正态分布-2022年数学高频考点重点题型（含答案解析）.pdf

专题51正态分布-2022年(新高考)数学高频考点+重点题型一、关键能力(1)通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.(2)了解正态分布的均值、方差及其含义.二、教学建议(1)正态分布的图像和性质(2)概率统计在决策中应用三、必备知识1.正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数P ,(X 尸、2的0一A-G(0 0,+o o),其中实数，0)为参数，我们称外“(X)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的性质：曲线位于X 轴上方，与 X 轴不相交；曲线是单峰的，它 关 于 直 线 对 称；曲线在x=N处达到峰值;曲线与X 轴之间的面积为1：当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿X 轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散：越小.曲线越“瘦 高 总 体 分 布 越 集 中，如图乙所示：2.正态分布一般地，如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aX劭)=j ,“(x)dx,则称随机变量X服从正态分布(normal distribution).正态分布完全由参数 和。

确定，因此正态分布常记作M/,).如果随机变量X服从正态分布，则记为XM/z,).3.正态总体三个特殊区间内取值的概率值尸仪-aX/i+c)=0.6826；-2K x%+2C T)=0.9544；P(/i-3oX9+3 0,则下列等式成立的有()A.0(-x)=l-(x)B.0(2x)=2(x)C.P(阁 x)=2 20(x)【答 案】ACD【解 析】【分 析】由 4 N(),2)可知正态曲线关于直线尤=0 对称，结合图象的对称性可得每个选项的正误.【详 解】因 为 4 N(0,2),所以其正态曲线关于直线x=0 对 称，因为0（x）=p（gx）,x （）,所以一x）=p（jw-x）=l-0（x）,A 正确；因为2x）=P 2x）,20（x）=2PqW x）,所以2x）=20（x）不一定成立，B 不正确；因为（忻|%）=（一*4 x）=x 或X）=1-一x）=2-2力，D 正确；故选：ACD.例 1-2.2.设X N（M，b；）,y N（2，8）,这两个正态密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（）B.P（XW%）WP（yW bJc.对任意正数f,P（x P（yr）P（y r）【答案】c【解析】【分析】直接由正态密度曲线得到从 外，再依次判断4个选项即可.【详解】由图像可知：从 2,所以p（yNM2）p（y i J，A错误；X的正态密度曲线较y的“瘦高”，故5 P（ycrJ,B错误;对任意正数 f,P（X P（Y t）t）,C 正确，D错误.故选：C.例 1-3.3.已知正态分布的密度函数?”（x）=-e，x e（3,3）,以下关于正yj27l（J态 曲 线 的 说 法 正 确 的 是（）A.曲线与x轴 之 间 的 面 积 为1B.曲线在x=处达到峰值 7=7 2兀0当。

一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移D.当一定时，曲 线 的 形 状 由 确 定，越小，曲线越“矮胖”【答 案】A B C【解 析】【分 析】根据正态分布的性质结合解析式依次判断即可得出.1（i f【详 解】由正态分布的密度函数的解析式？s（x）=-e 可知曲线与x轴N27ro之间的面积即为必然事件的概率，其 值 为1，故A正确;2 c r24 0，.月 工 忌】，当且仅当x=时取等号，.曲线在x=处 达 到 峰 值r,故B正确;7 2兀 b其图像关于直线对称，且 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而 沿X轴平移，故C正确；当 一定时，曲 线 的 形 状 由 确 定，越 小，曲线越“高瘦”，故D错误.故选：A B C.规律方法】1.求正态曲线的两个方法（1）图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值，纵坐标为襦.(2)待定系数法：求 出 山便可.2 .正态分布下2 类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3 c 原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的小。

进行对比联系，确定它们属于5一),(j u2 7,+2 o),(/3 7,+3)中的哪一个.3 .正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x 轴之间面积为1.(2)熟记尸P(u-2(7Xn+2a),功，一3y+3 7)的值.(3)注意概率值的求解转化：P(X a)=1 P 色)；P(X -a)=P(X印+a)；若 bn，则 P(Xb)=l-P特别提醒：正态曲线，并非都关于y 轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y 轴对称.对点练4.某 校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所 示，则 成 绩X位于区间(51,69的 人 数 大 约 是()A.997 B.954 C.800 D.683【答 案】D【解 析】【分 析】由题图知，X N 出吟,其中=60,b =9,P(一 b x W +b)=P(51 x 69卜0.6827,从而可求出成绩位于区间(51,69的人数.【详 解】由题图知，X N(,4)，其 中4 =60,b =9,P(/ja x M+cr)=P(51 x 69)0.6827,二人数大约为 0.6827x1000-683.故选：D.【点睛】此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.对点练2.5.海头高级中学高二年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数P(x)=-；=J F,x e R,则 下 列 命 题 正 确 的 是()72-10A.这次考试的数学平均成绩为100B.分 数 在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同C.分 数 在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同D.这次考试的数学成绩方差为10【答案】AC【解 析】【分析】首先根据密度函数的特点得到平均成绩和标准差，再结合正态曲线的对称性，依次判断选项即可得到答案.【详 解】因为数学成绩服从正态分布其密度函数尸(x)_!_e _ _ 200V2.10 xe R,所以=100,2a2=200.即 7=10.所以这次考试的平均成绩为1 0 0,标准差为1 0,故A正确，D错误.因为正态曲线的对称轴为x=100,所 以 分 数 在120分以上的人数与分数在90分以下的人数不相同，故B错 误；分 数 在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，故C正确.故选：AC【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点和曲线所表示的意义，属于简单题.对 点 练3.6.设 X N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCO中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若 X N(,CT2),则尸(一b X +b)a0.6827)yC.7028D.6587【答案】D【解析】【分析】又正态分布曲线及其对称性可知P(0 X 2)0.6827,P(1X 2)0.34135,进而求得阴影部分面积，从而确定取自阴影部分的点的个数的估计值.【详解】因为 X N(l,l),所以 =l,b =l,+b =l,b =。

