福建师范大学22春《复变函数》综合作业二答案参考35.docx
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福建师范大学22春《复变函数》综合作业二答案参考1. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测 )A.正确B.错误参考答案：A2. 函数y=x2－1 的驻点是 x=______.函数y=x2-1 的驻点是 x=______.参考答案：03. 设k（s，t)，0≤s≤1，0≤t≤1，为[0，1]×[0，1]上的可测函数假设 , 对x∈L2[0，1]，令 ，0≤s≤1 求证：A为L2[0，1]上的设k（s，t)，0≤s≤1，0≤t≤1，为[0，1]×[0，1]上的可测函数假设 , 对x∈L2[0，1]，令 ，0≤s≤1 求证：A为L2[0，1]上的有界线性算子且‖A‖≤(βγ)1/2，且任取x∈L2[0，1]有 ，0≤s≤1对于0≤s≤1，我们有 因此 我们注意到被积函数为非负的，故我们可以变换积分顺序因此 所以有‖Ax‖≤(βγ)1/2‖x‖对所有的x∈L2[0，1]成立这首先证明了任取x∈L2[0，1]，有Ax∈L2[0，1]然后表明A为有界的且‖A‖≤(βγ)1/2又显然A为线性的，故A为L2[0，1]上的有界线性算子。
这就证明了第一部分 为证第二部分，设 ，k2(s，t)=|k(s，t)|， 对于x∈L2[0，1]，设 ，0≤s≤1， i=1，2 重复上面的证明，可知B1和B2为L2[0，1]上的有界线性算子若x，y∈L2[0，1]，则 我们希望能够变换上面的积分顺序由于，我们有 =(B2＜|x|)，|y|＞， 上式为有限的，因为B2(|x|)及|y|都在L2[0，1]中因此我们可以应用Fubini定理来变换积分顺序： 这证明了B1=A* 4. 在有向图D中，结点间的可达关系满足什么性质?在有向图D中，结点间的可达关系满足什么性质?自反性，传递性． 结点vi与vi显然连通(可达)，满足自反性；若vi可达vi，vj可达vk，则vi可达vk，满足传递性；由于有向图中的边是有方向的，vi可达cj，未必有另一条边使vj，可达vi，故不满足对称性． 5. 求微分方程y&39;+ytanx=cosx的通解求微分方程y'+ytanx=cosx的通解5．y=(x+C)cosx6. 设方程组 (1) 与方程组 (2) 是同解方程组，试确定方程组(1)中的p，q，r的值．设方程组 (1) 与方程组 (2) 是同解方程组，试确定方程组(1)中的p，q，r的值．方程组(2)的同解方程组为 (3) 令x3=0，得方程组(2)的解η*=(-2，5，0，-10)T． 与方程组(3)对应的齐次线性方程组为 (4) 令x3=1，则方程组(4)的基础解系为ξ=(-3，2，1，0)T. 故方程组(2)的通解为 (λ∈R)． 将其代入方程组(1)中，得 即 令λ=1，得r=-2，p=3，q=2． 7. 设一次试验成功的概率为P，进行100次独立重复试验，当P=( )时，成功次数的标准差σ的值最大，其最大值σmax=( )设一次试验成功的概率为P，进行100次独立重复试验，当P=( )时，成功次数的标准差σ的值最大，其最大值σmax=( )8. 有A、B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器。
为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了有A、B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了3个竞争对策：(1)将新产品全面投入生产；(2)继续生产现有产品，新产品小批量试产试销；(3)维持原状，新产品只生产样品征求意见B厂了解到A厂有新产品情况下也考虑了3个策略：(1)加速研制新计算器；(2)对现有计算器革新；(3)改进产品外观和包装由于受市场预测能力限制，表3-4只表明双方对策结果的大致的定性分析资料(对A厂而言)若用打分办法，一般记为0分，较好打1分，好打2分，很好打3分，较差打-1分，差为-2分，很差为-3分试通过对策分析，确定A、B两厂各应采取哪一种策略？表3-4A厂策略B厂策略1231较好好很好2一般较差较好3很差差一般A、B两厂均采取策略19. 在1，2，…，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?在1，2，…，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?设S={1，2，…，500}，以A1，A2分别表示S中可被15和7整除的整数集合，则问题归结为求|A1-A2| =33-4=2910. 证明：设A是n级矩阵，则｜AA｜=｜A｜2．证明：设A是n级矩阵，则｜AA｜=｜A｜2．正确答案：根据课本定理3｜AB｜=｜A｜.｜B｜得｜AA\"｜=｜A｜.｜A\"｜而｜A\"｜=｜A｜故｜AA\"｜=｜A｜2。
