征系统动态特性，是系统数学模型的一种表达形式例1,机械系统如右图所示：弹簧刚度系数,k,=10,N,/,m,，阻尼系数,C,=10,N,·,s,/,m,,输入幅值为 1,N,的正弦力，求两种频率下即：,f,(,t,)=sin,t,和,f,(,t,)=sin100,t,时，系统的位移,y,(,t,)的稳态输出解：系统的微分方程,式中,T=c,/,k=,1（s）,,传递函数,系统的频率特性,实频特性：,虚频特性：,,系统的幅频特性为,系统的相幅频特性为,当,,=1时，,G,(j,,)的模和幅角为：,,当,,=100 rad/s时，,,,(,,),=-arctan100≈-89.4°,,所以,f,(,t,)=sin100,t,时的稳态位移输出为,系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，同时位移的相位滞后量也随频率的增高而加大。

所以当,f,(,t,)＝sin,t,时稳态位移输出为,,,第二节,,频率特性表示法,一．极坐标图(奈奎斯特图 Nyquist),频率特性的极坐标图也称为幅相频特性图或称为奈奎斯特图由于频率特性,G,(j,,)是,,的复变函数，故可在复平面[,G,(j,,)]上表示对于给定的,,，频率特性可由复平面上相应的矢量,G,(j,,)描述，如图所示当,,从0→∞变化时，,G,(j,,)矢量端点轨迹即为频率特性的极坐标曲线，该曲线连同坐标一起则称为极坐标图主要缺点:,,不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作用，绘制较麻烦极坐标图的优点:,,在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性简洁、直观地表示了系统频率特性1.绘制频率特性Nyqusit图的步骤,,,（1）在系统传递函数中令,s,=j,,，写出系统频率特性G(j,,) 2）写出系统的幅频特性|,G,(j,,)| 、相频特性∠,G,(j,,),、,实频特性Re,(,,),和虚频特性,Im(,,),3）求若干个特殊点：,,令,,=0,,，求出,0,|,G,(j,0,)|,、∠,G,(j,0,),、,Re,(,0,),,、,Im(,0,),；,,令,Re,(,,)=0,，求出,,，然后代入,Im,(,,),的表达式即求得矢端轨迹与虚轴的交点；,,令,Im,(,,)=0,,，求出,,，然后代入,Re,(,,),的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点。

4）在0<,<,∞,的范围内再取若干点分别求|,G,(j,,)|、∠,G,(j,,) 、 Re,(,,),、Im,(,,),5）对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求,,=,,n,时的|,G,(j,,)|、∠,G,(j,,)、,,Re(,,),、,Im(,,),若此环节（或系统）的阻尼比0<,<0.707,，则还要计算谐振频率,,r,、谐振峰值,M,r,及,,=,,r,时的,Re,(,,),、,Im(,,),其中，谐振频率,,r,、谐振峰值可由下式得到：,（7）在复平面（含实轴、原点、虚轴和复平面名称[,G,(j,,)]）中，分别描出以上所求各点，并按,,增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标出,,增大的方向6）令,=,∞,，求出|,G,(j,,)|、∠,G,(j,,) 、 Re,(,,),、Im,(,,),二．波德图（Bode图）,,波德图,（Bode）,也称为对数频率特性图,幅频特性：,,纵坐标表示幅频特性幅值分贝值,L,(,,)=20lg|,G,(j,,)|，单位,分贝,(dB)；,横坐标(对数分度)表示,,值，单位是,弧度/秒,或,秒,-1,(rad/s或s,-1,)。

