【庞加莱猜想证明---应用篇】.doc

庞加莱猜想证明---应用篇】作者：曾富(1)：哈佛大学讲座教授、美国科学院院士、中国科学院外籍院士丘成桐2006年6月3日在北京宣布：经美俄中数学家30多年的共同努力，两位中国数学家---中山大学的朱熹平教授和美国里海大学教授及清华大学讲席教授曹怀东，最终证明了百年数学难题---庞加莱猜想我们等待了40多年的庞加莱猜想证明，终于等到了，因此我们想说：向朱熹平和曹怀东学习！向朱熹平和曹怀东致敬！庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为高维庞加莱猜想丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的应用来说明首先我们要对庞加莱猜想的点作一个约定：庞加莱猜想中的点可以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的曲点和点内空间的点，不然就会产生矛盾。

因为我们说的曲点，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及环绕数收缩成的一点---如圈是绳一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结点就包含了环绕数，把有一个以上环绕数的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个曲点即曲点最直观的数学模型，是指包含环绕数的点而我们说的点内空间的点，是指虚数一类虚拟空间内的点如果把在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球称为庞加莱猜想正定理，那么曲点和点内空间正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为庞加莱猜想逆定理庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学即有人认为，19世纪是函数论的世纪，庞加莱因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其它函数的推广自守函数今天已包括那些在变换群或这个群的某些子群作用下的不变函数。

此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的单值化定理，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映像其次，庞加莱是代数拓扑学(组合拓扑学)的奠基人，最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造---其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂)数的方法籍助这些方法，庞加莱发现关于流形的同调的著名的对偶定理；定义了基本群(第一个同伦群)，并证明它与一维贝蒂数的关系，还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，以及欧拉多面体定理的推广---现称之为欧拉—庞加莱公式：x(D)=F-E+V(1)这个式子的右边是和三角剖分的方式有关，但实际上x(D)和剖分的方式无关，它是曲面的一个拓扑不变量。

对于紧致曲面，边界曲线不出现，仍然可以作三角剖分，因可求得：(1)球面：x=2；(2)环面：x=0；(3)2个洞的曲面：x=-2；(4)n个洞的曲面：x=-2(n-1)根据拓扑学的定理可知，任何定向的2维紧致曲面的欧拉--庞加莱示性数总是取2，0，-2，…，-2n，…中的一个，而且示性数相同的紧致曲面同胚因此，x就完全给出了定向的紧致曲面的拓扑分类称为s的亏格，即s的洞数因此，可以求出：球面的亏格为0，环面的亏格为1，这也是球面与环面不同伦的区别亏格涉及事物的整体性质，20世纪以来，人们对整体性质研究得非常多，但其实很多性质仍然是从子系统的研究得出的微分几何和拓扑学首先注意到，许多曲面，如球面，环面，椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面等，都是一个整个，除了它们各个小片所具有的几何性质外，还有整个曲面所具有的几何性质，称为整体性质比如说，球面的任何一条测地线都是闭曲线(大圆)，又如平面上任何一条测地线(直线)可以无限延伸，这就是整体性质设U为2维欧氏空间的一个矩形区域(a

r(u，v)=(x(u，v)，y(u，v)，z(u，v))(2)S是这个映照的像球面、环面都是紧致的，而平面则是非紧致的一般地，曲线可能穿过若干个坐标区域，那么在每一坐标区域中都可有它自己的表达式，在每个区域中的部分，就可以计算出它的弧长假设D是S上的一个区域，它的边界是由互不相交的n条简单的分段光滑闭曲线所组成；这些弧之间除连接点外没有交点，由拓扑学可知，可以把D三角剖分，即把D分割成许多以3条曲线段为边界的曲面三角形如果所考察的曲面是定向的，设法线方向为大拇指方向，依右手规则可以定出每一三角形的边界的定向，这时内部边界的定向刚好相互抵消经过这样剖分后得出3个数：F是三角形的个数，E是边的条数，V是顶点的个数，它们就是前面欧拉-庞加莱示性数(1)中符号表示正是庞加莱提出的亏格表示的洞数，直指庞加莱猜想正定理和庞加莱猜想逆定理；也直指超弦理论中构造的开弦和闭弦这两个不同的庞加莱猜想版本因为按庞加莱猜想在一个三维空间中，开弦曲线及其开弦运动形成的2维膜上的每一条封闭的曲线，都能收缩成一点，因此它们形成的空间是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球的；相反，闭弦曲线及其闭弦运动形成的2维膜上的每一条封闭的曲线，都不能收缩成一个庞加莱猜想点，因此它们形成的空间不是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球，而是类似我们说的曲点。

