2021年上海市高考数学试题及答案解析.docx

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 以下哪个函数既是奇函数，又是减函数   A. y=−3x B. y=x3 C. y=log3x D. y=3x2. 已知参数方程，，，以下哪个图符合该方程   A. B. C. D. 3. 已知f(x)=3sinx+2，存在任意的x1∈[ 0,π2]，都存在x2∈[ 0,π2]，使得f(x)=2f(x+θ)+2成立，则下列选项可行 θ的值是   A. 3π5 B. 4π5 C. 6π5 D. 7π54. 已知x1、y1、x2、y2、x3、y3为6个不同的实数，满足 ①x1x1+x3C. x22x1x3二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知z1=1+i，z2=2+3i，则z1+z2=_____．6. 已知A={x|2x≥1}，B={ −1,0，1 }，则AB=_____．7. 已知圆x2+y2+2 x−4y=0，则该圆的圆心坐标为_____．8. 如图，正方形A B C D的边长为3，则AB·AC=_____．9. 已知f(x)=3x+2，则f−1(1)=_____．10. 已知二项式(x+a)5展开式中，的系数为80，则a=_____．11. 已知实数 x , y满足x≤32x−y−2≥03x+y−8≥0，则z=x−y的最大值为_____．12. 已知无穷等比数列 {an} 和 {bn}，满足a1=3，bn=a2n，若a2n的各项和为9，则数列{bn}的各项和为_____．13. 在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则△ABC的面积的取值范围为_____．14. 有四个不同的馆，甲、乙2人每人选2个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为_____．15. 已知抛物线y2=2px ( p>0 )，若第一象限的 A ,B在抛物线上，焦点为 F，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线 AB的斜率为_____．16. 已知ai∈N∗(i=1,2，⋯，9)，对ak=ak−1+1或ak=ak+1 −1( 2≤k≤8 )中有且仅有一个成立，且a1=6，a9=9，则a1+a2+⋯+a9的最小值为_____．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3．(1)点P是棱A1D1上的动点，求棱锥C−PAD的体积；(2)求直线AB1与平面ACC1A1所成的角． 18. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2c．(1)若A=2π3，求△ABC的面积；(2)若2sinB−sinC=1，求△ABC的周长．19. 已知某企业今年(2021年)第一季度营业额为1亿元，以后的每个季度营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿元，以后每季度比上一个季度增加4%．(1)求2021年起前20个季度营业额的总和；(2)哪一个季度的利润第一次超过营业额的18%．20. 已知椭圆 Τ：x22+y2=1，F1，F2是左右焦点，直线且 l过点P(m,0) (m<−2)交椭圆 Τ于A，B两点，点A，B在 x轴上方，点A段BP上  (1)若P为上顶点，|BF1|=|PF|，求m的值；(2)若F1A⋅F2A=13，原点O到直线l的距离为41515，求直线 l的方程；(3)对于任意点P，是否存在唯一的直线 l，使得F1A//F2B，若存在，求出直线 l的斜率，若不存在，请说明理由．21. 对于定义域为R的函数f(x)以及非空数S：若对任意x1，x1∈R，当x1−x2∈R时，都有f(x1)−f(x2)∈S，则称f(x)是S关联的．(1)若f(x)=2 x+1，则f(x)是否是关联的，f(x)是否是  [0,1] 关联的；(2)设f(x)是  { 3 } 关联的，当x∈[0,3]， f(x)=x2−2x，解不等式：2≤f(x)≤3；(3)证明：f(x)既是  { 1 } 关联的，又是关联的，当且仅f(x)是  [1,2] 关联的．答案解析一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.以下哪个函数既是奇函数，又是减函数   A. y=−3x B. y=x3 C. y=log3x D. y=3x【答案】A【解析】幂函数y=x3在R上单调递增，对数函数y=log3x与指数函数y=3x，既不是奇函数也不是偶函数，所以选项 B，C，D 都不符合题意，故选：A．2.已知参数方程，，，以下哪个图符合该方程   A. B. C. D. 【答案】B【解析】当t=0，x=0，y=0，所以过原点，排除A，当t =1时，x =−1，y =0，排除C和D，当x=3t−4t3=0，t1=0，t2=−32，t3=32，则y1=0，y2=−32，y3=32，故选：B．3.已知f(x)=3sinx+2，存在任意的x1∈[ 0,π2]，都存在x2∈[ 0,π2]，使得f(x)=2f(x+θ)+2成立，则下列选项可行 θ的值是   A. 3π5 B. 4π5 C. 6π5 D. 7π5【答案】B【解析】【解析】由题意知，x1是任意性，x2是存在性，设f(x)=3sinx+2 的值域为A，f(x)=2f(x+θ)+2的值域为B，则A⊆B，A=[2,5]，对于选项A，f(x)=2f(x+θ)+2=6sin(x+35π)+6，B≈[4.14,11.70]，不符合A⊆B，排除A，对于选项B，f(x)=2f(x+θ)+2=6sin(x+45π)+6，B≈[1.14,9.52]，符合A⊆B，B项正确，对于选项C，f(x)=2f(x+θ)+2=6sin(x+65π)+6，B≈[1.1,2.5]，不符合A⊆B，排除C，对于选项D，f(x)=2f(x+θ)+2=6sin(x+75π)+6，不符合A⊆B，故选：B．4.已知x1、y1、x2、y2、x3、y3为6个不同的实数，满足 ①x1x1+x3C. x22x1x3【答案】A【解析】【解析】方法：利用凹凸性构造函数由题设x1+y1=x2+y2=x3+y3=k，并令f(x)=x(k−x)=−x2+kx，则x1y1=x1(k−x1)=f(x1)，同理x2y2=f(x2)，x3y3=f(x3)，条件 ③转化为f(x1)+f(x3)2=f(x2)，考虑到函数f(x)为开口向下的二次函数，它在定义域内整体为上凸函数，因此f(x1)+f(x3)2=f(x2)，由条件 ①可得，xi0 )，若第一象限的 A ,B在抛物线上，焦点为 F，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线 AB的斜率为_____．【答案】52．【解析】由焦半径公式得，|AF|=x1+p2=2，|AF|=x2+p2= 4，|AB|= 3，可知x2−x1= 2，又因为|AB|=(x2−x1)2+(y2−y1)2=22+(y2−y1)2= 3，所以y2−y1=5，因为x2−x1=y22−y122p= 2，(y2−y1)(y2+y1)2p= 2，解得y2+y12p=25，所以kAB=y2−y1x2−x1=y2−y1y22−y122p=2py2+y1=52，故答案为：52．16.已知ai∈N∗(i=1,2，⋯，9)，对ak=ak−1+1或ak=ak+1 −1( 2≤k≤8 )中有且仅有一个成立，且a1=6，a9=9，则a1+a2+⋯+a9的最小值为_____．【答案】31．【解析】若a1=6，a2=1，a3=2，  a4=1，a5=2，a6=1，a7=2，a8=8，a9=9，此时a1+a2+⋯+a9=32，若a1=6，a2=7，a3=1，a4=2，a5=1，a6=2，a7=1，a8=2，=9。