[精品专业论文]数学毕业论文(大学) 圆锥曲线焦点三角形.doc

锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨数学系20021111班朱家庆指导教师向长福摘 要：圆锥曲线是现行高中解析儿何学的重要内容乙一，且圆锥曲线知识既是高中数 学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容而圆锥1111线的主要内容Z—是过圆锥 曲线焦点的弦或育线的有关问题，学生在求解此类题1=1时，常常感到无从下手为解除这种 困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭闘焦 点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得 出圆锥1111线焦点三角形的五条基木性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更 深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题日的数学能力和应用能力关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点On the Properties of Conic Focal Point Triangleand Focal Point StringAbstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduct io n, probes into the n ature of ellipse focal point tria ngle, the n ature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems.Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point1引言圆锥Illi线是现行高中解析儿何学的重要内容z—,且圆锥曲线知识既是高中数学的重 点，又是难点.而圆锥曲线的主要内容Z—是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题•在求 解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生rh于计算量大的繁锁，产生厌学数学 的情绪.为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法 或数学思想是很必要的.在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨 圆锥Illi线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家己做过研究•文献［2］主 要是对椭闘焦点三角形的性质进行研究，而文献［7］主要是对双曲线焦点三角形的性质讲行 研究•文献［2］、［7］都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献［1］、［10］主要围绕 焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文献［2］、［7］的不足Z处.文献［9］主要是探讨圆锥曲线焦点弦的儿何特征.作为一个有机報体 的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事悄.在 对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭闘焦点三角形 的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将H系统地归纳 集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生 运用这些性质去解决相关问题的数学索质和应用能力.2圆锥曲线焦点三角形的定义及性质圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形⑴. 2.1椭圆焦点三角形的性质x2 v2以椭圆石+产1（5>）的两个焦点环尸2及椭圆上任意-点P （除长轴上两个端点外）为顶点的4F\PF?，叫做椭圆的焦点三角形巴设ZF\PF2 = e, ZPF,F2 = a , ZP/M二B,椭圆的离心率为幺，则有以下性质:性质121/1 + cos 0证明：在4FfF?中,由余弦定理，有|PFj2+|PFj<2|PFj.|PF2|.cos^ = |FIF2|2=(2c)2・・・ PF.\ + \PF2\ = 2apfJ2 +|pf2|2 +2|PF,|-|PF2| = 4^2.・.4a2 一 • |PF2|- •『巴I • cos。

4c2整理，得2b21 +COS&2 2例1如图2： F、、&分别为椭圆芈+「= 1（〉方〉0）的左、右焦点，点P在椭圆6T b~上，apof2是面积为1的正三角形，求戸的值.分析：此题按常规思路是从S、POF1 = 1入手，即S = ||OF2|-|PO|sin60=^c2,4^3所以点P的坐标分别为》a由于点P在椭圆上，有c2 3c2 _4a2 * 4b2f 7 9 ?b_ +L = cr解此方程组就可得到沪的值.但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦•若用性质1求解可使运算得以简化.解：连接 PF},则 /FPF? = 90,有s -Ls APOF2 _ 2 J、F\PF 2・・・l = *・*|PF」・|PF2|・sin90I 1 2沪1 = • sin 904 1 + cos90b2 = 2.2 一 9 0性质2 S\F\PF2 = b~ • tan—.证明：由性质1得S嘶弓阿|・阳・血02 1 + cosO f 9 sinO1 + cos 八+ e=- tan — .2x v64 25例2已知片、耳是椭圆—+ —= 1的两个焦点，P是椭圆上任一点，且TTZFf F? = ,求NF、PF?的面积・TT分析：如果设P点的坐标为(x, y),由P点在已知椭圆上且ZF.PF,利用这两个条件，列出关于.y的两个方程，解出兀，y・再求PF2的面积，这种方法，运算量TT大且过程緊杂，须另寻捷径.知道ZF,PF2 = 可以真接利用性质2求解，使运算量简化.9 0解：••• S 码 PF2••・儿＞ 0例3已知点P(Xo，)\)) (yQ > 0)是椭圆 =l(a>b>0) 任一点，且oAFXPF, = 0.求证：y0 = —-tan-. c 2证明：・・・S时尸2 =丁固尸2卜/1 = 丁20・卜0b2 e例4点F是椭圆—+ ^ = 1一点，以点F以及焦点峙、耳为顶点的三角形的面积等于1,求点P的坐标.分析：要求点P的坐标，不妨设P点坐标为（兀（）,），（）），由P点在已知椭圆上和PF2 的血积等于1,可列两个方程，解方程可得点P的坐标.此题也可在例3的基础上进行求解⑶■解：设P点坐标为（兀0，儿），则有b2 儿=—e• tan —=2S比严2得兀。

^~-•••点p坐标为劣,1）呼I，孚，峠•・• c = y/a2 -b~ = 1|>o| = 1)o = 1 •2 2把 yQ = 1 代入—+ — = 12/?2 性质 3 O <6 < arccos(—-——1).证明：由正弦定理，有|P 耳 I \pf2\ \fxf2sin [3 s\na sin~WT~sin a + sin 0sinsin a + sin J3sin[l 80-( + /?)]sin a + sin 02-sina + f32cossin(6z + 0)2-sin•cos丄=• Q F1-COS& sin —a - Bcos < <1__a + B a+ Bcos cos 2 2PF}\ + \PF2\ = 2a|巧尸2『=4宀4（宀庆）2a2yla2-b2 _ Vl-cos^.•.亠cT -b^ 1 -coscos&y -cz_“2 2因为 Ov&v/r，所以 0 < arccos —-当点P在长轴上的端点时，0 = 0 ,这时，\FxPF2不存在，因此，2/异0<0 < arccos(——1)1a + 0 cos 性质4离心率e = J.a-p cos —2证明：由正弦定理，有sin p sin a sin 6? sin(a + 0)F禺PF\+Ph•cos小.a + B a + Bsin(a + 0)二 2 2sin a + sin 卩 sjn P cos a~ PSm 2 CS 2a + Bcos c _ _ 2cos 2例5 （2004年福建高考题）已知佗是椭圆的两个焦点，过片且与椭圆长轴垂肓的肓线交椭圆于A、B两点，若MBF2是正三角形，求这个椭圆的离心率1分析：由AABF2是正三角形可知4竹=24片，根据椭圆的第一定义可求得2 0af2=—・2d・再由cos 30 =3AA2可求得离心率e•若用性质4解题，求解更简便•解：根据已知条件有ZAF}F2 =90\ZF}F2A = 3Q\ （如图3）cosCOSa- P2o _ o90 +30cos 290 - 30cos 2cos 60 _ V3cos30 3性质5a 0 1 -etan — - tan ——= 2 2 1 + 幺证明：由正弦定理，有sin )3 sin a sinO|片佗| _ sin 6^ _ sin(a + 0)『F1I + IPF2I sin 。