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证据理论证据理论 证据理论是由德普斯特（证据理论是由德普斯特（A.P.DempsterA.P.Dempster）首先提出，并由沙佛（）首先提出，并由沙佛（G G．．ShaferShafer）进一步发展起来的一种处理不确定性的理论，因此又称为）进一步发展起来的一种处理不确定性的理论，因此又称为D D－－S S理论证据理论证据理论与与BayesBayes理论理论区别：区别：BayesBayes理论：理论： 需要有统一的识别框架、完整的先验概率和条件概率知识需要有统一的识别框架、完整的先验概率和条件概率知识，， 只能将概率只能将概率分派函数指定给完备的互不包含的假设，分派函数指定给完备的互不包含的假设，证据理论证据理论：：用先验概率分派函数去获得后验的证据区间，证据区间量化了命题的可用先验概率分派函数去获得后验的证据区间，证据区间量化了命题的可信程度可将证据分派给假设或命题，信程度可将证据分派给假设或命题， 提供了一定程度的不确定性，即提供了一定程度的不确定性，即证据既可指定给互不相容的命题，也可指定给相互重叠、非互不相容的证据既可指定给互不相容的命题，也可指定给相互重叠、非互不相容的命题。

命题证据理论满足比概率论更弱的公理系统，当概率值已知时，证据理论就证据理论满足比概率论更弱的公理系统，当概率值已知时，证据理论就变成了概率论变成了概率论D-S理论1基本理论基本理论 2一个具体的不确定性推理模型一个具体的不确定性推理模型 3举例举例 4小结小结 1基本理论基本理论 设D是变量x所有可能取值的集合，且D中的元素是互斥的，在任一时刻x都取且只能取D中的某一个元素为值，则称D为x的样本空间，也称D为辨别框 在证据理论中，D的任何一个子集A都对应于一个关于x的命题，称该命题为“x的值在A中” 引入三个函数：概率分配函数，信任函数及似然函数等概念1.概率分配函数概率分配函数设D为样本空间，领域内的命题都用D的子集表示，则概率分配函数定义如下：定义1： 设函数M：2D→［0，1］，且满足M（Φ）＝0 ΣM（A）＝1A A⊆ ⊆D D则称M是2D上的概率分配函数，M（A）称为A的基本概率数  说明说明 ：：1.设样本空间设样本空间D D中有中有n n个元素，则个元素，则D D中子集的个数为中子集的个数为2 2n n个，定义中的个，定义中的2 2D D就是表示这些子集的。

就是表示这些子集的 2.概率分配函数的作用是把概率分配函数的作用是把D D的任意一个子集的任意一个子集A A都映都映射为［射为［0 0，，1 1］上的一个数］上的一个数MM（（A A）当A A⊂ ⊂D D时，时，MM（（A A）表示对相应命题的精确信任度实际上就）表示对相应命题的精确信任度实际上就是对是对D D的各个子集进行信任分配，的各个子集进行信任分配，MM（（A A）表示分）表示分配给配给A A的那一部分当的那一部分当A A由多个元素组成时，由多个元素组成时，M(A)M(A)不包括对不包括对A A的子集的精确信任度，而且也不知道该的子集的精确信任度，而且也不知道该对它如何进行分配当对它如何进行分配当A A＝＝D D时，时，MM（（A A）是对）是对D D的的各子集进行信任分配后剩下的部分，它表示不知各子集进行信任分配后剩下的部分，它表示不知道该对这部分如何进行分配道该对这部分如何进行分配 定义：若定义：若A A⊆ ⊆D D则则M(A)≠0M(A)≠0，称，称A A为为MM的一个焦元的一个焦元3.概率分配函数不是概率概率分配函数不是概率 2.信任函数信任函数 定义定义2 :2 :命题的信任函数命题的信任函数BelBel：：2 2D D→→［［0 0，，1 1］，且］，且Bel(ABel(A）＝）＝ΣMΣM（（B B）对所有的）对所有的A A⊆ ⊆D D B B⊆ ⊆A A其中其中2 2D D表示表示D D的所有子集。

