北师版九年级数学第四章 图形的相似 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）.docx

第四章 图形的相似 知识归纳与题型突破（十一类题型清单） 01 思维导图02 知识速记一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．4.平行线分线段成比例： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.二、相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.　要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．三、位似1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.03 题型归纳题型一 成比例线段 比例的性质例题1．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（    ）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，巩固训练2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ）A． B．C． D．3．若，则下列式子不正确的是（    ）A． B． C． D．4．若，则的值为 ．5．若，则 ．6．若，且，则的值为 ．题型二 黄金分割 例题7．如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ）A． B． C． D．1巩固训练8．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ．9．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝ ．10．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ．11．点是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（    ）A． B．C． D．题型三 平行线分线段成比例例题12．如图，，，，则的长是（    ）A．3 B．4 C．6 D．10巩固训练13．如图，已知，那么（    ）A．3 B．4 C．5 D．614．已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ．15．如图，直线，直线和被，，所截，如果 则DE 的长是 ．16．如图，，，，，则 ．  题型四 平行线分线段成比例的几何应用例题17．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为 ．巩固训练18．如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．  19．如图，正方形的边长为，是AD的中点，是射线上一点（不与点重合），且，则的长为 ．题型五 相似多边形例题20．下列说法中正确的是（   ）A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形B．各边成比例的两个多边形是相似多边形C．边数相同的两个多边形是相似多边形D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形巩固训练21．下列说法中，错误的是（   ）A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似22． 五边形五边形，相似比为，若，则 ．23．两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应边之比为（    ）A． B． C． D．24．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则 ．题型六 相似三角形的判定例题25．如图，下列条件中，不能判定的是(　　)  A． B． C． D．巩固训练26．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ）A．，，B．，，，，，C．，，，，D．，，，，，27．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（　　）A． B． C． D．28．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（    ）A． B． C．平分 D．29．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）  30．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ．题型七 相似三角形的性质例题31．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 .巩固训练32．若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ．33．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 34．已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是 ．35．如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则 ．题型八 相似三角形的判定与性质综合例题36．如图，D，E 两点分别在的边上，且，，若的面积是3，则四边形的面积是（   ）A．6 B．9 C．12 D．15巩固训练37．如图，四边形中，，若，则 ．38．如图，在矩形中，，点分别在边上，交于点，若是的中点，则线段的长度是（    ）A． B． C． D．39．如图，在四边形中，，，为对角线，若，，，则的面积为 ．题型九 利用相似三角形的判定测高例题40．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为 米．巩固训练41．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ）A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米42．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度．43．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．  题型十 图形的位似例题44．如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的面积为9，则的面积为（    ）．A．4 B．6 C．8 D．9巩固训练45．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，2,1，则位似中心的坐标是（   ）A．0,2 B． C．0,3 D．0,446．如图，中A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　）A． B． C． D．47．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标是（ ）A． B．C．或 D．或48．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．(1)以原点O为位似中心，画，使它与的相似比为，变换后点A、B的对应点分别为点、，点在第一象限；(2)若为线段上的任一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ．题型十一 解答综合题例题49．如图，在中，，，，求证：．巩固训练50．如图，在中，，，．(1)尺规作图：作菱形，使，，分别在AB，，上．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求（1）中所作菱形的边长．51．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，矩形的周长为32，求的长．52．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线BC与x轴交于点C−2,0，点D在x轴的负半轴上且．(1)求证：；(2)已知点E在x轴上，点F在坐标平面内，如果以C、B、F、E为顶点的四边形是菱形，直接写出符合条件的点E坐标；(3)在直线上是否存在一点G，使与相似？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．53．综合与实践(1)【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为 ；(2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长；(3。