环扩张保持对称性条件.docx

两个环扩张条件的讨论摘要：这篇论文在前人的基础上得出了环的Trivial(平凡)和Nagata扩张的一些结论，并 主要对结论的条件进行了讨论，分别举出相应的反例得出结论中条件的必要性关键词：对称环，可除环，交换整环引言 本文主要将论文［2］中的两个定理进行的推广，并利用两个特殊环的扩张：实数域上的Hamilton四元素环的平凡扩张和特征为0的整环D的一个交换约化环R二D㊉D与R的内 自同构Q所得到的Nagata扩张，就所得结论中条件的必要性进行了讨论一、 基本概念及引理 我们规定文中不做特别说明的所有环都是有单位元的环下面介绍一些相关的概念设环R, a,b e R，有ab = 0 n ba = 0，则称环R是可逆的［1］设环R, r,s,t e R，有rst = 0 n rts = 0，则称环R是对称的［2］设环R, a,b e R，有ab二0 n aRb二0，则称环R是半交换的［2］设环R, Vx e R，有x2 = 0 n x = 0，则称环R是约化环［3］下面是环平凡扩张和 Nagata 扩张的概念：设环R及其双模M，若环R㊉M满足：RR(1)加法运算满足一般规律；(2)乘法运算为(r, m ,m )= (rr ,rm + mr )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2(r m) / 、且同构于矩阵环八 ,r e R,m e M ；则称它为环R的平凡扩张，记为T(R,M丿。

I0 r丿设R是一个交换环，M是一个R-模，a是环R的内射自同态，若环R㊉M满足：乘法运算：(r,m )(r ,m )=(rr ,a (r)m + rm ),r eR,m eM ,则称它为环 R 关于M1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 i i和 a 的 Nagata 扩张引理1、［2］设R是一个约化环，则R的平凡扩张T(R,R)是一个可逆环引理2、［2 ］设R是一个交换整环，a是环R的内射自同态，则环R关于R和a的Naga ta 扩张是可逆的二、 主要结论对于论文［2］中的两个结论，分别得出推广：定理1、设R是一个可除环，则R的平凡扩张T(R,R)是一个对称环证明：设e T (R, R )，且有r a b]rcd]ref].0 a丿< 0c丿< 0e丿=0，则有ace = 0 = acf + ade + bee又由R是约化环，ace = 0可推出a = 0或e = 0或c = 0若a = 0，则bee = 0，环R是对称的，则有bee = 0，从而推出afe + ade + bee = 0，也即(a b 1/ e广/ ed10 a丿< 0e丿< 0e丿=0，故证得T(R, R)是对称环。

当e = 0或e = 0时，同理可证•对于定理1, R是一个可除环是必要的，下面的例子中给出，即使环R是对称的，也不能推 出它的平凡扩张也是对称的例1、设H是实数域上的Hamilton四元素环，R是H关于H的平凡扩张，由定理1可知R 是对称的；令S是R关于R的平凡扩张，则由Y 010(010j 010(0i [0丿0、0丿i 10丿010丿01)“ 0 j丿i1 0丿八、0卩(jj丿i1 0丿八、110丿010丿01j丿01j丿'k< 0厂0< 0厂0<0厂0<0011 kJ110丿丿0110丿i1 0 J= 0，而j 010(010110丿010丿'k<0厂0<0011k J110丄010丿010丿~2< 0厂0<00 丫-2丿010丿丿也即，S = T(R,R)不是半交换环从而也不是对称的定理2、设R是一个交换整环，b是环R的内射自同态， 张是对称的证明：令N为R的Nagata扩张，(r, m )(r ,m )(r , m ) = 0, (r , m ), (r ,m ), (r1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3))= 0 ，故有则有扩张定义可知 (rrr,b(rr)m + r (b (r )m + r m12 3 12 3 3 1 2 2 1rr r = 0或b (rr )m + r (b (r )m + rm )=0。

1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 1又因R是整环，则有［=0或r2 = 0或r3 = 0贝0有 rrm = 0 n r rm = 0 ；3 2 1 2 3 1则环R关于R和◎的Nagata扩则有 rQ(r )m = 0 n r = 0或◎ (r )= 0或,3 1 2 3 1m = 0，2故有b( rr )m =b(r)b(r)m =0；1 3 2 1 3 2令 r = 0，则有b (rr )m = 0 nb(r)b(r )m = 0，-3 1 2 3 1 2 3综上可以推出 ( r,m)(r,m )(r,m )=(rrr,b(rr)m1 1 3 3 2 2 132 13 2故N是对称的故有 r b (r )m = 0 ；2 1 3[+ r (b (r )m + rm ))= 0 ,2 1 3 3 1对于定理2,我们试图证明若环R是一个交换约化环时，也有同样的结论，而通过分析，这 并不成立，并找出下面的反例例2、D是特征为0的整环，R = D㊉D是一个交换约化环，但非整环，定义 ◎ :RTR为Q(s,t)=(t,s)，则◎是R的一个内自同构则有下列推算((0,1),(0,1))((1,0),(0,1))=(0,◎ ((o,l)(o,l)+(l,o)(0,1)))= 0，但((1,0 ), (0,1))((0,1), (0,1))=(0, ◎ ((1,0 )(0,1)+(0,1)(0,1)))=(0,(0,2 )L 0也即，R关于R和◎的Nagata扩张不是可逆的，而((1,1),(0,0))是环R的单位，故环R也 不是对称的。

参考文献：[1] P.M.Cohn. Reversible rings[J], London Math. Bull . ,1999,Soc.31：641-648.[2] Nam Kyun Kim,Yang Lee.Extensions of reversible rings[J].Journal of Pure and Applied Algebra,2003,185：207-223.[3] Susan Montgomery. . Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York,1980.。