向量的夹角与向量的数量积.docx

向量的夹角与向量的数量积教学目标： 1、掌握两向量夹角的定义，明确两向量夹角的取值范围是；2、理解并掌握两向量数量积的意义，会正确利用两向量数量积公式求解两自由向量的数量积； 3、掌握一向量在另一向量方向上的投影的概念，理解向量数量积与投影的关系教学重点：　　1、两向量夹角的定义与理解；2、向量数量积的定义、向量数量积的几何意义教学难点： 向量数量积的几何意义与运算性质教学过程：一、新课讲授：1、两向量夹角的定义：对于两个非零向量和，以为起点，作，，那么射线、的夹角叫做向量和的夹角可以看出：两向量夹角的取值范围是当时，表示两向量方向相同，当时，表示两向量的方向相反两向量的夹角为或，则两向量是平行向量当时，向量和称为互相垂直，记作：2、两向量夹角的理解：注意两向量的夹角是两向量方向的夹角，不能错误理解为两向量所在直线的夹角，在实际应用中更不能理解为线段的夹角（特别是在三角形的有关问题应用中）练习1、如图：△中，，是的中点，，，说出下列两向量的夹角：（1）与；　　　　　（2）与；　　　　　（3）与；（4）与；　　　　　（5）与解：（1）；　　（2）；（3）；　　（4）；　　（5）。

二、课题深入：1、向量数量积的定义：一般地，如果两个非零向量，的夹角为（），那么我们把叫做向量与的数量积，记作，即2、向量数量积释析：（1）两向量的数量积的结果是数量，不是向量，数量积中的运算符号“”不能写成“”，也不能省略；（2）如果向量与中有一个向量是零向量，那么规定它们的数量积是零；（3）特别地，；由与的夹角是，因此有；即4）若，则或，所以的充要条件是3、向量投影的定义：OABB1在数量积的定义中，称叫做向量在向量的方向上的投影，即如图中的有向线段的数量1）当时，在上的投影为正；（2）当时，在上的投影为负；（3）当时，在上的投影为；（4）零向量在任何一个向量上的投影是4、向量数量积的几何意义：两个向量，的数量积是其中一个向量的模与另一个向量在向量的方向上的投影的乘积练习2、如图：中，，是的中点，，，求下列各式的值1）；　　　　（2）；（3）；　　　　（4）解：（1）；（2）因为与的夹角是，所以；（3）；　　　　　　　（4）5、向量数量积的运算性质：（1）交换律：；（2）结合律：对于，；（3）分配律：说明：性质（1）与（2）可以由向量数量积的定义直接进行证明；性质（3）的证明如下：当与与的夹角均为锐角时（如图所示），，，，，，，所以有：。

同理当与与的夹角均为钝角或一个锐角、一个钝角时，也可得结论正确思考：等式是否成立？结论：由于，，显然不恒成立，所以此结论不成立三、应用举例：例1、我们知道，当时，恒有，成立，对于任意的向量，是否有类似的结论成立？（1）；（2）解：（1）＝；　　　同样可以证明：，所以有　（2）从此可以看出：两向量和与差的平方运算与实数的和与差的平方运算有类似的运算公式根据上述运算公式我们可以得到：此等式的几何意义是：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和例2、已知，，且与的夹角是，求下列各式的值：（1）；　　　　　　（2）解：（1）由与的夹角是且，得：，则；（2）因，所以例3、在中，已知、、的长分别为、、，利用向量的数量积证明：证明：如图，、的夹角为，且，， ，，，又，所以 说明：利用向量的方法证明余弦定理比其它方法更简单明了四、课堂小结： 本课学习了向量的夹角概念及向量的数量积在此过程中知道了向量投影的定义，知道了向量数量积的几何意思，并推导了向量数量积的有关运算性质五、练习巩固：1、已知，，且与的夹角为，则 ， ， 2、已知，，，则向量在向量上的投影为 。

3、已知，，与的夹角为，则 4、已知向量，的夹角为，且，，则5、在正中，是上的点，，，求的值6、在中，，，,求的长。