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5.3 导数在研究函数中的应用 同步练习(含解析).docx

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  • 上传时间:2022-09-23
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    • 5.3 导数在研究函数中的应用 一、选择题(共15小题)1. 已知函数 fx 在 x=x0 处连续,下列命题中正确的是    A. 导数为零的点一定是极值点 B. 如果在 x=x0 附近的左侧 fʹx>0,右侧 fʹx<0,那么 fx0 是极大值 C. 如果在 x=x0 附近的左侧 fʹx>0,右侧 fʹx<0,那么 fx0 是极小值 D. 如果在 x=x0 附近的左侧 fʹx<0,右侧 fʹx>0,那么 fx0 是极大值 2. 函数 y=lnxx 的最大值为    A. e−1 B. e C. e2 D. 103 3. 函数 fx=x2lnx 的减区间为    A. 0,e B. ee,+∞ C. −∞,ee D. 0,ee 4. 设函数 fx=2x+lnx,则    A. x=12 为 fx 的极大值点 B. x=12 为 fx 的极小值点 C. x=2 为 fx 的极大值点 D. x=2 为 fx 的极小值点 5. 函数 fx=3x−4x3,x∈0,1 的最大值是    A. 12 B. −1 C. 0 D. 1 6. 已知函数 fx=2x−x2ex,则    A. f2 是 fx 的极大值也是最大值 B. f2 是 fx 的极大值但不是最大值 C. f−2 是 fx 的极小值也是最小值 D. fx 没有最大值也没有最小值 7. 已知函数 fx=x3+ax2+a+6x+1 有极大值与极小值,则实数 a 的取值范围为    A. −1,2 B. −3,6 C. −∞,−1∪2,+∞ D. −∞,−3∪6,+∞ 8. 已知函数 fx=−x3+ax2−x−1 在 −∞,+∞ 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是    A. −∞,−3∪3,+∞ B. −3,3 C. −∞,−3∪3,+∞ D. −3,3 9. 若函数 fx 在 0,+∞ 上可导,且满足 fx>xfʹx,则一定有    A. 函数 Fx=fxx 在 0,+∞ 上为增函数 B. 函数 Fx=fxx 在 0,+∞ 上为减函数 C. 函数 Gx=xfx 在 0,+∞ 上为增函数 D. 函数 Gx=xfx 在 0,+∞ 上为减函数 10. 已知 fx=lnx+axa≠0,则    A. 当 a<0 时,fx 存在极小值 fa B. 当 a<0 时,fx 存在极大值 fa C. 当 a>0 时,fx 存在极小值 fa D. 当 a>0 时,fx 存在极大值 fa 11. 函数 fx=3x−4x3x∈0,1 的最大值是    A. 1 B. 12 C. 0 D. −1 12. 若函数 fx=kx−lnx 在区间 1,+∞ 上单调递增,则 k 的取值范围是    A. −∞,−2 B. −∞,−1 C. 2,+∞ D. 1,+∞ 13. 已知函数 fx=x3+ax2+a+6x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是    A. −1,2 B. −∞,−3∪6,+∞ C. −3,6 D. −∞,−1∪2,+∞ 14. 若关于 x 的不等式 e2x−alnx≥12a 恒成立,则实数 a 的取值范围是    A. 0,2e B. −∞,2e C. 0,2e2 D. −∞,2e2 15. 已知 a>0 且 a≠1,若当 x≥1 时,不等式 ax≥ax 恒成立,则 a 的最小值是    A. e B. 1ee C. 2 D. ln2 二、填空题(共7小题)16. 函数 fx=2x3−3x2+10 的单调减区间为  . 17. 已知函数 fx=x3+ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是  . 18. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品每件的零售价为 p 元,销量 Q(单位:件)与每件的零售价 p(单位:元)有如下关系:Q=8300−170p−p2,则该商品每件的零售价定为   元时,总利润最大. 19. 已知函数 fx=x3+2x,若 f1+flog1a3>0(a>0 且 a≠1),则实数 a 的取值范围是  . 20. 若函数 fx=x3+bx2+cx+2 在 x=1 时有极值 6,则 b=  ;c=  . 21. 函数 fx=∣3x−x3∣ 在 −2,2 上的最大值是  . 22. 若定义在 R 上的函数 fx 满足 fx+fʹx<1 且 f0=3,则不等式 fx>2ex+1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为  . 三、解答题(共6小题)23. 已知函数 fx=x3−3x.(1)求函数 fx 的单调区间;(2)求函数 fx 在区间 −1,3 上的最大值和最小值. 