幅频特性,相频特性,相频特性：,,纵坐标(线性分度)表示,G,(j,,),的相位，单位是,度,；,,横坐标(对数分度)表示,,值，单位是,弧度/秒,或,秒,-1,(rad/s或s,-1,)lg,,使幅频特性图的绘制简化，且图形也紧凑绘制对数幅频特性图，一般常只画其渐近线当要求精确时，局部加以修正画渐近线先要确定渐近线的斜率渐近线斜率是用频率增高一倍或十倍时，,L,(,,),变化的分贝数来表示在对数坐标图上，若,,2,=2,,1,则,,1,和,,2,两点间的距离就称为“,倍频程,”（,octave,），,或简写成,oct,；,,若,,2,=10,,1,，则,,1,和,,2,两点间的距离就称为“,十倍频程,”（,decade,）,或简写成,dec,例2,设某环节的对数幅频特性为,,,L,(,,)= - 20lg,,,则频率,,=,,1,、2,,1,和10,,1,时的对数幅值为：,,L,(,,)=,L,(,,1,)=-20lg,,1,,L,(,,)=,L,(2,,1,)=-20lg,,1,- 20lg2= -20lg,,1,- 6,,,L,(,,)=,L,(10,,1,)=-20lg,,1,- 20lg10= -20lg,,1,- 20,,即该对数幅频特性渐近线的斜率为-6dB/oct或-20dB/oct。

1、幅频特性,,例3,设某环节的幅频特性为,这一环节的对数幅频特性曲线,当,,,<<1/,T,时，,T,2,,2,与,1,相比可略去不计，数幅频特性，可近似为,,,L,(,,)=20lg5=14 (23),,这是一条距横坐标轴距离为,14,分贝，斜率为,0dB/dec,渐近线如下确定,当,,,>>1/,T,时，,1,与,T,2,,2,相比可忽略，对数幅频特性可近似为,即,显然，这是一条斜率为-20dB/dec的直线这两条直线就是所求的渐近线转角频率（转折频率）,,两条渐近线相交处的频率称为转角频率,,T,，通过令相邻两条渐近线的对数幅值相等，可求出如上例子中两渐近线如下,其实，对数幅频特性曲线的各转角频率，即系统各组成环节的时间常数的倒数或无阻尼自然频率幅值穿越频率,,,对数幅频特性曲线与横坐标轴相交处的频率称为幅值穿越频率或增益交界频率,,,用,,c,表示，可通过令合适频段渐近线方程,L(,,)=0,而求得到如上例中：,,,令,L(,,)=20lg5-20lg,T,,=0,得到,,c,=5/,T,,其横坐标轴的分度按频率,,的对数分度。

因两矢量相乘时，其相位是相加的，所以相频特性采用线性分度（度或者弧度）2、对数相频特性,对数相频特性是指频率特性函数相位随,,而变化的关系,(,,)=∠,G,(j,,),,相位穿越频率或相位交界频率（,,g,）,,,对数相频特性曲线与-180°线相交处的频率，或者说频率特性函数的相位等于-180 °时的频率以波德图表示频率特性的优点：,,1.简化了计算与作图过程：,2.可用近似方法方便作图,,先分段用直线作出对数幅频特性的渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正，就可得到较准确的对数幅频特性图3.可采用叠加法得出系统波德图，分别作出各个环节的波德图，并由此可看出各个环节对系统总特性的影响由于横坐标为对数坐标，所以,,=0的频率不可能在横坐标上表现出来，因此，横坐标起点可根据实际所需的最低频率,,来决定可将串联环节幅值的乘、除,幅值的加、减4.对于横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来第三节 典型环节的频率特性,一．比例环节的频率特性,1.极坐标图,G,(j,,)=,K,显然，对于比例环节，实频特性恒为,K,，虚频特性恒为0，,|,Ｇ,(j,,)| =,K,∠,G,(j,,),=0°,当,,从0→∞时，,Ｇ,(j,,)的幅值总是,K,，相位总是0°，在极坐标图上为实轴上的一定点，其坐标为（,K,，j0）。

