《三角形中的中点问题》.doc

三角形中有关“中点问题”是几何中最常见的重要问题之一，而有关中点的定理散见于各章节三角形中的中点问题例1：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线，求证：AB=AC.分析：在△ABC中，AD是∠BAD=∠CAD,AD=AD,BD=CD三个条件，但不能直接推出△ABD和△ACD全等，注意到点D是BC的中点，即AD是△ABC的中线，可尝试常用的辅助线添设——“中线倍长”讲评：一见到三角形一边（即AB边）上的中线，就应该想到，可以试试将该中线延长一倍，这样就把原先成叉状的三条线段（有共同端点的两条边（即BC边）），（即CA边）和中线（即CD边）整合到一个三角形中（在该三角形中，原中线以两倍的形式出现），由此可得出一些结论：例2：如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是BC中点，DE⊥AC于点E，则DE等于（）A、B、C、D、讲评：由于等腰三角形具有顶角平分线、底边上的中线及底边上的高线三线合一的性质，因此若是题目给了等腰三角形底边中点的条件，通常情况下应该作出底边上的中线，那么它不仅是底边上的中线，而且是底边上的高，，顶角平分线，这样就能把等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。

例3.如图，在△ABC中，BD、CE为高，M是DE的中点，N是BC的中点，求证:MN⊥DE.分析：可以先引导学生观察：有几个直角三角形？然后容易看出N是某两个直角三角形公共斜边的中点讲评：如果题目中有直角三角形斜边中点的条件，那么最好的最好的辅助线是作出斜边上的中线例4：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，延长AD、BC与MN的延长线分别交于E、F求证：∠AEC=∠BFM.分析：待证的两个角∠ANE、∠BFM的位置“参差不齐”，势必要换成等角进行过滤，本题中虽有中点条件，但明显没有等腰三角形、直角三角形，因此考虑利用三角形中位线定理来解决问题讲评：已知两个中点，常常另找第三个中点，由此可得到两条中位线，而这个“第三者”的寻找有一定的难度，一般说，要有利于已知条件的集中，本题虽有AD=BC，但它们是“散”的；要有利于待证对象的集中，本题两个角的位置“参差不齐”的例5：如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，求证：BE+CF>EF.分析：待证的线段BE、CF、EF太分散，要设法集中，简单的平移，显然不行，那么可以不可以将它们折半后集中呢？可试试中位线例6：如图，在等腰三角形ABCD中，CD∥AB,对角线AC、BD相交于点O,∠ACD=60°，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点，求证：△SPQ是等边三角形。

小结：初中数学中涉及三角形中有关中点的定理主要有三条：（1）等腰三角形的三线合一；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）三角形的中位线定理2.涉及三角形中有关中点问题，常规的思路有：（1）先看和中点相关的三角形是不是特殊三角形？①一见等腰三角形的底边的中点，可以考虑利用定理——等腰三角形的三线合一解决问题；②一见直角三角形的斜边上的中点，可以考虑利用定理——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题；（2）如果和中点相关的三角形不是特殊三角形，那么通常的手法有：①将中线延长一倍——“中线倍长”；②取另一边的中点，利用三角形的中位线定理解决问题，另一边的中点的选取有两个原则；有利于已知条件的集中，有利于待证对象的集中3.在不能用平移等方法直接将线段集中打一个三角形中时，可以考虑将线段“折半”后集中，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，都有“折半”的功能练习：1.如图，在△ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰三角形2.如图，在△ABC中，AD是三角形BC边上的中线，求证：.3.如图，在△ABC中，AD是三角形的高，∠B=2∠C,E为BC的中点，求证：DE=AB.4.如图，以△ABC的ABAC为斜边向形外作Rt△ABE和Rt△ACF，且使∠ABE=∠ACF,点D是BC的中点，求证：DE=DF.6.如图，以△ABC中，点D、E分别是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE.6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,点E是CD的中点，连结AE、BE。