的所有子集 Bel Bel函数又称为下限函数，函数又称为下限函数，BelBel（（A A）表示对命题）表示对命题A A为真的信任程度为真的信任程度由信任函数及概率分配函数的定义推出：由信任函数及概率分配函数的定义推出：BelBel（（Φ Φ）＝）＝MM（（Φ Φ）＝）＝0 0BelBel（（D D）＝）＝ΣMΣM（（B B）＝）＝1 1 B B⊆ ⊆D D3.似然函数似然函数 定义3: 似然函数Pl：2D→［0，1］，且 Pl（A）＝1一Bel（￢A） 其中其中A A⊆ ⊆D D 似然函数的含义：由于Bel(A)表示对A为真的信任程度，所以Bel(￢A)就表示对非A为真，即A为假的信任程度，由此可推出Pl（A）表示对A为非假的信任程度似然函数又称为不可驳斥函数或上限函数 推广到一般情况可得出：推广到一般情况可得出：Pl(A)= ∑ M(B)Pl(A)= ∑ M(B) A∩B≠ΦA∩B≠Φ证明如下：证明如下：∴ ∴Pl(A) Pl(A) －－∑ M(B) ∑ M(B) ＝＝1-Bel(1-Bel(￢￢A)-∑ M(B)A)-∑ M(B) A∩B≠Φ A∩B≠Φ A∩B≠ΦA∩B≠Φ ＝＝1-(Bel(1-(Bel(￢￢A)+∑ M(B))A)+∑ M(B)) A∩B≠ΦA∩B≠Φ ＝＝1-(∑ M(C)+∑ M(B))1-(∑ M(C)+∑ M(B)) C C⊆ ⊆￢￢A A A∩B≠Φ A∩B≠Φ ＝＝1-∑ M(E)1-∑ M(E) E E⊆ ⊆D D ＝＝0 0∴ ∴PlPl（（A A）＝）＝ΣMΣM（（B B）） A∩B≠ΦA∩B≠Φ4.信任函数与似然函数的关系信任函数与似然函数的关系 PlPl（（A A））≥Bel≥Bel（（A A）） 证明：证明：∵ ∵ Bel Bel（（A A）十）十BelBel（￢（￢A A）＝）＝ΣMΣM（（B B）＋）＋ΣMΣM（（C C）） B B⊆ ⊆A A C C⊆ ⊆￢￢A A≤ΣM≤ΣM（（E E）＝）＝1 1 E E⊆ ⊆D D∴ ∴PlPl（（A A）－）－BelBel（（A A）＝）＝1 1－－BelBel（￢（￢A A）一）一BelBel（（A A）） ＝＝1 1－（－（BelBel（￢（￢A A）＋）＋BelBel（（A A）））） ≥0 ≥0∴ ∴ Pl Pl（（A A））≥Bel≥Bel（（A A））• •由于由于BelBel（（A A）表示对）表示对A A为真的信任程度，为真的信任程度，PlPl（（A A）表示对）表示对A A为非假的信任程度，因为非假的信任程度，因此可分别称此可分别称BelBel（（A A）和）和Pl(APl(A）为对）为对A A信任程度的下限与上限，记为信任程度的下限与上限，记为A A（（BelBel（（A A），）， PlPl（（A A））））• •0 01 1（（1 1，，1 1））—A—A为真。

为真• • Bel Pl Bel Pl （（0 0，，0 0））—A—A为假• • 确知确知 未知未知 确知确知（（0 0，，1 1））——对对A A一无所知，单位元一无所知，单位元• • 为真为真为假为假Pl(A)Pl(A)－－Bel(A) —Bel(A) —对对A A不知道的程度不知道的程度• •下面用例子进一步说明下限与上限的意义：下面用例子进一步说明下限与上限的意义：• •A A（（0.250.25，，1 1）：由于）：由于BelBel（（A A）＝）＝0.250.25，说明对，说明对A A为真有一定程度的信任，信任度为真有一定程度的信任，信任度为为0.250.25；另外，由于；另外，由于BelBel（￢（￢A A）＝）＝1 1－－PlPl（（A A）＝）＝0 0，说明对￢，说明对￢A A不信任所以不信任所以A A（（0.250.25，，1 1）表示对）表示对A A为真有为真有0.250.25的信任度的信任度• •A A（（0 0，，0 0．．8585）：由于）：由于BelBel（（A A）＝）＝0 0，而，而BelBel（￢（￢A A）＝）＝1 1一一PlPl（（A A）＝）＝1 1－－0.850.85＝＝0.150.15，所以，所以A A（（0 0，，0.850.85）表示对）表示对A A为假有一定程度的信任，信任度为为假有一定程度的信任，信任度为0.150.15。