2.波德图,对数幅频特性 20lg|,Ｇ,(j,,)|=20lg,K,对数相频特性,,(,,)=∠,Ｇ,(j,,)=0°,G,(s)=,K,其曲线是一条水平线，分贝数为20lg,K,由若干环节串联而成的对数幅值等于各个环节增益对数幅值和二．积分环节的频率特性,1.极坐标图,由于,即,显然，实频特性恒为0；虚频特性则为-1/,,,故幅频特性 |,Ｇ,(j,,)|=1/,,相频特性 ∠,Ｇ,(j,,)=-90°,当,,=0时，|,G,(j,,)|=∞,∠,G,(j,,)=-90°;,当,,=∞时，|,G,(j,,)|=0,　∠,G,(j,,)=-90°2.波德图,,对数幅频特性为：,,20lg|,G,(j,,)|=20lg =-20lg,,,对数相频特性为：,,(,,)=∠,G,(j,,)=-90°,,,1、当,,=0.1 rad/s时，20lg|(,G,(j,,)|=20dB，对数幅频特性经过点（0.1，20）；,2、当,,=1 rad/s时，20lg|(,G,(j,,)|=0dB，对数幅频特性经过点（1，0）；,3、当,,=10 rad/s时, 20lg|(,G,(j,,)|=-20dB，对数幅频特性经过点（10，-20）。

可见：当频率增为10倍时，对数幅频特性就下降20dB它是一条过点（1，0）的直线，其斜率为-20dB/dec (dec表示十倍频程，即横坐标频率由,,增加到10,,)积分环节的对数相频特性，是一条过点（0，-90°)且平行于横轴的直线，与,,无关解：因 ，即 ，,,例4 作 的波德图相频特性,∠,G,(j,,)=-180°,,对数幅频特性：,,对数相频特性,,,,(,,)=∠,G,(j,,)=-180°,当,,=1 、,K,=10时,20lg|G(j,,)|=20dB，对数幅频特性过点(1，20)；,,=10 、,K,=10时，20lg|,G,(j,,)|=-20dB,对数幅频特性过点(1，-20)；,故幅频特性,,对数幅频特性,:一斜率为-40dB/dec的直线，是一个比例环节(,K,=10)与两个积分环节(1/s)的对数幅频特性的叠加对数相频特性:,是一条过点(0，-180°)且平行于横轴的一直线，也是一个比例环节和两个积分环节的对数相频特性的叠加。

比较可知：,,,增加一积分环节，就使对数幅频特性斜率增加,-20dB/dec,，,而使相位增加,-90°,；,,增加一比例环节，对数幅频特性垂直平移,20lg,K,，,而其相位不变三. 理想微分环节的频率特性,1.极坐标图,由于,G,(,s,)=,s,,即,G,(j,,)=j,,显然，实频特性恒为0；虚频特性为,,故,G,(j,,)|=,,∠,G,(j,,)=90°,当,,=0时，|,G,(j,,)|=0，∠,G,(j,,)=90°；,当,,=∞ 时,|G(j,,)|=∞ ，∠G(j,,)=90°,,2．波德图,,对数幅频特性,20lg|,G,(j,,)|=20lg,,,对数相频特性,,(,,)=∠,G,(j,,)=90°,当,,,=0.1 时，20lg|,G,(j,,)|=-20dB ;,,当,,,=1 时，20lg|,G,(j,,)|=0dB微分环节对数幅频特性是过点(1，0)，而斜率为20dB/dec的直线对数相频特性是过点(0，90°)，且平行于横轴的直线四.惯性环节的频率特性,1.极坐标图,,由于,,显然，实频特性为 ；虚频特性为,,故幅频特性,,相频特性,当,,=0,时，|,G,(j,,)|=1,，,∠,G,(j,,)=0°,,当,,=1/,T,时, |,G,(j,,)|=0.707,,,∠,G,(j,,)=-45°,,当,,=,∞,时，,|,G,(j,,)|=0,，,∠,G,(j,,)=-90°,,根据上述实频和虚频特性两式，可分别求得不同,,值的Re(,,)和Im(,,)，从而作出极坐标图。

