45、6二次型与标准形(zjy).ppt

一、问题的推出一、问题的推出第五节二次型及其矩阵表示 二、基本概念二、基本概念三、二次型的矩阵及二次型的秩三、二次型的矩阵及二次型的秩1 1、二次型及其表示、二次型及其表示定义定义1 1含含 个变元个变元的二次的二次齐次多项式齐次多项式称为称为n n元二次型元二次型（或（或二次齐式二次齐式）1 1））一、基本概念一、基本概念若（若（1 1）中）中交叉项交叉项的的系数系数全部为全部为零零，即，即为为的的标准二次型标准二次型（二次型的标准形）（二次型的标准形）可见可见 f 为为对角形对角形注：注：由（由（1）可见，每一项中变量的）可见，每一项中变量的方次之和均为方次之和均为2如：如：不是二次型不是二次型是二次型是二次型二、二次型的矩阵与二次型的秩二、二次型的矩阵与二次型的秩例例1 1 将下列二次型用矩阵表示将下列二次型用矩阵表示 解解称称A为二次型为二次型的的矩阵矩阵（（3 3））简记为简记为令令推广：推广：的的矩阵矩阵，，与与可可建立一一对应关系，建立一一对应关系，的秩的秩称为称为称上式中称上式中实对称矩阵实对称矩阵为二次型为二次型的的秩秩二次型二次型例例2 2 将下列二次型写成矩阵形式。

将下列二次型写成矩阵形式解解的的矩阵矩阵是是一实对称矩阵，一实对称矩阵，二次型二次型解解的的矩阵矩阵是是一实对称矩阵，一实对称矩阵，二次型二次型解解的的矩阵矩阵是是一实对称矩阵，一实对称矩阵，使使二次型二次型若通过线性变换若通过线性变换经经变换后化为只含平方项的标准形变换后化为只含平方项的标准形即即通过通过因为因为其中其中为为二次型的标准形二次型的标准形一、二次型的满秩线性变换一、二次型的满秩线性变换一、二次型的满秩线性变换一、二次型的满秩线性变换正交变换法正交变换法第六节化实二次型为标准形称称 为为可逆线性变换可逆线性变换1 1）当）当 是可逆矩阵时，是可逆矩阵时，（（2 2）当）当 是正交矩阵时，是正交矩阵时，称称 为为正交变换正交变换二、正交变换法化二次型为标准形二、正交变换法化二次型为标准形如果存在如果存在正交矩阵正交矩阵P，使，使其中其中为为 的的特征值特征值如果在满秩线性变换如果在满秩线性变换中，中， C是是正交矩阵正交矩阵，则，则称它是称它是正交线性变换矩阵，简称正交线性变换矩阵，简称正交线性变换正交线性变换。

由于实二次型的矩阵是一个对称方阵，由于实二次型的矩阵是一个对称方阵， 故故对于任意对于任意一个一个 n 元实二次型元实二次型一定可以找到一个正一定可以找到一个正交交变换变换使得使得对对二次型二次型存在正交变换存在正交变换 使使 其中其中为为 的的特征值特征值其中其中P 的列向量是的列向量是A的相应于特征值的的相应于特征值的n个两两正交个两两正交 的的单位特征向量单位特征向量定理定理1 1 （主轴定理）（主轴定理） 例例1 用正交变换化二次型用正交变换化二次型为标准型，为标准型，正交变换正交变换解解 （（1））写出二次型写出二次型 f 的矩阵的矩阵A .(2) 求出求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量特征向量并求出所用的并求出所用的而而它们所对应的标准正交的特征向量为它们所对应的标准正交的特征向量为(3) 写出正交变换写出正交变换取取正交矩阵正交矩阵则得所欲求的则得所欲求的正交变换正交变换即即（（4）） 写写出出的标准形的标准形易知经易知经上述正交变换上述正交变换后后所得二次型的标准形所得二次型的标准形必须指出：必须指出： 把实把实二次型二次型化为标准形后，化为标准形后，所得标准形虽然不是惟一的，所得标准形虽然不是惟一的， 但在但在标准形中的系数不标准形中的系数不等于零的平方项的个数是由等于零的平方项的个数是由A的秩所惟一确定的。

的秩所惟一确定的 并且并且在在标准形中平方项系数为正的的个数标准形中平方项系数为正的的个数p 与负的个数与负的个数r - p也都是惟一确定的也都是惟一确定的它们依次被称为实二次型它们依次被称为实二次型的的正正（（负负) 惯性指数惯性指数2.2.解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为3 3）对每个基础解系进行）对每个基础解系进行SchmidtSchmidt正交化、再单位化：正交化、再单位化：作正交变换作正交变换 X=QY，，则则3.解解 （（1））写出二次型写出二次型 f 的矩阵的矩阵A .(2) 求出求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量特征向量当当时解时解解之解之其其基础解系基础解系先将先将正交化单位化单位化单位化单位化当当得同解方程组得同解方程组基础解系为基础解系为时解时解单位化单位化单位化单位化(3) 写出正交变换写出正交变换取取正交矩阵正交矩阵则得所欲求的则得所欲求的正交变换正交变换的标准形的标准形易知经易知经上述正交变换上述正交变换后后所得二次型的标准形所得二次型的标准形4）） 写出写出二次型的标准形显然不是唯一的，二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中只是标准形中所含项数是所含项数是确定的（即是二次型的秩确定的（即是二次型的秩R(A)), 不仅如此不仅如此在在限定变换的实变换时，限定变换的实变换时， 标准形中的系数的个数是不标准形中的系数的个数是不变变的（从而负系数的个数也不变）。

的（从而负系数的个数也不变） 这与这与选择的线性选择的线性变换无关，变换无关， 可设可设二次型的标准形为：二次型的标准形为：三、正定二次型三、正定二次型令令（（1）式变成）式变成则则称称 (2) 为实二次型为实二次型的的规范型规范型其其平方项系数为平方项系数为 1，－，－1，，0设二次型的标准形为：设二次型的标准形为：( (惯性定理惯性定理) )定理定理2 2任何实二次型总可以经过一个适当的可逆任何实二次型总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形线性变换化成规范形, ,规范形是唯一的规范形是唯一的. .其中其中 为为 的的秩秩. .都有都有定义定义设设为实二次型为实二次型( (A为实对称矩阵为实对称矩阵),), 如果对于任意非零向量如果对于任意非零向量称称 为为正定正定( (半正定半正定) )二次型二次型, , 称正定称正定( (半正定半正定) )二次型二次型 的矩阵的矩阵 为为正定正定( (半正定半正定) )矩阵矩阵. .2 2、正定二次型、正定二次型判别下列二次型的正定性判别下列二次型的正定性任任半正定半正定. .1.1.2.2.解解1.1.代入代入, ,2.2.不定不定. .例例5 5实二次型实二次型正定正定, ,标准形中标准形中 个系数全为正个系数全为正. .推论推论2 2推论推论推论推论3 3 3 3正定正定的的 个个特征值全为正特征值全为正. .各阶顺序主子式全大于各阶顺序主子式全大于0,0,即即定理定理3 3正定正定奇数奇数阶顺序主子式为阶顺序主子式为负负, ,负定负定偶数偶数阶顺序主子阶顺序主子式为式为正正。

为为负定负定. .判别二次型判别二次型的的矩阵为矩阵为的的正定性正定性. .解解例例6 6。