常利率下相依风险模型的破产概率.doc

常利率下相依风险模型的破产概率摘要：木文通过对经典风险模型推广得到一种带常利息率的相依的相依风险模型，建 立了索赔产生时索赔次数相依的风险模型，给出了特殊情况下的最终破产概率和破产 概率的一个上界估计讨论了相依性对破产概率的影响最后给出相应的数值模拟 关键词：常利率 相依性 风险模型 破产概率Dependent risk model with constant interest rate bankruptcy probability Abstract: In this paper, the promotion of the classical risk model-dependent risk model with constant intorest rate dependent claims arise dependent on the number of claims risk model, given the special circumstances, the ultimate ruin probability and the ruin probability upper bound estimates. Dependency on the ruin probcibility. Fin ally, the correspond ing nu mericeil simulation. Key words: Constant Intcrest Dopendcncy Risk model Ruin probability引言在经典风险理论中，破产论是风险理论的核心内容.目前国内外已有许多的专家 和学者对破产理论进行了大量的研究和拓展，复合poisson模型是主要研究对象，并取 得了一系列重要结果.在经典的风险模型［1］的基础上，龚H朝用Poisson过程来描述 保单到达过程，是对经典模型的一大改进，但未考虑到保费与理赔到达之间的数字特 征的某些关联性.文献［2-4］将理赔与保费到达过程之间的稀疏关系考虑其中，对经典 模型又做了更大的改进，但未考虑保险公司实际运营中存在的再保险因素的影响•文 献［5］仅仅只考虑了具有两种副索赔的离散相依风险模型的破产问题，模型较为简单， 具有一定程度的局限性.文献［6］研究了常利率下特殊双险种风险模型的破产概率， 但没有考虑再保险及稀疏过程；文献［7］在以上文献的基础上综合考虑了理赔与保费 过程的P-稀疏因素，再保险因素，并且考虑了随机干扰因素，使得所建立的模型更具有 实际意义，文献［8］主要是在上述基础上考虑索赔次数相依的风险模型并得出相依性 能增大破产概率的结论，有具体的实例，但没有考虑利率因素•本文在文献［7］、［8］ 的基础上，即考虑保费收取次数为Poisson过程的风险模型进一步推广具有相依索赔 的双险种风险模型。

通过这个模型，得到了该模型最终的破产概率的一般表达式和破 产概率的一个上界估计，并结合实例进行了数值计算，可为有关经营决策者提供一些 参考预警指标.1.模型的引入下面所提到的随机变量和随机过程都是定义在某个给定的概率空间(Q,F,P)上, 假设初始资本为^>0,盈余过程可表示为⑺：M(/) N(t)UQ = ue6t + £ C0S _ £ D严「 (1)Z=1 7=1其中：(1)力表示连续复利利率j>o［8］h为一常数，(2) M(t) = sup{i>^Ki=XXj］}表示第i个保单到达的时间，其分布函数为 Fk⑴,X = {XJ> 1}表示两个相邻保单到达的时间间隔序列,并且有Xj = Ki - K-,(3) {Cp/>1}表示保费额序列，分布函数为Fc(x). X={Xi9i>l} ^C = {Cni>l}均 为独立同分布的非负随机变量序列，且彼此相互独立；(4) W) = s叩{上1,7；=£人・}表示/时刻为止理赔的总次数为计数过程•其中丫k=l的分布函数为G(/) ; r = ｛T/,j>0｝表示第丿次索赔发生的时间，其中, y = ｛r.,7->1｝表示两次索赔发生的时间间隔序列，并且有 Yj=Tj-Tj-\，Sf=l(6)公司发生理赔时，我们假定下述三种类型的索赔事件有U仅有一类可能发生: ①只发生第一类险种的索赔;②只发生第二类险种的索赔;③两类索赔都发生.上述三 类事件发生的概率分别为Pi , P2 , P3,显然卩］+ 2 + “3 = 1 •设第一类险种的索赔额服从分布函数/7,(r);第二类险种的索赔额忌，服从分 布函数日2(门；第三类事件的索赔额应服从分布函数/ * W2(r) ,11/?., R2是相互独立 的•设Dj = /?,少、+忌“2 + (心+ %)送为公司的第丿•次理赔额，其中£为0 -1随机变 量，心=1表示第£类事件发生,而且对于每次索赔有且仅有一个氏=1,它发生的概率 为戶(氏=1)=以,£ = 1,2,3.鸟表示第,类险种在第八火索赔时的索赔额,口它们相互独 立•用D表示任意的。

由全概率公式知D的分布函数 为:H(D) = p1ff1(D) + p2//2(D) + p3HI *H2(D), i = 1,2,3 •在普遍不考虑各随机过程具 体分布的情况下,本问题中也可把索赔额笼统的记为D,其分布函数为H(D)；(5) ｛N⑴，宀0｝是参数为人的Poisson il程，｛A7(r),r>0｝是参数为加的 Poisson过程；Yi2 ,为前两类险种的索赔额，且有如下相依关系： M(苦呗) + %(『)，心⑴=%⑴十％⑴,其中呗),％(/)，仏⑴，是相 互独立,分别以石，人2,人2为参数的Poisson过程因此入二血+人2,入=心+九分 别为叫⑴心⑴的参数为了便于比较一般固定几入，所以定义相依因子(7) X, y, C, D, M(0, N(0相互独立.我们称模型(1)为保费与理赔相关的风险模型，其直观意义描述如下：uno表示保险公司的初始准备金q表示以速率为人的Poisson 程发牛的第i次理赔额，G表示以速率为加的Poisson过程到达的第i次续保保费M(t) N(t)令s⑴二工G严卡)—表示保险公司在时刻/的盈利部分，当利 /=1 j=\率6=0时则模型(1)可重写为：M ⑴ N(t)U,(t) = ueSt + 5 (/) = A + X c/ - Z ・ ⑵z=l 7=1为了确保保险公司的稳定经营，现在可以假设 £[S(r)]>0 ,则E[S(r)] = (/i(.E(C)-/l0 ,并由此定义可以的出相对安全负荷系数p>O、p=—-——-1；定义破产时刻T,T = inf{r：r>0,(/Jr)<0],对T = oo时， 从血— Pg)可以说对任意t>0均有(/,(/)>0,也就是说保险公司不会发生破产。