• •A A（（0.250.25，，0.850.85）：由于）：由于BelBel（（A A）＝）＝0.250.25，说明对，说明对A A为真有为真有0.250.25的信任度；由于的信任度；由于BelBel（￢（￢A A）＝）＝1 1－－0.850.85＝＝0.150.15，说明对，说明对A A为假有为假有0.150.15的信任度所以的信任度所以A A（（0.250.25，，0.850.85）表示对）表示对A A为真的信任度比对为真的信任度比对A A为假的信任度稍高一些为假的信任度稍高一些5.概率分配函数的正交和概率分配函数的正交和 •定义定义4 :4 :设设M1M1和和M2M2是两个概率分配函数，则其正是两个概率分配函数，则其正交交 和和M= M1 M= M1 ⊕⊕M2M2为为•M(Φ)=0M(Φ)=0•M(A)=KM(A)=K－－1 1×∑M1(x)×M2(y)×∑M1(x)×M2(y)• x∩y=Ax∩y=A•其中其中: :•K=1-∑M1(x)×M2(y)=∑M1(x)×M2(y)K=1-∑M1(x)×M2(y)=∑M1(x)×M2(y)• • x∩y=Φ x∩y=Φ x∩y≠Φ x∩y≠Φ•如果如果K≠0,K≠0,则正交和则正交和MM也是一个概率分配函数；如也是一个概率分配函数；如果果K=0K=0，则不存在正交和，则不存在正交和MM，称，称M1 M1 与与M2M2矛盾。

矛盾 •定义定义5 5 ：设：设M1,M2,……M1,M2,……，，MnMn是是n n个概率分配函数，个概率分配函数，则其正交和则其正交和MM＝＝M1M1⊕⊕M2M2⊕⊕…………⊕⊕MnMn为为M(Φ)=0M(Φ)=0•M(A)=KM(A)=K－－1 1×∑ ∏ M×∑ ∏ Mi i(A(Ai i) )• ∩Ai =A 1

在此表示的基础上建立相应的不确定性推理模型 由于信任函数与似然函数都是在概率分配函数的基础上定义的，因而随着概率分配函数的定义不同，将会产生不同的应用模型 1.概率分配函数与类概率函数概率分配函数与类概率函数 •样本空间样本空间D D＝＝{s1{s1，，s2,…,sn}s2,…,sn}上的概率分配函数按上的概率分配函数按如下要求定义：如下要求定义：•（（1 1））MM（（{si}{si}））≥0 ≥0 对任何对任何si si∈ ∈D D n n•（（2 2））ΣMM（（{si}{si}））≤1≤1 i i＝＝l l n n•（（3 3））MM（（D D）＝）＝1-ΣM1-ΣM（（{si}{si}））• i=1i=1•（（4 4）当）当A A⊂ ⊂D D且且|A||A|＞＞1 1或或|A||A|＝＝0 0时，时，MM（（A A））=0 =0 •其中，其中，|A||A|表示命题表示命题A A对应集合中元素的个数对应集合中元素的个数 • 性质：性质：•BelBel（（A A）＝）＝ΣMM（（{si}{si}））• si si∈ ∈A A n n•BelBel（（D D）＝）＝ΣMM（（{si}{si}）＋）＋MM（（D D）＝）＝1 1 i i＝＝l l•PlPl（（A A）＝）＝1—Bel1—Bel（￢（￢A A）＝）＝1—1—ΣMM（（{si}{si}）） si si∈ ∈￢￢A A n n• ＝＝1—[ΣM1—[ΣM（（{si}{si}）－）－ΣMΣM（（{si}{si}））] ] i i＝＝1 si1 si∈ ∈A A• ＝＝1—[1—M(D) —Bel(A)]1—[1—M(D) —Bel(A)]• ＝＝M(D)+Bel(A)M(D)+Bel(A)•Pl(D)=1-Bel(Pl(D)=1-Bel(￢￢D) =1-Bel(Φ)=1D) =1-Bel(Φ)=1•显然，对任何显然，对任何A A⊂ ⊂D D及及B B⊂ ⊂D D均有：均有：•Pl(A)-Bel(A)=Pl(B)-Bel(B)=M(D)Pl(A)-Bel(A)=Pl(B)-Bel(B)=M(D)•它表示对它表示对A A（或（或B B）不知道的程度。