24. 求函数 y=13x3−4x+4 的极值. 25. 已知函数 fx=lnx−sinx+axa>0.(1)若 a=1,求证:当 x∈1,π2 时,fx<2x−1;(2)若 fx 在 0,2π 上有且仅有 1 个极值点,求 a 的取值范围. 26. 已知 a 是实数,函数 fx=x2x−a,求 fx 在区间 0,2 上的最大值. 27. 已知函数 fx=ax3+bx2+cx 在 x=1 和 x=−1 处有极值,且 f1=−1,求 a,b,c 的值,并求出相应的极值. 28. 已知函数 fx=ax2−1−lnx,a∈R.(1)讨论 fx 的单调性;(2)求实数 a 的取值范围,使得 fx>asinx−1+1x−e1−x 在区间 1,+∞ 内恒成立(e=2.71828⋯ 为自然对数的底数).答案1. B【解析】根据极值的概念,在 x=x0 附近的左侧 fʹx>0,函数单调递增;在 x=x0 附近的右侧 fʹx<0,函数单调递减,所以 fx0 为极大值.2. A【解析】令 y′=lnxʹx−lnx⋅xʹx2=1−lnxx2=0 ,则 x=e ,当 x>e 时,yʹ<0 ,当 00 ,所以当 x=e 时,函数有极大值,极大值为 1e ,因为函数在定义域内只有—个极值,所以 ymax=1e .3. D 4. D【解析】函数 fx 的定义域为 0,+∞,fʹx=−2x2+1x=x−2x2,当 x=2 时,fʹx=0;当 x>2 时,fʹx>0,函数 fx 为增函数;当 00,函数 fx 单调递增;当 x<−2 或 x>2 时,fʹx<0,函数 fx 单调递减,所以 fx 在 x=2 处取得极大值,在 x=−2 处取得极小值,又 f2=22−1e2>0,f−2=2−2−1e−2<0,当 x→+∞ 时,fx→−∞,当 x→−∞ 时,fx→0,所以 fx 无最小值,有最大值,且 f2 是 fx 的极大值,也是最大值.7. D8. B【解析】由 fx=−x3+ax2−x−1,得到 f′x=−3x2+2ax−1,因为在 −∞,+∞ 上是单调函数,所以 f′x=−3x2+2ax−1≤0 在 −∞,+∞ 恒成立,则 Δ=4a2−12≤0⇒−3≤a≤3.所以实数 a 的取值范围是:−3,3.9. B【解析】因为 fx>xfʹx,构造函数 y=fxx,其导数为 yʹ=xfʹx−fxx2<0,由此知函数 y=fxx 在 0,+∞ 上是减函数.10. C【解析】fʹx=1x−ax2=x−ax2,当 a>0 时,令 fʹx>0,解得 x>a,令 fʹx<0,解得 00,fx 在 0,+∞ 上递增,无极值.11. A【解析】fʹx=3−12x2,令 fʹx=0,则 x=−12(舍去)或 x=12, f0=0,f1=−1, f12=32−12=1, 所以 fx 在 0,1 上的最大值为 1.12. D【解析】fʹx=k−1x=kx−1x,且 x>0,由题意可知当 x>1 时,fʹx≥0,即得 kx−1≥0,解得 x≥1k(k<0 时不满足),因为函数 fx 在区间 1,+∞ 上单调递增,所以 1k≤1,解得 k≥1.13. B【解析】因为 fʹx=3x2+2ax+a+6,由已知可得 fʹx=0 有两个不相等的实根.所以 Δ=4a2−4×3a+6>0,即 a2−3a−18>0.所以 a>6 或 a<−3.14. C 【解析】当 a<0 时,fx=e2x−alnx 为 0,+∞ 的增函数,fx 无最小值,不符合题意;当 a=0 时,e2x−alnx≥12a 即为 e2x≥0,显然成立;当 a>0 时,fx=e2x−alnx 的导数为 fʹx=2e2x−ax,由于 y=2e2x−ax 在 0,+∞ 递增,设 fʹx=0 的根为 m,即有 a=2me2m,当 0m 时,fʹx>0,fx 递增,可得 x=m 处 fx 取得极小值,且为最小值 e2m−alnm,由题意可得 e2m−alnm≥12a,即 a2m−alnm≥12a,化为 m+2mlnm≤1,设 gm=m+2mlnm,gʹm=1+21+lnm,当 m=1 时,g1=1,m>1 时,gʹm>0,gm 递增,可得 m+2mlnm≤1 的解为 00 且 a≠1,当 x≥1 时,不等式 ax≥ax 恒成立,所以 ax−1≥x,两边取自然对数,得:x−1lna≥lnx,令 px=lnx−x−1lna,则 x≥1 时,px≤0,因为 pʹx=1x−lna,当 lna<0,即 a∈0,1 时,pʹx>0,px 递增,当 x≥1 时,px≥p1=0,与 px≤0 矛盾;当 lna>0,即 a∈1,+∞ 时,令 pʹx=0,得 x=1lna, x∈0,1lna,pʹx>0,px 递增; x∈1lna,+∞,pʹx<0,px 递减.若 1lna>1,即 a∈1,e,当 x∈1,1lna 时,px 递增,px≥p1=0,矛盾;若 1lna≤1,即 a∈e,+∞,当 x∈1,+∞ 时,px≤p1=0,成立.综上,a 的取值范围是 e,+∞.故 a 的最小值是 e.16. 0,1【解析】令 fʹx=6x2−6x<0,解得 00,所以 fx 在 R 上单调递增,因此由 f1+flog1a3>0,得 f1>−flog1a3=−f−loga3=f。

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