2022年高二文科数学《立体几何》经典练习题2.pdf

1 FAECOBDM(第 2 题图 ) A1B1C1D1A B C D E 高二文科数学《立体几何》大题训练试题1．(本小题满分14 分) 如图的几何体中，AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，22ADDEAB，F为CD的中点．（1）求证：//AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE2．(本小题满分14 分 )G k St K如图， AB 为圆 O 的直径，点E、F 在圆 O 上， AB ∥EF，矩形 ABCD所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB，1ADEF. (1) 求证：AF平面CBF；(2) 设 FC 的中点为M，求证：OM∥平面DAF；(3) 求三棱锥F－CBE 的体积 . 3.（本小题满分14 分）如图所示， 正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，90ADEo，DEAF //，22AFDADE. (Ⅰ)求证：//AC平面BEF；（Ⅱ）求四面体BDEF的体积 . 4 ． 如 图 , 长 方 体1111DCBAABCD中 ，11AAAB,2AD,E是BC的中点 .( Ⅰ)求证：直线//1BB平面DED1；( Ⅱ) 求证：平面AEA1平面DED1；( Ⅲ) 求三棱锥DEAA1的体积 . 5． （本题满分14 分）如图，己知BCD中，090BCD，1,BCCDABBCD平面，060 ,,AC,ADADBE F分别是上的动点，且AEAF== ,(0<<1)ACADA B C D F E B A E D C F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 A B C D 图 2 B A C D 图 1 （ 1）求证：不论为何值，总有EFABC;平面（ 2）若1=,2求三棱锥A-BEF的体积．6.(本小题满分13 分) 如图，已知三棱锥A—BPC 中， AP⊥PC，AC⊥BC，M 为 AB 的中点，D 为 PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证： DM ∥平面 APC；(2)求证：BC⊥平面 APC；(3)若 BC＝4，AB＝20，求三棱锥D— BCM 的体积．7、 （本小题满分14 分）如图1, 在直角梯形ABCD中 ,90ADC,/ /CDAB,2,1ABADCD. 将ADC沿AC折起 , 使平面ADC平面ABC, 得到几何体DABC, 如图 2 所示 . ( 1) 求证 :BC平面ACD；(2) 求几何体DABC的体积 . 8、 （本小题满分14 分）已知四棱锥PABCD(图 5) 的三视图如图6 所示，PBC 为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形． （1）求正视图的面积； （2）求四棱锥PABCD的体积；（3）求证：AC平面PAB；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 FAECOBDM参考答案1．(本小题满分14 分) （1）证明：取CE的中点G，连结FGBG、．∵F为CD的中点，∴//GFDE且12GFDE．∵AB平面ACD，DE平面ACD，∴//ABDE，∴//GFAB．又12ABDE，∴GFAB． ⋯⋯⋯⋯3 分∴四边形GFAB为平行四边形，则//AFBG．⋯⋯⋯⋯⋯5分∵AF平面BCE，BG平面BCE， ∴//AF平面BCE．⋯⋯⋯⋯7 分（2）证明：∵ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AFCD⋯⋯⋯⋯9 分∵DE平面ACD，AFACD平面，∴DEAF．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分又CDDED，∴AF平面CDE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分∵//BGAF，∴BG平面CDE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分∵BG平面BCE， ∴平面BCE平面CDE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分2．解：（1）平面ABCD平面ABEF，CBAB, 平面ABCD I平面ABEFAB，CB平面ABEF，∵AF平面ABEF，∴AFCB，⋯⋯⋯2 分又AB为圆O的直径， ∴AFBF，∴AF平面CBF. ⋯⋯⋯ 4 分（2）设DF的中点为N，则MN// 12CD，又AO// 12CD，则MN//AO，四边形MNAO为平行四边形，∴/ /OMAN，又AN平面DAF，OM平面DAF，∴/ /OM平面DAF. ⋯⋯8 分B A E D C F G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 （3）∵BC面BEF，∴13FCBECBEFBEFVVSBC，B到EF的距离等于O到EF的距离，过点O作OGEF于G，连结OE、OF，∴OEF为正三角形，∴OG为正OEF的高，∴3322OGOA，⋯⋯⋯11分∴13FCBEC BEFBEFVVSBC⋯⋯12 分111133113232212EFOGBC。