不知道的程度•由该概率分配函数的定义，可把概率分配函数M1与M2的正交和简化为•M（{si}）＝K K-1-1× ×［［MlMl（（{si}{si}））×M2×M2（（{si}{si}）＋）＋M1M1（（{si}{si}））×M2×M2（（D D）＋）＋M1M1（（D D））×M2×M2（（{si}{si}）］）］ •其中，K可由下式计算：•K＝M1（D）×M2（D）+ n nΣ［［M1M1（（{si}{si}））×M2×M2（（{si}{si}））+M1+M1（（{si}{si}））× × i=1 i=1M2M2（（D D）＋）＋M1M1（（D D））x M2x M2（（{si}{si}）］）］定义定义6 :6 :命题命题A A的类概率函数为的类概率函数为•f f（（A A））=Bel=Bel（（A A）＋）＋ × ×［［PlPl（（A A）一）一BelBel（（A A）］）］•其中，｜其中，｜A A丨和｜丨和｜D D｜分别是｜分别是A A及及D D中元素的个数中元素的个数•f f（（A A）具有如下性质：）具有如下性质： n n•（（1 1））Σ Σf f（（{si}{si}）＝）＝1 1 • • i i＝＝1 1•（（2 2）对任何）对任何A A⊆ ⊆D D，有，有• BelBel（（A A））≤f≤f（（A A））≤Pl≤Pl（（A A））f f（￢（￢A A）＝）＝1 - f1 - f（（A A））•由以上性质可得到如下推论：由以上性质可得到如下推论：•（（1 1））f f（（Φ Φ））=0=0•（（2 2））f f（（D D）＝）＝1 1•（（3 3）对任何）对任何A A⊆⊆D D，有，有 0≤f0≤f（（A A））≤1≤1|A||D|2.知识不确定性的表示知识不确定性的表示 •在该模型中，不确定性知识用如下形式的产生式规则表示：在该模型中，不确定性知识用如下形式的产生式规则表示：•IF E THEN HIF E THEN H＝＝{h1,h2,…,hn} CF{h1,h2,…,hn} CF＝＝{c1{c1，，c2c2，，……，，Cn}Cn}•其中：其中：•（（1 1））E E为前提条件，它既可以是简单条件，也可以是用为前提条件，它既可以是简单条件，也可以是用 ANDAND或或OROR连接起来的复合条件。

连接起来的复合条件•（（2 2））H H是结论是结论, ,它用样本空间中的子集表示，它用样本空间中的子集表示，h1,h2h1,h2，，…,…, hnhn 是该子集中的元素是该子集中的元素•（（3 3））CFCF是可信度因子，用集合形式表示，其中是可信度因子，用集合形式表示，其中ci ci用来指出用来指出 hihi（（i i＝＝1 1，，2 2，，……，，n n）的可信度，）的可信度，ci ci与与hihi一一对应一一对应CiCi 应满足如下条件：应满足如下条件： ci≥0 i ci≥0 i＝＝1,2,…1,2,…，，n n Σ Σci≤1ci≤1 i i＝＝1 13.证据不确定性的表示证据不确定性的表示 •不确定性证据E的确定性用CER（E）表示对于初始证据，其确定性一般由用户给出；对于用前面推理所得结论作为当前推理的证据，其确定性由推理得到CER（E）的取值范围为［0，1］，即0≤CER0≤CER（（E E））≤1 ≤1 4.组合证据不确定性的算法组合证据不确定性的算法 •当组合证据是多个证据的合取时，即当组合证据是多个证据的合取时，即E E＝＝E1 AND E2 AND … AND EnE1 AND E2 AND … AND En•则则E E的确定性的确定性CERCER（（E E）为：）为：CERCER（（E E）＝）＝min{CERmin{CER（（ElEl），），CERCER（（E2E2），），……，，CERCER（（EnEn））} }•当组合证据是多个证据的析取时，即当组合证据是多个证据的析取时，即E E＝＝El OR E2 OR … OR En El OR E2 OR … OR En •则则E E的确定性的确定性CERCER（（E E）为）为CERCER（（E E）＝）＝max{CERmax{CER（（ElEl），），CERCER（（E2E2），），…,CER(En)}…,CER(En)}5.不确定性的传递算法不确定性的传递算法 •对于知识：对于知识：•IF E THEN HIF E THEN H＝＝{h1,h2,…,hn} CF={c1,c2,…,cn}{h1,h2,…,hn} CF={c1,c2,…,cn}•结论结论H H的确定性可通过下述步骤求出：的确定性可通过下述步骤求出： •（（1 1）求出）求出H H的概率分配函数。

