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近世代数,第二章 群、环、域,基本概念,在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除，数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法来加以计算这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算近世代数（或抽象代数）的主要内容就是研究所谓代数系统，即带有运算的集合目录,§2.1 置换群、变换群 §2.2 子环 §2.3 理想,§2.1 置换群、变换群,定义 1 集合M={1,2,…,n}的一个一一变换称为一个n阶置换. 定义 2 奇排列~奇置换,偶排列~偶置换. 置换的乘法不满足交换律. 置换的乘法满足结合律.,,,,§2.1 置换群、变换群,定义 3 1-轮换 (1)=(2) 就是恒等置换. 2-轮换:称为一个对换. 不相交的轮换的乘法是可以交换的. 定理 4 将一个置换表为对换的乘积时, 其所用对换个数的奇偶性是唯一的. 如果&为奇置换, 则&只能表为奇数个对换之积, 如果&为偶置换, 则 &只能表为偶数个对换之积. 将&表为不相交轮换的乘积, 如果其中长度为偶数的轮换的个数为奇数, 则&为奇置换, 否则为偶置换. 定理5 n个元素的全体置换关于置换的乘法构成群。

定理 1 每一置换可唯一表为若干个不相交轮换的乘积 定理 2 每一轮换都可以表为若干个对换的乘积 定理 3 每一置换都可表为若干个对换的乘积将一个置换表为对换的乘积时,其表法一般不唯一, 且所用的对换的个数也不唯一. 但我们却可以证明§2.1 置换群、变换群,定义4 n个元素的全体置换关于置换的乘法所构成的群称为n次对称群,记作Sn.Sn的阶为n!当n=3时,Sn是非交换群. 定义5 Sn的任一子群称为置换群. 定理6 n个元素的全体偶置换关于置换的乘法构成Sn的一个子群.,,,,,§2.1 置换群、变换群,定义6 n个元素的全体偶置换关于置换的乘法构成的群称为n次交代群, 记作An.当n=4时,An为非交换群. |An|=n!/2(n=2) 使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换. 图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群,称为这个图形的对称变换群. 本小节的主要目的是给出几个简单几何体的对称变换群. 例 10 例 11,,,,,§2.1 置换群、变换群,例 10 正三角形的对称变换群. 设正三角形的三个顶点分别为1, 2, 3. 显然, 正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换. 反之, 由正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换, 从而可用S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} 表示正三角形的对称变换群, 其中(1)为恒等变换, (1 2), (1 3), (2 3) 分别表示关于正三角形的三个对称轴 的反射变换, (1 2 3), (1 3 2)分别表示关于正三角形的中心按逆时针方向旋转 的旋转变换.,,,,,§2.1 置换群、变换群,例 11正方形的对称变换群. 正方形的四个顶点分别可用1, 2, 3, 4来表示. 于是正方形的每一对称变换可用一个4阶置换来表示. 显然, 不同的对称变换所对应的置换也不同, 而对称变换的乘积对应了置换的乘积. 这说明, 正方形的对称变换群可用一置换群来表示. 容易看出, 正方形的对称变换有两类:,,,,,§2.1 置换群、变换群,第一类: 绕中心的分别旋转的旋转, 这对应于置换(1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2), (1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴 的反射, 这对应于置换 (1 2)(3 4), (2 4), (1 4)(2 3), (2 4), (1 3). 所以, 正方形的对称变换群有上述 8个元素. 这是 的一个子群. 可以证明: 正n 边形的对称变换群有 n个元素. 这种群称为 n元二面体群.,,,,,§2.1 置换群、变换群,变换群 设A为任一非空集合,SA为A的全体一一变换所组成的集合.可以证明,SA关于变换的合成构成群. 这个群称为集合A的完全一一变换群,记作SA.SA的任一子群称为一个变换群. 关于变换群, 有下面重要的凯莱定理. 定理 7 (凯莱定理)任一群都同构于一个变换群. 由定理7, 又可以得到定理 8任一有限群都同构于一个置换群.,,,,,§2.2 子环,定义1 设R是一个环,S是R的一个非空子集, 如果S关于R的运算构成环, 则称S为R的一个子环. 