此时，频率特性曲线为一半圆证明如下：,,实频特性为,,虚频特性为,,所以 将其代入实频特性表达式中,则有 ，将此式整理得,,此式是一个圆方程，但由于∠,G,(j,,)=-arctan,T,,，所以当0,<,,<∞,时，极坐标图是下半圆，因为此时∠,G,(j,,)与Im(,,)恒为负值，如上图所示2．波德图,,如令 ，此频率称为转角频率,,,对数幅频特性,,对数相频特性,,当,,<<1/,T,时，对数幅频特性为：,,,当,,>>1/,T,时，对数幅频特性为：,,,低频段：渐近线是一条0dB/dec水平线；高频段：是一条斜率为-20dB/dec的直线，该两条渐近线相交处的转角频率为,,惯性环节的对数幅频特性曲线的穿越频率和转角频率相等，即,,cr,=,,T,,,渐近线,L,(,,)=-20lg,T,绘制方法：,设,,=,,i,,，则,L,(,,i,)=-20lg,,i,T,，若频率,,i,变化十倍频程，即,,=10,,i,,，则有,当频率每变化十倍频程，幅值,L,(,,)衰减20dB，即斜率为-20dB/dec。

惯性环节的,对数相频特性,取值如下：,,当,,=0,时，,,(,,),=-0°;,当,,=,,T,时，,,(,,),=-45°;,当,,=∞,时，,,(,,),=-90°从图可知，对数相频特性斜对称于点(,,T,，-45,)且在,,≤0.1,,T,时，,,(,,),→-0°，,,在,,T,≥10时，,,(,,),→-90°渐近线与精确的对数幅频特性曲线之间的误差,e,(,,)：,,最大误差发生于转角频率,,T,处，其误差为,-3dB,；,,在,2,,T,或,,T,/2,的频率处，,e,(,,),为,-0.91dB,，,即约为,-1dB,；,,而在,10,,T,,或,,T,/10,的频率处，,e,(,,),就接近于,0dB,据此可,0.1,,T,,~10,,T,范围内对渐近线进行修正五、一阶微分环节的频率特性,1．极坐标图,由于,G,(,s,) = 1+,TS,，即,G,(,j,,) =1+,jT,,显然,实频特性恒为1,；,虚频特性为,T,,,故幅频特性,相频特性,∠,G,(,j,,)=arctan,T,,由此有：,当,,,=1/,T,时，|,G,(,j,,)|= ,∠,G,(,j,,)= 45°；,,当,,,=∞时，|,G,(,j,,)|= ∞,∠,G,(,j,,)=90° 。

当,,,=0时，|,G,(,j,,)|=1, ∠,G,(,j,,)=0°；,,,当,,,<<1/,T,时，20lg|,G,(,j,,)|≈ 0dB，即低频渐近线是0dB水平线；,,当,,,>> 1/,T,,时，20lg|,G,(,j,,)|≈20lg,,T,，即高频渐近线为一直线，其始于点(1/,T,,，0)，斜率为20dB/dec对数相频特性,当,,,=0 时，,,(,,)=0°；,,当,,,=,,T,,时，,,(,,)=45°；,当,,,=∞ 时，,,(,,)=90° 2．波德图,,对数幅频特性,对数相频特性,,(,,)=∠,G,(,j,,)=arctan,T,,,一阶微分环节的转角频率,,T,= 1/,T,,对数相频特性斜对称于点(,,T,，45),,,六．二阶振荡环节的频率特性,1．极坐标图,,如令,,则,,实频特性为,,虚频特性为,故幅频特性为,相频特性,,振荡环节频率特性极坐标图始于,(1, j0)，终于（0, j0）曲线与虚轴交点的频率就是无阻尼固有频率,,n,，幅值为1/(2,,),,，曲线在第三、四象限，,,取值不同，,G,(,j,,)的极坐标图形状也不同。