对上述知识，的概率分配函数对上述知识，H H的概率分配的概率分配函数为：函数为：•MM（（{hl}{hl}，，{h2}{h2}，，……，，{hn}{hn}）＝）＝{CER{CER（（E E））×c1×c1，，CERCER（（E E））×c2×c2，，……，，CERCER（（E E））×cn}×cn}•MM（（D D）＝）＝1 1－－ Σ ΣCERCER（（E E））×ci×cii i＝＝l l如果有两条知识支持同一结论如果有两条知识支持同一结论H H，即，即•IF E1 THEN HIF E1 THEN H＝＝{hl{hl，，h2h2，，…,hn} CF…,hn} CF＝＝{ c1,c2,…,cn }{ c1,c2,…,cn }•IF E2 THEN HIF E2 THEN H＝＝{hl{hl，，h2h2，，…,hn} CF…,hn} CF＝＝{ c1’,c2’,…,cn’ }{ c1’,c2’,…,cn’ }•则首先分别对每一条知识求出概率分配函数：则首先分别对每一条知识求出概率分配函数：M1M1（（{hl}{hl}，，{h2}{h2}，，…,{hn}…,{hn}））M2M2（（{hl}{hl}，，{h2}{h2}，，…,{hn}…,{hn}））•然后再用公式然后再用公式MM＝＝M1M1⊕⊕M2M2•对对M1M1与与M2M2求正交和，从而得到求正交和，从而得到H H的概率分配函数的概率分配函数MM。

•如果有如果有n n条知识都支持同一结论条知识都支持同一结论H H，则用公式，则用公式MM＝＝M1M1⊕⊕M2M2⊕⊕……⊕⊕MnMn•对对M1M1，，M2M2，，……，，MnMn求其正交和，从而得到求其正交和，从而得到H H的概率分配函的概率分配函数数MM•（2）求出Bel（H），Pl（H）及f（H）•其中： n n• Bel（H）＝ΣM（{hi}） i=1i=1• Pl（H）＝1－Bel（￢H）• f (H）＝Bel(H)＋ ×［Pl(H)－Bel(H)］ ＝＝Bel(H)Bel(H)＋＋ ×M×M（（D D））|H||D||H||D|•（（3 3）按如下公式求出）按如下公式求出H H的确定性的确定性CERCER（（H H））CERCER（（H H）＝）＝MDMD（（H/E’H/E’））×f×f（（H H））•其中其中MDMD（（H/E’H/E’）是知识的前提条件与相应证据）是知识的前提条件与相应证据E’E’的匹配度，定义为：的匹配度，定义为：•这样，就对一条知识或者多条有相同结论的知识求出了结论这样，就对一条知识或者多条有相同结论的知识求出了结论的确定性。

如果该结论不是最终结论，即它又要作为另一条的确定性如果该结论不是最终结论，即它又要作为另一条知识的证据继续进行推理，则重复上述过程就可得到新的结知识的证据继续进行推理，则重复上述过程就可得到新的结论及其确定性如此反复运用该过程，就可推出最终结论及论及其确定性如此反复运用该过程，就可推出最终结论及它的确定性它的确定性MD(H/E’)=1 如果H所要求的证据都已出现0 否则3举例举例 •设有如下推理规则：设有如下推理规则：•rule1: if E1 and E2 then A={a1,a2},CF={0.3,0.5}rule1: if E1 and E2 then A={a1,a2},CF={0.3,0.5}•rule2: if E3 and (E4 or E5) then N={n1},CF={0.7}rule2: if E3 and (E4 or E5) then N={n1},CF={0.7}•rule3: if A then H={h1,h2,h3},CF={0.1,0.5,0.3}rule3: if A then H={h1,h2,h3},CF={0.1,0.5,0.3}•rule4: if N then H={h1,h2,h3},CF={0.4,0.2,0.1}rule4: if N then H={h1,h2,h3},CF={0.4,0.2,0.1}•根据上述规则得到的推理网络如下图所示。