相应地, 也有子整环、子除环、子域等概念. 如果S是R的子环, 则(S,+)是(R,+)的子加群. 因此,R的零元就是S的零元,S中元素a在R中的负元就是a在S中的负元. 例1 环R本身及由单独一个零元所构成的集合关于R的运算显然构成R的子环. 这两个子环称为R的平凡子环. 例2 Z是Q的子整环,Q是R的子域,Q与R又是C的子域, 高斯整环Z[i]是C的子整环.,,,,,§2.2 子环,定理1 设S是一个环,S是R的非空子集, 则S为R的子环的充分必要条件是(1)(S,+)是(R,+)的子群;(2)S关于R的乘法封闭, 即, 任给a.b~S, 有ab~s. 证明 必要性显然. 今证充分性.由(1), (2)知,R的加法与乘法是S的代数运算. 条件(1), (2)说明,S关于R的加法与乘法满足环定义中的三个条件. 故S构成环. 从而S为R的子环. 定理2 设R是一个环,S是R的非空子集, 则S为R的子环的充分必要条件是,S关于R的减法与乘法封闭, 即任给 , 有a.b~s,有a-b~S,ab~S 证明,,,,,§2.2 子环,证明 由S关于R的减法封闭, 从而(S,+)是(R,+)的子环. 进一步由定理条件知, 满足定理1的两个条件, 所以 为 的子环. 于是, 充分性得证, 而必要性是显然的. 例3 设S为Z的非空子集. 证明:S为Z的子环的充分必要条件时, 存在非负整数d,使得S=dZ={dz|z~Z} 例 求Z18的所有子环. 解 设I为Z18的任一子环, 则I是Z18的子加群, 而(Z18,+)为有限阶循环群, 从而(I,+)也是循环群, 且存在d~Z,d|18,使得(I,+)=(/d).d的可能取值为1, 2, 3, 6, 9, 12 Z18恰有6个子环:{/0},Z18,2Z18,3Z18,6Z18,9Z18 例 6 设R为环. 证明R的中心是R的子环.,,,,,§2.3 理想,定义2 设R为环,I为R的非空子集. 如果I满足: (1) 对任意a.b~I,有a-b~I; (2) 对任意a~I,x~R,有ax,xa~I,则称I为R的一个理想. 由定义可知, 如I为R的理想, 则I一定是R的子环. {0}与R本身显然都是R的理想. 这两个理想称为平凡理想.R的不等于它自身的理想(如果有的话)称为R的真理想. 例7 试求Z的所有理想为dZ,d~Z且d=0,,,,,§2.3 理想,定义3 设R为环,I1,I2为R的理想. 集合I1+I2={a1+a2|a1~I1,a2~I2},I1#I2={a|a~I1,a~I2}分别称为理想I1,I2的和与交. 定理3 环R的两个理想I1与I2的和I1+I2与交I1#I2都是R的理想. 类似地, 可以定义环R的任意有限多个理想的和与任意多个理想的交的概念, 并且可以证明: 定理4 环R的任意有限多个理想的和还是理想.环R的任意多个理想的交还是理想. 例8 设I1与I2为环R的两个理想,集合I1与I2的积为R的理想.,,,,,§2.3 理想,定义4 设R为环,a~R, 称环R中所有包含a的理想的交还是 R的理想(见定理4), 称这个理想为由a生成的主理想, 记作(a),(a)是R中包含a的最小理想. 定理5 设R为有单位元的交换环,a~R, 则(a)=aR={ar|r~R} 定理6 整数环Z的每个理想都是主理想. 例9 在Z中, 如果a.b~Z, 则(a,b)是怎样的主理想? 解 (1) 如果a,b都是零, 则(a,b)={0}=(0). (2) 如果a,b不全为零. 设d为a,b的最大公因数, 则存在s,t~Z, 使得as+bt=d,从而(d)=(a)+(b)=(a,b) .又因a,b都是d的倍数,所以(a,b)=(a)+(b)（(d). 从而(a,b)=(d)即理想(a,b)是由a,b的最大公因数生成的理想. 例10 在高斯整环Z[i]中, 理想I=(1+i)由哪些元素组成?,,,,,§2.3 理想,定义5 设R是环,P是R的真理想. 如果对R的任何两个理想 I和J, 由IJ(P 必可推出I(P或J(P,则称P为R的一个素理想. 定义6 设R是环,M是R的真理想. 如果对R的任意包含M的理想N, 必有N=M或N=R, 则称M为R的一个极大理想.,,,,,§2.3 理想,定理7 设R是个交换环,P是R的真理想, 则P是R的素理想的充分必要条件是: 对任意的a.b~R,由ab~P必可推出a~p或b~P. 例11 设Z是整数环,p是一个素数, 则(p)既是素理想又是极大理想. 例12 设R=2Z, 则I=4Z为R的理想.证明:I为R的极大理想, 但不是素理想. 定理8 设R是有单位元的交换环, 则R的每个极大理想都是素理想. 证明 设I为R的极大理想. 设ab~I,a~]I. 令N=(a)+I,则N为R的理想,且I(a),但I=!(a)+I. 因为I为R的极大理想, 所以N=R. 从而1R~I, 故存在t~R,c~I,使得1R=at+c,所以,b=b*1R=abt+bc~I.这就证明了I为R的素理想.,,,,,结束,,,,,。