数学理一轮教学案：第八章第2讲　空间点、线、面的位置关系 Word版含解析.doc

高考数学精品复习资料 2019.5第2讲　空间点、线、面的位置关系考纲展示　命题探究1　平面的基本性质2　空间直线的位置关系(1)位置关系的分类 (2)平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(4)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．②范围：.3　空间直线、平面的位置关系注意点　对异面直线定义的理解(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．(3)异面直线不具有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线.1．思维辨析(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　　)(2)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　　)(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(　　)(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　　)(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(　　)(6)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c(　　)A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能答案　D解析　当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．答案　30°　45°解析　∵AB∥A1B1，∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1，∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝a，∴B1C1＝BC＝a.∴四边形BB1C1C是正方形，∴∠BB1C＝45°.　[考法综述]　点、线、面的位置关系是立体几何的核心内容，高考既有单独考查直线和平面位置关系的题目，也有以多面体为载体考查线面位置关系的题目．高考试题对点、线、面的位置关系的考查以理解和掌握为主，试题一般为中等难度．命题法　点、线、面位置关系的判断及异面直线所成的角典例　　(1)已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(　　)A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直(2) 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：①三角形PCD的面积；②异面直线BC与AE所成的角的大小．[解析]　(1)如图作AM⊥BD，垂足为M；作CN⊥BD垂足为N，若存在某个位置，使得AC⊥BD，则BD⊥平面AMC，BD⊥平面ANC，矛盾，故A错误；当翻折到点A在平面BCD上的射影H落在BC上时，由CD⊥CB，CD⊥AH，所以CD⊥ABH，所以CD⊥AB，故B项正确，D项错误；若存在某个位置使得AD⊥BC，则再由CD⊥CB得CB⊥平面ACD，所以∠ACB＝90°，这样|AB|>|BC|，而AB＝1，BC＝，矛盾，故C项错误．(2)①因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.因为PD＝＝2，CD＝2，所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.②解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则点B(2,0,0)，C(2，2，0)，E(1，，1)．则＝(1，，1)，＝(0,2，0)．设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以θ＝.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.解法二：取PB的中点F，连接EF，AF, 则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.[答案]　(1)B　(2)见解析【解题法】　异面直线的判定及其所成角的求法(1)判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．②反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面．(2)求解异面直线所成角的常用方法有两种①平移法a．平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解(常结合余弦定理求解)．b．因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．②向量法a．向量法求异面直线所成角关键在于找出两异面直线的方向向量，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示，求两向量的数量积．b．设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．两向量的夹角范围是[0，π]，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分．1．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值(　　)A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5答案　B解析　首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B.2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案　B解析　A选项m、n也可以相交或异面，C选项也可以n⊂α，D选项也可以n∥α或n与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A. B.C. D.答案　C解析　解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BM∥QN，则∠ANQ即为所求，设BC＝CA＝CC1＝2，则AQ＝，AN＝，QN＝，∴cos∠ANQ＝＝＝＝，故选C.解法二：如图，以点C1为坐标原点，C1B1，C1A1，C1C所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设BC＝CA＝CC1＝1，可知点A(0,1,1)，N，B(1,0,1)，M.∴＝，＝.∴cos〈，〉＝＝.根据与的夹角及AN与BM所成角的关系可知，BM与AN所成角的余弦值为.5．如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．答案　解析　如下图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则ME∥AN， 则异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC.由题可知CN＝1，AN＝2，∴ME＝.又CM＝2，DN＝2，NE＝，∴CE＝，则cos∠CME＝＝＝.6. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．答案　解析　取BF的中点N，连接MN，EN，则EN∥AF，所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角．在△EMN中，当点M与点P重合时，EM⊥AF，所以当点M逐渐趋近于点Q时，直线EN与EM的夹角越来越小，此时cosθ越来越大．故当点M与点Q重合时，cosθ取最大值．设正方形的边长为4，连接EQ，NQ，在△EQN中，由余弦定理，得cos∠QEN＝＝＝－，所以cosθ的最大值为.7．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解　(1)证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系G－xyz.由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F，C(0，，0)，所以＝(1，，)，＝.故cos〈，〉＝＝－.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.8．如下图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角P－AD－C的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．解　(1)证明：由PD＝PC＝4知，△PDC是等腰三角形，而E是底边CD的中点，故PE⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，故PE⊥平面ABCD，又FG⊂平面ABCD，故PE⊥FG.(2)∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PDC，而PD⊂平面PDC，故AD⊥PD，故∠PDC为二面角P－AD－C的平面角．在Rt△PDE中，PE＝＝，∴tan∠PDC＝＝，故二面角P－AD－C的正切值是.(3)连接AC.由AF＝2FB，CG＝2GB知，F，G分别是AB，BC且靠近点B的三等分点，从而FG∥AC，∴∠PAC为直线PA与直线FG所成的角．在Rt△ADP中，AP＝＝＝5.在Rt△ADC中，AC＝＝＝3.在△PAC中，由余弦定理知，cos∠PAC＝＝＝，故直线PA。