由此有：,,当,,,=0时, |,G,(,j,,)|=1, ∠,G,(,j,,)=0°,,当,,,=1/,T,时,|,G,(,j,,)|=1/2,,,∠,G,(,j,,)=-90°;,,当,,,=∞时, |,G,(,j,,)|= 0,∠,G,(,j,,)=-180°,在阻尼,,比较小,（,,0.707,,）,时，幅频特性|,G,(,j,,)|在频率,,,r,,处出现峰值，称为,谐振峰值,M,r,，对应频率,,r,称为,谐振频率,可如下求得：,,由,,有阻尼固有频率,谐振频率,,r,总小于有阻尼固有频率,,d,2．波德图,,幅频特性,,相频特性,振荡环节,对数幅频特性,对数相频特性,,(1). 对数幅频特性渐近线,,当,,T,<<1 时，20,lg,｜,G,(,j,,)｜≈0dB,,即低频渐近线是0dB水平线当,,T,>>1时， 20lg｜,G,(,j,,)｜≈-40lg,,T,,当,,=1/,T,时，高频渐近线 20lg｜,G,(,j,,)｜=0dB可见，高频渐近线为一直线，始于点(1,0)，斜率为-40dB/dec,n,称为振荡环节的转角频率,渐近线是由一段0dB线和一条起始于点(1,0)(即在,,r,=,,n,/,T,处)，斜率为-40dB/dec的直线所组成。

2). 误差修正曲线,(3). 对数相频特性,,当,,,=0时，,,(,,),=,0 ;,,当,,,=,,n,时，,,(,,),=-,90°,,当,,,=∞时，,,(,,),=-,180°,,,(4).振荡环节的谐振频率,,r,和谐振峰值,M,r,,已求得,,由图可知：,,,越小,,,r,,越接近于,,n,,(即,,r,/,,n,越接近于1);,,,,增大,,,,r,离,,n,,的距离就增大应指出，,1>,,≥0.707,,时，可认为,,r,=0当,,<0.707,时，,,越小，,M,r,越大；,,→,0,时，,M,r,→∞,；,,当,1>,,≥0.707,时，可认为,M,r,=1,七、二阶微分环节的频率特性,由于,即,其极坐标图如图所示1．极坐标图,2．波德图,其幅频特性与相频特性如图所示第四节 控制系统开环波德图,一．控制系统开环波德图,,,控制系统一般总是由若干典型环节组成，直接绘制系统的开环玻德图比较繁琐，但熟悉了典型环节频率特性后，就不难绘制出系统的开环玻德图控制系统的开环传递函数一般形式为,,故其对数幅频特性为,对数相频特性为,,绘制系统的开环波德图的步骤,,,把系统开环传递函数化为标准形式（即时间常数形式），如前式所示形式；,,选定对数幅频特性图上各坐标轴的比例尺；,,求出惯性、微分、振荡环节及二阶微分的转角频率，并沿频率轴上由小到大标出；,,根据比例环节,K,，,计算,20lg,K,(dB);,,在半对数坐标纸上，找到频率,,,=1,rad/s,及幅值为,20lg,K,的一点，通过此点作斜率为,-20,N,(dB/dec),的直线，,N,为积分环节的个数。