又因为 P(一b X +cr)0.6827,所以 P(0 X 2)，0.6827,P(1X 2)*0.34135,所以阴影部分的面积为1 -0.34135=().65865,所以从正方形ABCD中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是6587,故选：D.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记 P一7X5+o),PR 2o 0).已知 P(X K 1 8 6)=-,P(X K 1 8 9)=丝.(1)从该行业中随机抽取一人，求此人身高在区间(1 8 7,1 9 0 的概率；(2)从该行业人员中随机抽取3人，设这3人中身高在区间(1 8 9,1 9 0 上的人数为3求4的分布列和数学期望传)(分布列结果可以只列式不计算).9 7【答案】丽(2)分布列见解析；E=0.0 3.【解析】【分析】(1)根据正态分布曲线的对称性，得到P(1 8 6 X 1 8 9)=P(X 1 8 9)-P(X 1 8 6),即可求解；(2)根据题意，求得尸(1 8 9 X 9 0)=击，得到J服从二项分布片3(3,、),结合独立重复试验的概率公式和二项分布期望公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，该行业人员的身高X (单位：c m)服从正态分布N 0 8 8,4),可得正态分布曲线的对称轴为x =1 8 8,根据正态分布曲线的对称性，可得尸(1 8 7 X 1 9 0)=尸(1 8 6 X 1 8 9)1 4 9因为P(X 1 8 6)=而，P(X 1 8 9)=,4 9 1 9 7可得 P(1 8 6 X 4 1 8 9)=P(X 1 8 9)P(X K 1 8 6)=-.5 0 1 0 0 1 0 0又由 P（X 189）=-49,可得P（189 X 190）=P（X 190）-P（X 26)1-尸(-2b X +2cr)1(l-0.954)=0.023,设在82场比赛中，甲得分不低于26分的次数为y,则y8(82,0.023).Y 的均值 E(y)=82X 0.023 2.由此估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数为2.例 2-3(2020-全国高三其他(理)9.某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图(1)所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图(2)所示，以这10()株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.(1)1.71.61.51 31 1 3 3 4 5 5 5 5 7 8 9 99(2)(1)求这批树苗的高度高于1.60米的概率，并 求 图(1)中。

b,c的值;(2)若从这批树苗中随机选取3株，记4为高度在(1.40.60的树苗数量，求J的分布列和数学期望;(3)若变量S满足 P(一b0.6826且P(-2 b S 0.9544,则称变量S满 足 近 似 于 正 态 分 布 的 概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布N(1.5,0.0 1)的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗能否被签收？【答案】(1)概率为0.1 5,a =0.2,Z?=1.3,c =3.5；(2)分布列答案见解析，数学期望2.1；(3)被签收.【解析】【分析】(1)结合茎叶图，求得每组频率，再 求 得 仇的值.(2)根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.(3)求得尸(4-bX4H+b)与P(-2b X WM+2(T),由此判断这批树苗的高度满足近似于正态分布N(1.5,0.0 1)的概率分布，应认为这批树苗是合格的，能被签收.【详解】(1)由题图(2)可知，1 0 0株样本树苗中高度高于1.6 0米的共有1 5株,以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.6()米的概率为0.1 5.记X为树苗的高度，结合题图(1)(2)可得：2P(1.2 0 X 1.3 0)=P(1.7 0 X 1.8 0)=0-0 2 ,1 3P(1.3 0 X(1.6 0 X 1.7 0)=0.1 3,P(1.4 0 X 1.5 0)=P(1.5 0 X 1.6 0)=1(l-2 x 0.0 2-2 x 0.1 3)=0.3 5.因为组距为0，所以a =0.2,b =1.3,c =3.5.(2)以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在(1.4 0,1.6 0 的概率为P(1.4()X 1.6 0)=P(1.4()X 1.5 0)+P(1.5 0 X 1.6 0)=0.7.因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，所以。