所以定义保险 公司的最终破产概率为% (w),且% (%) = P{T v 8也(0) = u] o2.终破产概率破产概率也是精算数学研究破产理论的热门课题，主要是因为它不仅关系到保险公司的利益，而且与投保人的利益息息相关,还有利于保险公司决策者更好的了 解公司运营状况•破产概率能更好地预算公司破产的可能性，是破产理论中的重要指 标.定义1：设“no,如町二p{Tvool4(o) = ”}为模型⑴下初始资金为“的无限 时破产概率；必(〃)二1・％(町为模型⑴下初始资金为“的无限时生存概率； 爲仙t) = P｛Tv门匕(0)=彳为模型⑴下初始资金为的有限时破产概率； %(“，t)=l-^仏r)为模型⑴下初始资金为“的有限时生存概率； 0a)= p｛tvool — (O) = u｝为模型⑵下初始资金为“的无限时破产概率； 0(“) = 1・0(町为模型(2)下初始资金为“的无限时生存概率以下所讨论的是当 》= 0，G三1时的情形由以上定义，我们容易验证引理2.1设｛S⑴:宀0｝是平稳独立增量，记Z(/) = Z⑼円)，Z(0)为常数，若 Epw] = l,则｛z(r)：r>o｝为一鞅引理2.2 假设r是关于鞅｛B(/)：r>0｝的有界停时,贝ij F[fi(r)] = F[B(O)] o引理2. 3191对任意给定的相依因子«(0<6/<1), M/厂)为菲负随机变量X的矩 母函数，则&1) + %厂口易(mY)_i) = o有正根R@),称/?(a)为调节系数。

证明：令g(厂)=&.(幺一"一1) + *厂2+/ld(M[(厂)一1) = 0,当厂=0吋，g(0) = 0 c 又因 为 g (厂)=~\.ce~rc + 厂 + 爲 JxerxdF^x) , g"(厂)=-Acc2e~rc +1 + 人[x2erxdF(^x) > 0 ,所 以 g (厂)为凸函数,由 Xcc > Adu , g (0) =-&.c + Au V而 JI limg (厂) = +oo ,所以 rT8g(r) = 0 一定有正根R(g) o引理2.4： 对盈利过程｛5(0：r>0｝,存在函数g(r),使得耳严⑴卜加)，其中g(0 = &Wc(T)-1] + A[M/O-1],其中叽.(厂)，(厂)分别是个别续保费和索赔额的矩母函数exp(M⑴ 、Eexp< N⑴< ,=i )< >=1 )exp{&、/ [M((-厂)-1] + Azr [A/D(r)-1]} =exp r{& [Me (-厂)-1] + 血 M (厂)-1]]令g(r) = & Me(-厂) — 1] + &/[Md(厂)—1 ,即证定理2.1：对模型(2),其最终破产概率为：0心可松吋•其中砂是松弛系数。

证明：对任意的r>0,r>0,由全期望公式知：E^e~rUM^ = E^e~r'Us{t)~^\T < t]P(T < /) + E^e~rUs{t)^\T> t]P(T > t) , (3)当r = R(a)时由引理2.4知，£卜-盹必⑴]=矿盹)“，将其带入(3)得厂⑷"=⑴J\Tr]P(T>r) o (4)我们先讨论(4)式右边的第一部分当TS/吋，令M(t) N(t)4 ⑴=/ (T) + S ⑴-4 ⑴=4 (T)+卅日)+ £ O松r)- £ D J-T),/=! y=lM{t) M(f)由前面所述的独立性及£ C,e松r), £ G0-r)分别服从参数为/=! /=!2“(/一卩一£)和/1(7-卩一7；)的复合poission过程知:M⑴ z 、+ £ c/d,) f=lN⑴ 川-工卅J=1;•)⑷)g(R)=1,町厂⑷ 4 ⑴ K“)g(R)] \ T 5 t]P(Tt时，4(/)»0,厂⑷以)51,由相对 安全负荷假设，知lim(/Jr) = oo,从而lim厂⑷以)=0,于是/T8 \ 7 /->ooe-R(a)u = \7 < oo] P(T < oo) o 所以，有-R[a)u0(“) = P(T<8)=不為右丁 (5)上述证明过程当j = o,c,•三1时是恒成立的。

推论2. 1对模型(2),有破产上界0何士叭证明：因为—⑴50,所以”盹)〃")>1,从而有(5)式成立3数值模拟设两类风险的索赔额 分布函数分别为 乩(厂)=1-£”(兀>0)和 H2(r) = l-eA (x>。