2)、庞加莱猜想证明封顶，对解决超弦理论和圈量子引力理论的统一带来了曙光道理就在单孔收缩与双孔收缩的性质不一样，其统一路线图如下1、庞加莱猜想证明揭示了点有3种实在论的性质，可联系宇宙中的物质、能量和信息3个要素例如，在一张纸页上放一粒沙(类似实物)，是一个点；在纸上打个针孔眼(类似破裂、虚空)，是一个点；在纸上作个笔尖墨迹印子(类似中性)，是一个点物质类实，可对应粒沙点；能量类虚，可对应针孔点；信息类中性，可对应墨迹点所以对庞加莱猜想中的点首先要作个约定，证明才不会有矛盾即约定：粒沙点和墨迹点是归属庞加莱猜想点；而针孔点是归属我们说的曲点其次，数学要考虑形式上的构造，也要考虑实际意义，对庞加莱猜想中的收缩也要作个约定：它类似连续统假设所谓连续统假设指：在可数集基数和实数集基数之间再没有别的基数但中国古人对于无限的认识有一日之棰，日取其半，万世不竭；又有至大无外，至小无内连续统假设建立在明确集合元素的意义和集合之间的关系是否兼容，现有了连续统的收缩假设，就用不着反复讨论，否则可以无限的分下去，用老话讲就叫不着边不靠谱2、用庞加莱猜想证明分析超弦理论并列构造的开弦、闭弦两个不同的庞加莱猜想版本，即开弦是对应在三维空间中，开弦曲线及其开弦运动形成的膜上的每一条封闭的曲线都能收缩成庞加莱猜想点，因此是类似庞加莱猜想正定理对应的一个三维的圆球；而闭弦曲线及其闭弦运动形成的膜上的每一条封闭的曲线都不能收缩成庞加莱猜想点，因此是类似庞加莱猜想逆定理对应的一个三维的曲点。

在超弦理论中开弦和闭弦是如何统一的呢？它是避开了庞加莱猜想这个程序，直接跳入轨形拓扑这个程序才解决的因为在有弦论之前，就有Kaluza-Klein理论考虑过有可能实际的空间是超过三维的：一加一维的弦运动出来的这个曲面，存在的2维空间像一个管子一样，假设这个管子很细的话，在管子的截面方向上均匀地分布的就是微小圈把它变成三维跟2维的模拟的话，就是有两个三维的空间，但是其中一个方向是被限制在一个很小的范围上，也许这个很小的距离加上周期的边界条件，要求所有的物理量都有周期性的性质但是为什么可以假设大部分的东西都是在这个小的维度上均匀地分布呢？ 3、用庞加莱猜想证明的分析，不但能分出了开弦与闭弦的对立，也能分出三维空间与额外维空间以及宏观与微观的定量区别因为早在庞加莱猜想诞生之前，人们已经开始注意到了庞加莱猜想中的连续与间断的共轭与区别，特别是19世纪末玻尔兹曼的乌托子球原子论对应庞加莱猜想的一个三维的圆球，能令人满意地解释固体、液体、气体和等离子的许多性质，用其中的波尔兹曼常数能推出每立米中某种空气的原子(分子)数，为宏观与微观作出第一个的定量区别，从而加深了宏观与微观中粒子与波场的对立4、第2是在20世纪后的电子和光子等微观粒子的双缝实验中，庞加莱猜想球与庞加莱猜想孔在单缝实验中的粒子与波场的对立并不明显，从而加深了庞加莱猜想对宏观与微观的再认识：即庞加莱猜想虽然把时空中分成了连续与间断的共轭，但在只有一个庞加莱猜想孔的间断空间内，庞加莱猜想是等价的，即在间断的空间也能收缩成一点；但在双缝实验类似有两个庞加莱猜想孔的情况下，连续与间断不能兼容，三维与额外维就以粒子与波场对立的几率幅的定量形式显示出来了。

5、第3是把单缝和双缝的缝宽与普朗克尺度作比较，电子等粒子的半径在大约10的-12次方厘米到10的-15次方厘米对应的缝宽范围，动量和位置出现的不确定性显示的量子干扰，是确定宏观与微观的又一定量区别；而且粒子的物质性与粒子的能量性的区别，定量地显示出能利用庞加莱猜想反证的曲点，按戴德金的分割观点建构量子化---曲点自旋分割，产生时空和质能量子化曲点，沿相反方向的趋势飞散其次，也不能再把时空曲点和质能曲点当成是单独的一样东西；量子化由时间曲点和空间曲点对组成时空曲点群、质量曲点和能量曲点对组成质能曲点群6、于是再通过著名物理学家费曼拓展双缝实验建立的量子路径求和概念，就可以把超弦理论和圈量子引力理论的统一起来：费曼关于量子振幅的路径求和观点是：A、原始的双缝实验，电子有两条可能的路径B、源与探测器之间有两块屏，屏上共有5条缝，可能的路径数目现在变成了6C、插入更多的屏幕，每块屏幕上刻更多的缝，最后就跟完全没有屏幕一样，电子从源S到探测屏D的总几率幅就变成了所有可能路径的求和把费曼以上观点变成庞加莱猜想证明就是，A、原始的双缝实验，是两个庞加莱猜想孔式的曲点，电子有两条可能的路径B、源与探测器之间有两块屏，屏上共有5条缝，是5个庞加莱猜想孔式的曲点，可能的路径数目现在变成了6。

C、插入更多的屏幕，每块屏幕上刻更多的缝，类似时空全都是由曲点组成，最后时空就跟完全没有屏幕一样，电子从源S到探测屏D的总几率幅就变成了所有可能路径的求和这个总几率幅是所有可能路径的求和，叫做超弦理论或圈量子引力理论的作用量，它是时空与质能内禀的度规和位置的矩阵的泛函，即可推出与现在超弦理论或圈量子引力理论相似的作用量公式3)、把超弦/膜、圈量子引力、全息论变成傻瓜普及理论，接下来是利用庞加莱猜想证明仔细分析针孔眼点的那种庞加莱猜想式曲点的情况：时空是穿过针孔眼的，它实际上是环面不管是用一张膜或一张纸，还是用两张。