如不存在积分环节，则作一条幅值为,20log,K,的水平线；,,,,在每个转角频率处改变渐近线的斜率，如果为惯性环节，斜率改变为,-20(dB/dec),；,二阶振荡环节，斜率改变为,-40(dB/dec),；,一阶微分环节，斜率改变为,+20,N,(dB/dec),；,如此，作到最后一段，最后一段渐近线的斜率应为,,,-20(,N,+,p,+2,q,-,m,) dB/,dec,,,,N,为积分环节的个数；,p,为惯性环节的个数；,,,q,为二阶振荡环节的个数；,m,为微分环节的个数,,,可以应用上述结论验证图形绘制是否正确如果要求精确对数幅频特性图，可对渐进线进行修正；,,画出每一环节的对数相频特性图，然后把所有组成环节的相频特性在相同的频率下相叠加，即可得到系统的开环对数相频特性例5,绘制如下系统的开环波德,图,1）由G(s,)确定系统的典型环节形式,2）确定积分环节的个数和比例系数K,一个积分环节,起始直线斜率为-20dB/dec,K=5,在=1处直线的值为20lgK=14dB,3） 确定各环节的转折频率（ω=1/T）,ω,1,=1 ω,2,=20,,4）确定坐标的起始频率(ω,o,≈0.1ω,min,),,ω,o,=0.1,,5）将传函按转折频率的大小依次由小到大排列,斜率,-20,-20,-20,6）画出系统的Bode图的渐近线,（依据：当直线和直线相加，则两直线的斜率相加）,0.1 1 10 100,,20,-20,L(,ω),20,14,-20dB/dec,-60dB/dec,-40dB/dec,,二.最小相位系统,最小相位传递函数：,,若传递函数,G,(,s,)的,所有零点和极点,均在复平面［,s,］的左半平面内，则称,G,(,s,) 为最小相位传递函数。

最小相位系统：,具有最小相位传递函数的系统0<,T,<,T,1,),(0<,T,<,T,1,),具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角变化范围是最小的例如两个系统的传递函数分别为,非最小相位传递函数：,,若传递函数,G,(,s,)在复平面［,s,］的右半平面内存在零点或极点，则称,G,(,s,) 为非最小相位传递函数非最小相位系统：,具有非最小相位传递函数的系统下图表示两个系统的零、极点分布图，显然,G,1,(,s,)属于最小相位系统这两个系统具有同一个幅频特征，但它们却有着不同的相频特性，如图b)所示一个最小相位系统需满足下面的条件:,(1) 在,,=∞时，对数幅频特性曲线的斜率为,L,k,(∞)=-20(,n,-,m,)dB/dec,(2) 对于最小相位系统的相位特性；,,,(∞)=-90º(,n,-,m,),这里,n,和,m,分别为传递函数中分母和分子多项式的阶次最小相位系统中,对数幅频特性与相频特性关系唯一第五节 闭环频率特性,一. 由开环频率特性估计闭环频率特性,,,对于如下图所示的系统，其开环频率特性为,G,(,j,,),H,(,j,,)而该系统闭环频率特性为,令,G,K,(,j,,)=,G,(,j,,),H,(,j,,) 则,,二. 频率特性的性能指标,,在频域分析中，评价控制系统性能优劣的特征量称为频域性能指标，它体现了系统的快速性、稳定性等动态品质。

系统的带宽,指闭环系统的对数幅值不低于-3dB时所对应的频率范围(0,≦,,BW,≦,,b,)带宽表征了系统响应的快速性对系统带宽的要求，取决于两方面因素的综合考虑:,1．截止频率,,b,和带宽,,BW,,截止频率,指闭环对数幅值20lg,M,(,,),下降到-3dB[即振幅,M,(,,),衰减到0.707,M,(0)]时的角频率闭环系统将高于截止频率的信号分量滤掉，而允许低于截止频率的信号分量通过1).响应速度的要求,:响应越快，要求带宽越宽2).高频滤波的要求,:为滤掉高频噪声，带宽又不能太宽A,max,A(0),A(,),,,r,,闭环频率特性幅度值的极大值,M,r,，称为谐振峰值系统谐振峰值处的频率，称为,谐振频率,,r,2．谐振峰值,Mr,和谐振频率,,r,二阶系统:,阻尼越小，,Mr,值越大，越易振荡阻尼比越大，,Mr,越小，越易稳定下来故,Mr,标志着系统的相对稳定性当1≦,Mr,≦1.4（对数幅值,0,≦,Mr,≦,3dB,，阻尼比为,0.4,≦,,≦,0.707,,b,>,,r,：,,r越大，,响应速度越快,3．剪切率,指对数幅值曲线在截止频率附近的斜率。