根据上述规则得到的推理网络如下图所示•给出的初始证据的确定性为：给出的初始证据的确定性为：•CER(E1)=0.8,CER(E2)=0.6,CER(E3)=0.9,CER(E1)=0.8,CER(E2)=0.6,CER(E3)=0.9,•CER(E4)=0.5,CER(E5)=0.7CER(E4)=0.5,CER(E5)=0.7•现要求假设现要求假设H H的确定性（假设的确定性（假设|Ω|=20|Ω|=20）•推理网络图：HANE1E2E3E4E5={H1,H2,H3}={a1,a2}={n1}andandor•求解步骤如下：求解步骤如下：•（（1 1）求）求CER(A)CER(A)•规则规则rule1rule1条件部分的确定性为条件部分的确定性为•CER(E)=CER(E1 AND E2) =min{0.8,0.6}=0.6CER(E)=CER(E1 AND E2) =min{0.8,0.6}=0.6•因此有因此有•m({a1},{a2})={0.6×0.3,0.6×0.5}={0.18,0.3}m({a1},{a2})={0.6×0.3,0.6×0.5}={0.18,0.3}•再根据再根据mm求求Bel(A)Bel(A)、、PlPl（（A A）、及）、及CERCER（（A A））: :•Bel(A)=m({a1})+m({a2})=0.18+0.3=0.48Bel(A)=m({a1})+m({a2})=0.18+0.3=0.48•Pl(A)Pl(A)－－Bel(A)=m(Ω)=1Bel(A)=m(Ω)=1－（－（0.18+0.30.18+0.3））=0.52=0.52• f(A)=Bel(A)+ × [Pl(A)f(A)=Bel(A)+ × [Pl(A)－－Bel(A)] Bel(A)] =0.48+(2/20)×0.52=0.532 =0.48+(2/20)×0.52=0.532•CER(A)=MD(A,E’)×f(A)=0.532CER(A)=MD(A,E’)×f(A)=0.532|A||Ω|•（（2 2）求）求CER(N)CER(N)•规则规则rule2rule2条件部分的确定性为条件部分的确定性为•CER(E)=CER(E3 AND (E4 OR E5))=0.7CER(E)=CER(E3 AND (E4 OR E5))=0.7•因此有因此有•m({n1})=0.7×0.7=0.49m({n1})=0.7×0.7=0.49•再根据再根据mm求求Bel(N)Bel(N)、、PlPl（（N N）、）、f f（（N N）及）及CER(N):CER(N):•Bel(N)=m({n1})=0.49Bel(N)=m({n1})=0.49•Pl(N)Pl(N)－－Bel(N)=mBel(N)=m（（Ω Ω）＝）＝1 1－－0.49=0.510.49=0.51•f(N)=0.49+(1/20)×0.51=0.515f(N)=0.49+(1/20)×0.51=0.515• CER(N)=MD(N,E’)×f(N)=0.515CER(N)=MD(N,E’)×f(N)=0.515•（（3 3）求）求CER(H)CER(H)•根据根据rule3rule3，可求得，可求得•m1({h1},{h2},{h3})={0.532×0.1, 0.532×0.5, 0.532×0.3} m1({h1},{h2},{h3})={0.532×0.1, 0.532×0.5, 0.532×0.3} ={0.053,0.266,0.160} ={0.053,0.266,0.160}•及及• m1(Ω)=1m1(Ω)=1－－(0.053+0.266+0.160)=0.521(0.053+0.266+0.160)=0.521•根据根据rule4rule4，可求得，可求得•m2({h1},{h2}m2({h1},{h2}，，{h3})={0.515×0.4, 0.515×0.2, {h3})={0.515×0.4, 0.515×0.2, 0.515×0.1} 0.515×0.1} ={0.206,0.103,0.052}={0.206,0.103,0.052}•及及• m2(Ω)=1m2(Ω)=1－－(0.206+0.103+0.052)=0.639(0.206+0.103+0.052)=0.639•求正交和求正交和m=m1m=m1⊕⊕m2:m2:•k=m1(Ω)×m2(Ω)+m1({h1}) ×m2({h2})+ m1({h1}) × k=m1(Ω)×m2(Ω)+m1({h1}) ×m2({h2})+ m1({h1}) × m2(Ω)+ m1(Ω) ×m2({h1})+m1({h2}) ×m2({h2}) + m2(Ω)+ m1(Ω) ×m2({h1})+m1({h2}) ×m2({h2}) + m1({h1}) ×m2(Ω)+ m1(Ω) ×m2({h2})+m1({h3}) × m1({h1}) ×m2(Ω)+ m1(Ω) ×m2({h2})+m1({h3}) × m2({h3})+ m1({h3}) ×m2(Ω)+ m1(Ω) ×m2({h3})m2({h3})+ m1({h3}) ×m2(Ω)+ m1(Ω) ×m2({h3})=0.874 =0.874 •m({h1})=1/k[m1({h1})×m2({h1})+m1({h1}) m({h1})=1/k[m1({h1})×m2({h1})+m1({h1}) ×m2(Ω)+m1(Ω) ×m2(Ω)+m1(Ω) ×m2({h1})]×m2({h1})]•=1/0.874[0.053×0.206+0.053×0.639+0.521×0.206]=1/0.874[0.053×0.206+0.053×0.639+0.521×0.206]=0.174=0.174•同理得同理得•m({h2})=0.287m({h2})=0.287，，m({h3})=0.157m({h3})=0.157•m(Ω)=1m(Ω)=1－－[m({h1})+m({h2})+m({h3})][m({h1})+m({h2})+m({h3})] =1 =1－－(0.174+0.287+0.157)=0.382(0.174+0.287+0.157)=0.382•再根据再根据mm求求Bel(H)Bel(H)、、PlPl（（H H）、）、f(H)f(H)及及CER(H):CER(H):•Bel(H)=m({h1})+m({h2})+m({h3})Bel(H)=m({h1})+m({h2})+m({h3}) =0.174+0.287+0.157=0.618 =0.174+0.287+0.157=0.618•Pl(H)Pl(H)－－Bel(H)=m(Ω)=1Bel(H)=m(Ω)=1－－0.618=0.3820.618=0.382•f(H)=Bel(H)+ ×[Pl(H)f(H)=Bel(H)+ ×[Pl(H)－－Bel(H)]Bel(H)] =0.618+ =0.618+（（3/203/20））×0.382=0.675×0.382=0.675CER(H)=MD(H,E’) × f(H)=0.675CER(H)=MD(H,E’) × f(H)=0.675|H||Ω|4小结小结 证据理论有如下一些特点：证据理论有如下一些特点：•证据理论满足比概率论更弱的公理系统。

