高中数学专题二次函数专题巩固1 知识梳理•1、二次函数的解析式（、二次函数的解析式（待定系数法）待定系数法）•①①一般式：一般式：y=axy=ax2 2+bx+c(a≠0)+bx+c(a≠0)•②②顶点式：顶点式：y=a(xy=a(x－－h)h)2 2+k,a≠0+k,a≠0，其中，其中(h,k)(h,k)为抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标•③③零点式零点式( (两根式两根式) )：：y=a(xy=a(x－－x x1 1)(x)(x－－x x2 2) )，，a≠0a≠0其中其中x x1 1、、x x2 2是抛物线与是抛物线与x x轴两交点的横轴两交点的横坐标2 2、二次函数研究的四元素：、二次函数研究的四元素： 开开口口a；；对对称称轴轴-b/2a；；顶顶点点；；与与坐坐标标轴轴的交点的交点1、配方法2、顶点公式3、对称代入法1、与y轴的交点:(0,c)2、与x轴的交点：y=0时，转化成一元二次方程3 3、二次函数的相关量、二次函数的相关量1）单调性的相关量：）单调性的相关量：开口；对称轴开口；对称轴2）最值相关量：）最值相关量：定义域定义域R：： 定义域定义域[m,n]：：3）对称轴相关量：）对称轴相关量：1:对称轴对称轴x=-b/2a2:f(a)=f(b)(a≠b)对称轴对称轴x=(a+b)/24 4）二次方程、二次不等式）二次方程、二次不等式与与x轴轴的的交交点点坐坐标标是是方方程程f(x)=0的的实实根根，，它它在在x轴轴上上的线段长为的线段长为 5 2、、突突现现函函数数图图象象，，研研究究二二次次方方程程ax2+bx+c=0的的根根的分布问题：的分布问题： ①①二次项系数二次项系数a的符号；的符号； ②②判别式的符号；判别式的符号； ③③区间端点函数值的正负；区间端点函数值的正负； ④④对称轴对称轴x=－－b/2a与区间端点的关系与区间端点的关系注注：：方方程程、、不不等等式式问问题题等等价价转转化化图图形形问问题题 等价转化简单不等式组等价转化简单不等式组6 Δ= b2－－4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 二次函数二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 的图象的图象一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的根 一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集的解集 一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集的解集 有相异两实根x1,x2(x1x2x≠－b/2aRx10，当x∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，f(x)<0，且f(0)＝48，求f(x)． 8 9 二次函数的表示方法有三种：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－b)2＋c(a≠0)；交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．根据条件可任选一种来表示二次函数．本题采用了交点式．根据题目条件，也可以采用顶点式，因为x＝－2或6是f(x)＝0的两个根，所以x＝2是其对称轴方程， 10 11 【练习1】已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1,1]上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，求实数m的取值范围． 12 13 考点二、二次函数的零点分布考点二、二次函数的零点分布 【例2】已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点都在区间(0,1)上，求实数m的取值范围． 14 15 二次函数的零点分布也即二次方程实根分布，若两个零点分布在同一区间，则其充要条件包含三个方面，即判别式大于等于0、对称轴在该区间上、区间端点的函数值的符号(根据图象判断)；若两个零点分布在两个不同区间，则其充要条件包含一个方面，即区间端点的函数值的符号(根据图象判断)． 16 【练习2】已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围． 17 18 考点三、二次函数在动区间上的最值考点三、二次函数在动区间上的最值 【例3】函 数 f(x)＝ － x2＋ 4x－ 1在 区 间 [t， t＋1](t∈R)上的最大值记为g(t)．(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值 19 【解析】(1)对区间[t，t＋1](t∈R)与对称轴x＝2的位置关系进行讨论：①当t＋1<2，即t<1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上递增，此时g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2；②当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上先增后减，此时g(t)＝f(2)＝3； 20 21 定二次函数在动区间上的最值，一般是对区间与对称轴的位置关系进行讨论，讨论要按照顺序，不重复，不遗漏． 22 【练习3】已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________【解析】利用函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的图象，知实数a的取值范围是(1,3]． (1,3] 23 考点四、动二次函数在定区间上的最值考点四、动二次函数在定区间上的最值 【例4】已知f(x)＝(4－3a)x2－2x＋a(a∈R)，求f(x)在[0,1]上的最大值．24 25 26 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类：①定区间，定轴；②定区间，动轴，本题是这一类；③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0.27 【练习4】已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．【解析】根据对称轴x＝a与区间[0,1]的关系讨论：①当a<0时，[f(x)]max＝f(0)＝1－a＝2，所以a＝－1；②当0≤a≤1时，[f(x)]max＝f(a)＝2，无实数解；③当a>1时，[f(x)]max＝f(1)＝a＝2，所以实数a的值是－1或2. 28 考点五、二次函数综合应用考点五、二次函数综合应用 【例5】二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－p－5在区间[－1,1]上至少存在实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围． 29 【解析】只需函数f(x)的图象从[－1,1]上穿过(或f(x)>0(－1≤x≤1)恒成立)，等价条件是f(－1)>0或f(1)>0.因为f(－1)＝4＋2(p－2)－p－5＝p－5>0，或f(1)＝4－2p＋4－p－5＝3－3p>0，所以p∈(－∞，1)∪(5，＋∞)． 30 本题考查二次函数及其图象的综合分析能力，解答中，表面上看，只研究了函数图象从[－1,1]上穿过，并没有讨论图象与x轴无交点的情况．事实上，函数图象若与x轴无交点，由于图象开口向上，所以在[－1,1]上每一点c都有f(c)>0.本题可用间接法求解，若在[－1,1]上不存在c使f(c)>0，则在[－1,1]上所有的点x，使f(x)≤0，31 32 【练习5】若函数f(x)＝(m－2)x2－4mx＋2m－6的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围． 33 34 35 3.设x1，x2是关于x的方程x2－2ax＋a＋6＝0的两个实数解，则x＋x的最小值是 ____________8 36 1．二次函数性质的应用．二次函数性质的应用 若若二二次次函函数数的的二二次次项项系系数数含含有有参参数数a，，则则必必须须分分a>0，，a<0进进行行第第一一层层次次的的分分类类讨讨论论，，以以对对称称轴轴的的不不同同位位置置进进行行第第二二层层次次的的分分类类讨讨论论．．对对称称轴轴与与区区间间的的关关系系有有三三种种类类型型，，即即对对称称轴轴变变动动，，区区间间固固定定；；对对称称轴轴固固定定，，区区间间变变动动；；对对称称轴轴与与区区间间都都未未固固定定．要根据具体情况分别对待．．要根据具体情况分别对待． 二次函数方法总结二次函数方法总结37 2．．二二次次函函数数的的零零点点分分布布也也即即二二次次方方程程实实根根分分布布，，若若两两个个零零点点分分布布在在同同一一区区间间，，则则其其充充要要条条件件包包含含三三个个方方面面，，即即判判别别式式大大于于等等于于0、、对对称称轴轴在在该该区区间间上上、、区区间间端端点点的的函函数数值值的的符符号号(根根据据图图象象判判断断)；；若若两两个个零零点点分分布布在在两两个个不不同同区区间间，，则则其其充充要要条条件件包包含含一一个个方方面面，，即即区区间间端端点点的的函数值的符号函数值的符号(根据图象判断根据图象判断)．．二次函数方法总结二次函数方法总结38 。