⋯⋯⋯14 分3、(Ⅰ)证明：设ACBDOI，取BE中点G，连结OGFG,，所以，OG//12DE⋯2 分因为DEAF //，AFDE2，所以AF//OG，从而四边形AFGO是平行四边形，AOFG //. ⋯⋯⋯ 4 分因为FG平面BEF,AO平面BEF, 所以//AO平面BEF，即//AC平面BEF⋯⋯⋯ 7 分（Ⅱ）解：因为平面ABCD平面ADEF，ABAD, 所以AB平面ADEF. ⋯⋯⋯ 10 分因为DEAF //,90ADEo,22AFDADE，所以DEF的面积为122EDAD，⋯⋯ 12 分所以四面体BDEF的体积ABSDEF3143. ⋯⋯ 14 分4、( Ⅰ)证明：在长方体1111DCBAABCD中, 11// DDBB，又∵1BB平面DED1，1DD平面DED1∴直线//1BB平面DED1⋯⋯ 4 分A B C D F E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 ( Ⅱ) 证明：在长方形ABCD中, ∵11AAAB,2AD, ∴2DEAE, ∴2224ADDEAE, 故DEAE, ⋯⋯⋯ 6 分∵在长方形ABCD中有1DD平面ABCD,AE平面ABCD, ∴1DDAE, ⋯⋯ 7 分又∵DDEDD1, ∴直线AE平面DED1, ⋯⋯ 8 分而AE平面AEA1, 所以平面AEA1平面DED1. ⋯⋯⋯⋯ 10 分( Ⅲ)DEAAV1ADEADEASAAV1311312121131.⋯⋯⋯⋯ 14 分5．( 1）证明：因为AB ⊥平面 BCD ，所以 AB ⊥CD ，又在△ BCD中，∠ BCD = 900，所以， BC ⊥CD ，又 AB ∩BC ＝ B，所以， CD ⊥平面 ABC ，⋯⋯⋯⋯ 3 分又在△ ACD ， E、F 分别是 AC 、AD上的动点，且(01)AEAFACAD所以，不论为何值， EF//CD, 总有 EF⊥平面 ABC ：⋯⋯⋯ 7 分（2）解：在△ BCD中，∠ BCD = 900，BC ＝CD ＝1，所以， BD ＝2, 又 AB ⊥平面 BCD ，所以， AB ⊥BD ，又在 Rt△ABD中，,600ADB∴AB=BDtan6600。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分由（ 1）知 EF⊥平面 ABE ，所以，三棱锥A－BCD 的体积是624⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分6、解：(1)由已知得， MD 是△ ABP 的中位线，所以MD∥ AP.(2 分) 因为 MD?平面 APC，AP? 平面 APC，所以 MD ∥ 平面 APC.(4 分) (2)因为△PMB 为正三角形， D 为 PB 的中点，所以MD ⊥ PB，(5 分) 所以 AP⊥ PB.(6 分) 又因为 AP⊥ PC，且 PB∩PC＝P，所以 AP⊥ 平面 PBC.(7 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 因为 BC? 平面 PBC，所以 AP⊥ BC. 又因为 BC⊥ AC，且 AC∩AP＝ A，所以 BC⊥ 平面 APC.(10 分) (3)因为 MD⊥ 平面 PBC，所以 MD 是三棱锥M—DBC 的高，且 MD ＝5，又在直角三角形PCB 中，由 PB＝10，BC＝ 4，可得 PC＝2.(11 分) 于是 S△ BCD＝21S△ BCP＝2，(12 分)所以 VD－BCM＝VM－DBC＝31Sh＝10.(13 分)7． 解: （Ⅰ）在图1 中, 可得2ACBC, 从而222ACBCAB, 故ACBC取AC中点O连结DO, 则DOAC, 又面ADC面ABC, 面ADC I面ABCAC,DO面ACD,从而OD平面ABC, ⋯⋯4 分∴ODBC又ACBC,ACODOI, ∴BC平面ACD⋯⋯ 8 分另解 : 在图 1 中, 可得2ACBC, 从而222ACBCAB, 故ACBC∵面 ACD面ABC, 面 ACDI面ABCAC,BC面ABC, 从而BC平面ACD( Ⅱ) 由（Ⅰ）可知BC为三棱锥BACD的高 . 2BC，12ACDSV⋯⋯ 11 分所以111223326BACDVSh⋯⋯ 13 分由等积性可知几何体DABC的体积为26⋯⋯ 14 分8 解： （1）过 A 作//AECD，根据三视图可知，E 是 BC 的中点，(1 分)且1BECE，1AECD(2 分 )又∵PBC 为正三角形，∴2BCPBPC，且PEBC∴2223PEPCCE(3 分)∵PA平面ABCD，AE平面ABCD，∴PAAE(4 分)∴2222PAPEAE，即2PA(5 分)正视图的面积为12222S(6 分)（2）由（ 1）可知，四棱锥PABCD的高2PA，(7 分 )底面积为1231222ADBCSCD(8 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 ∴四棱锥PABCD的体积为113223322PABCDVS PA(10 分)（3）证明：∵PA平面ABCD，AC平面ABCD，∴PAAC(11 分 )∵在直角三角形ABE 中，2222ABAEBE在直角三角形ADC 中，2222ACADCD(12 分)∴2224BCAAAC,∴BAC是直角三角形(13 分 )∴ACAB又∵ABPAAI，∴ AC平面PAB(14 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页。