当证据理论满足比概率论更弱的公理系统当mm的焦元都是单的焦元都是单元素集合时，即若元素集合时，即若|A|>1 |A|>1 则则mm（（A A）＝）＝0 0时，证据理论就退化时，证据理论就退化为概率论；为概率论； 当当mm的焦元呈有序的嵌套结构时，的焦元呈有序的嵌套结构时， 即对所有的即对所有的mm（（AiAi））≠0≠0，有，有A1A1⊆ ⊆A2A2⊆ ⊆……⊆ ⊆AnAn时，证据理论退化为时，证据理论退化为ZadehZadeh的的可能性理论可能性理论•证据理论能够区分不知道和不确定证据理论能够区分不知道和不确定•证据理论可以处理证据影响一类假设的情况，即证据不仅能证据理论可以处理证据影响一类假设的情况，即证据不仅能影响一个明确的假设（与单元素子集相对应），还可以影响影响一个明确的假设（与单元素子集相对应），还可以影响一个更一般的不明确的假设（与单元素子集相对应）因此，一个更一般的不明确的假设（与单元素子集相对应）因此，证据理论可以在不同细节、不同水平上聚集证据，更精确的证据理论可以在不同细节、不同水平上聚集证据，更精确的反映了证据收集过程反映了证据收集过程•证据理论的缺点是证据理论的缺点是: :要求辨别框中的元素满足相互排斥的条要求辨别框中的元素满足相互排斥的条件，在实际系统中不易满足。

而且，基本概率分配函数要求件，在实际系统中不易满足而且，基本概率分配函数要求给的值太多，计算比较复杂给的值太多，计算比较复杂。