求函数极限的方法.pdf

1 求函数极限的方法 1. 预备知识 函数极限的定义 定义 1 设f为定义在, a 上的函数，A为定数．若对任给的0，存在正整数Ma，使得当xM时有 f xA，则称函数f当x趋于时以A为极限．记作： limxf xA或 f xA x． 定义 2 设函数f在点0x的某个空心邻域00; 'Ux内有定义，A为定数，若对任给的0， 存在正数'， 使得当00xx时有 f xA， 则称函数f当x趋于0x时以A为极限．记作： 0limxxf xA或 0f xA xx． 定义 3 设函数f在00; 'Ux（或00; 'Ux） 内有定义，A为定数． 若对任给0的，存在正数'，使得当时00xxx（或00xxx）有 f xA，则称数A为函数f当x趋于0x（或0x）时的右（左）极限．记作：   00limlimxxxxf xAf xA或  00f xA xxf xA xx． 1.2 函数极限的性质 性质 1（唯一性） 若极限 0limxxf x存在，则此极限是唯一的． 性质 2（局部有界性） 若 0limxxf x存在，则f在0x的某空心邻域 00Ux内有界． 性质 3（局部保号性） 若 0lim0xxf xA（或0） ，则对任何正数rA（或rA ） ，存在 00Ux，使得对一切 ooxUx有 0f xr（或 0f xr  ） ． 性质 4（保不等式性） 设 0limxxf x与 0limxxg x都存在，且在某邻域00; 'Ux内有  f xg x，则  00limlimxxxxf xg x． 性质 5（迫敛性）设  00limlimxxxxf xg xA，且在某邻域00; 'Ux内有   f xh xg x，则 0limxxh xA．  2 性质 6 （四则运算法则） 若极限 0limxxf x与 0limxxg x都存在， 则函数fg，f g，当0xx时极限也存在，且 1.     000limlimlimxxxxxxf xg xf xg x； 2.     000limlimlimxxxxxxf xg xf xg x； 又若 0lim0xxg x，则fg当0xx时极限存在，且有 3.     000limlimlimxxxxxxf xf xg xg x． 2.1 利用定义求极限 例１ 证明211lim212xxxx． 分析 当1x 时，10x ，故211122xxxxx，于是有 23111332212222xxxxxxxxx， 取112，当101x时1322x，故有122x，从而有21212xxx 61x，取26即可． 证明 对于0 ，取1min,2 6，于是当01x时，有 2126112xxxx， 由定义知211lim212xxxx成立． 注 函数 f x在点0x处是否有极限，与函数 f x在点0x处是否有定义无关． 2.2 利用函数的连续性求极限 例 2 求4limtanxxx．  3 解 43limtantan444xxx． 此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数  tanf xxx在4x处连续，所以可把4x直接代入求极限．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限． 利用两个重要极限求极限 首先给出两个重要极限的一般形式 （1）0sinlim1xxx； （2）1lim 1xxex． 例 3 求极限sinsinlimxaxaxa． 解cossinsinsinsin222cos222xaxaxaxaxaxaxaxa， 于是有 cosa． 先利用和差化积对函数进行转化， 要使用0sinlim1xxx， 必须使函数中出现此类型的式子，如当xa时02xa，此时sin2lim12xaxaxa，再进行求解． 例 4 求极限10lim 1xxx（为给定实数） ． 解1100lim 1lim1xxxxxxe． 在利用第二类重要极限求极限的过程中，通常要将第二类重要极限先进行变形再使用．如101lim 1lim 1xyxyyex，此题就是利用这种变形求解的．在以后的求函数极限的问题中可灵活运用． 2.4 利用四则运算法则求极限 对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单．但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和化简， 要根据具体的算式确定． 常用的变形或化简有分式的约分或通分、 4 分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换． 例 5 求极限21lim1nxxxxnx，n为正整数． 解 21lim1nxxxxnx 12n n． 本题先利用拆项求和对函数进行恒等变换，再利用函数四则运算法则中的加法形式进行求解． 2.5 利用迫敛性求极限 例 6 求极限222 3(1)limnn nn． 解 由放缩法得 22222 3(1)123231n nnnnnn  ， 化简得 222 3(1)1322n nnnnnn， 因为 131limlim222nnnnnn， 由迫敛性定理得 222 311lim2nn nn ． 在利用迫敛性求函数极限时， 一般可经过放缩法找出适当的两个函数， 且这两个函数的极限相等．本题就是用放缩法使得 22222 3(1)123231n nnnnnn  ， 且131limlim222nnnnnn，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限．  5 2.6 利用归结原则求极限 归结原则 设f在00; 'Ux内有定义， 0limxxf x存在的充要条件是：对任何含于00; 'Ux且以0x为极限的数列 nx，极限 limnnf x都存在且相等． 例 7 求极限211lim 1nnnn． 分析 利用复合函数求极限，令 21211xxxu xx， 1xv xx求解． 解 令 21211xxxu xx， 1xv xx则有  limnu xe； lim1nv x， 由幂指函数求极限公式得   211lim 1limxv xxxu xexx， 故由归结原则得 221111lim 1lim 1nxnxennxx． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0xx，0xx，x和x  这四种类型的单侧极限， 相应的归结原则可表示为更强的形式． 注 2 若可找到一个以0x为极限的数列 nx，使 limnnf x不存在，或找到两个都以0x为极限的数列 'nx与 ''nx，使 'limnnfx与 "limnnfx都存在而不相等，则 0limxxf x不存在． 2.7 利用等价无穷小量代换求极限 例 8 求极限30tansinlimsinxxxx． 解 由于sintansin1 coscosxxxxx，而  6  7  'xxee， 32'30xx， 由洛比达法则可得 32limlim3xxxxeexx， 由于函数 xf xe， 23g xx均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则 32limlimlimlim366xxxxxxxxeeeexxx ． 注 1 如果  0'lim'xxfxgx仍是00型不定式极限或型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限  0'lim'xxfxgx是否存在，这时 ' fx和 'gx在0x的某领域内必须满足洛比达法则的条件． 注 2 若  0'lim'xxfxgx不存在，并不能说明  0limxxf xg x不存在． 注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件． 下面这个简单的极限sinlim1xxxx虽然是型，但若不顾条件随便使用洛比达法则 sin1 coslimlim1xxxxxx， 就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论． 2.9 利用泰勒公式求极限 在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x 时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式        2" 000' 02!!nnnfffxffxxxxn． 例 11 求极限2240coslimxxxex． 解 由于极限式的分母为4x，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n ：  8  245cos1224xxxx ，  22452128xxxex ，  2452cos12xxxex ． 因而求得  24524400cos112limlim12xxxxxxexx ． 利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n． 常用的导数定义式,设函数 yf x在点0x处可导，则下列式子成立： 1．   000'limxxf xf xfxxx， 2．  0000'limhf xhf xfxh． 其中h是无穷小，可以是0xxxx ，x的函数或其他表达式． 例 12 求极限22220limxxppx0,0pq． 分析 此题是0x 时00型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解． 解 令 22f xxp， 22g xxq则 pq． 2.11 利用定积分求极限 有定积分的定义知，若 f x在, a b上可积，则可对, a b用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是 f x在, a b上的定积分．因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限．这是求 9 和式极限的一种方法． 例 13 求极限222111lim12nnnnnn． 解 对所求极限作如下变形： 2111lim1nninin． 不难看出，其中的和式是函数 211f xx在区间 0,1上的一个积分和，所以有 12． 。