该处曲线斜率越大，高频噪音衰减的越快因此，剪切率表征了系统从噪音中辨别信号的能力三．频率响应指标和瞬态响应指标之间的关系,主要介绍二阶系统的闭环频率特性的评价性能指标第六节 由实测频率特性曲线确定系统传递函数,建立系统的数学模型在分析和设计控制系统中是很关键的，前面已介绍了解析法建模由于实际系统是复杂的，对其结构、参数及其支配运动的机理不很了解，常难于从理论上导出系统的数学模型因此，需要一种用频率特性实验分析法来确定系统数学模型的方法一. 频率特性实验分析的步骤,1．在可能的频率范围内，测量出系统在足够多频率点上的幅值比和相位差2．由实验测得的数据，画出系统波德图3．在波德图上，画出其渐近线，构成整个渐近对数幅频特性曲线通过试算对转角频率，可获得较满意的渐近线4．最后由渐近线来确定系统或元件的传递函数1、由实验得到的对数幅频特性；,,2、对数幅频特性的渐近线的斜率必须是20dB/dec的倍数如果对数幅频特性在,,=,,1,处，由斜率减少20dB/dec，则很明显，在传递函数中包含如下环节,二. 由波德图确定系统的传递函数,的二阶振荡环节，振荡环节的无阻尼自然频率就等于,,3,,=1/,T,.,若在,,=,,2,处，斜率变化-4,0dB/dec,，则在传递函数中必含有,如果对数幅频特性在,,=,,2,处，增加20dB/dec，则很明显，在传递函数中包含如下环节,,在实际系统中，积分因子的数目,N,等于0、1或2。

下面介绍系统类型和开环增益确定，系统类型和开环增益,K,主要由系统低频特性形状和数值来确定频率特性一般形式为,式中,N,--串联积分环节的数目， 当,,→0,时，各一阶环节因子趋近于1，故有,,（1） 对于,N,=0时，即零型系统，有,其对数频率特性的低频渐近线是一条20lg,K,dB的水平线，,K,值由该水平线求得，如图所示2） 对于,N,=1时，即为,Ⅰ,型系统,即,上式表明，低频渐近线斜率为-20dB/dec，渐近线（或延长线）与0dB轴交点处的频率在数值上等于,K,，见下图b上式表明，低频渐近线斜率为-40dB/dec，渐近线（或延长线）与0dB轴交点处的频率在数值上等于 见图c对于,N,=2时，即为Ⅱ型系统,即,,由于当,,=1时，系统的对数频率特性曲线一定过20lg,K,，所以,K,值可将,,=1由代入以上各式求得各种类型系统的对数幅值曲线,,20lgK=20dB,K=10,起始斜率为-20dB/dec,一个积分环节,,,L(),-20dB/dec,-40dB/dec,-20dB/dec,1 5 12 30,20,1.5,例 最小相位系统的对数幅频特性图如图所示，试确定系统的传递函数。

振荡环节：,ω,r,=12,得： ω,n,=14,得：ξ=0.358,一阶微分环节：,系统的传递函数为：,G(s)=G,1,(s)G,2,(s)G,3,(s)G,4,(s),,一　基本要求,,（1）掌握:,小 结,频率特性Nyquist图和Bode图组成原理;,（2）了解:,频率特性的,性能指标,;,最小相位系统的概念闭环频率特性与开环频率特性之间的关系,;,频率特性定义和代数表示法；,频率特性和频率响应求法;,开环系统Bode图特点和绘制频率特性Nyquist图和Bode图组成原理;,典型环节Nyquist图和Bode图特点及其绘制;,,二　本章重点,(1)频率特性定义和代数表示法；,(2)典型环节的Bode图、Nyquist图;,三　本章难点,,（1）开环系统,Bode,图,、Nyquist图,的画法及图形的分析;,,（2）频域性能指标计算;,频率特性和频率响应求法开环系统Bode图的绘制作业 4.6 4.10 4.12(2)(4)(6)(8) 4.14 4.15 (6)(9)(10),,。