根据课本定理3,｜AB｜=｜A｜.｜B｜得｜AA\"｜=｜A｜.｜A\"｜,而｜A\"｜=｜A｜故｜AA\"｜=｜A｜211. 试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.令W={(x，y，z)T∈R3|2x-2y+z=0}，可求出W的一个标准正交基为到W的正交投影为α1=〈α，e1〉e1+〈α，e2〉e2=(-1，1，4)T.所求距离为d=‖α-α1‖=8.12. 若级数与分别收敛于S1与S2，则( )式未必成立． A． B． C． D．若级数与分别收敛于S1与S2，则( )式未必成立． A． B． C． D．D13. 对原始资料审核的重点是______对原始资料审核的重点是______资料的准确性14. 设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果a≠b必有a*b≠b*a，试证明：设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果a≠b必有a*b≠b*a，试证明：由题意可知，若a*b=b*a，则必有a=b． 因为(a*a)*a=a*(a*a)，所以a*a=a．$因为a*(a*b*a)=(a*a)*b*a=a*b*(a*a)=(a*b*a)*a，所以a*b*c=a$因为(a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*(b*c) =a*(b*c)=(a*b)*(c*a*c) =(a*b*c)*(a*c)，所以a*b*c=a*c 15. 若f(u)可导，且y=f(esinx)，则有( )． A．dy=f&39;(esinx)desinx B．dy=f&39;(esinx)esinx·cosx·dx C．dy=f若f(u)可导，且y=f(esinx)，则有( )． A．dy=f'(esinx)desinx B．dy=f'(esinx)esinx·cosx·dx C．dy=f'(esinx)dx D．dy=[f(esinx)]'desinxAB令u=esinx，则y=f(u)． ∴dy=f'(u)du=f'(esinx)desinx，故(A)符合，(C)排除． 又∵desinx=esinx·(sinx)'dx=esinx·cosxdx ∴dy=f'(esinx)desinx=f'(esinx)·esinx·cosxdx，所以(B)符合． (D)中dy=[f(esinx)]'desinx=f'(esinx)esinxdesinx，所以(D)也排除． 16. 8．求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积．8．求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积．平面方程改写为，所割部分在xOy面上的投影为区域D(如图9-107所示)，故 17. 已知一可微的数量场u(x，y，z)在点M0(1，2，1)处，朝点M1(2，2，1)方向的方向导数为4，朝点M2(1，3，1)方向的方向导数已知一可微的数量场u(x，y，z)在点M0(1，2，1)处，朝点M1(2，2，1)方向的方向导数为4，朝点M2(1，3，1)方向的方向导数为-2，朝点M3(1，2，0)方向的方向导数为1，试确定在点M0处的梯度，并求出朝点M4(4，4，7)方向的方向导数．记 (i=1，2，3，4)，则有 l1=i，l2=j，l3=-k，l4=3i+2j+6k．又记点M0处的梯度为 grad u=uxi+uyj+uzk． 由于方向导数等于在同一点处的梯度在该方向上的投影，即有 =gradlu=grad u·， 则由条件知有 =grad u·i=ux=4，=grad u·j=uy=-2, =grad u·(-k)=-uz=1，即uz=-1 从而得所求的梯度为 grad u=4i-2j-k． 因为 故有． 18. 设ξ1，ξ2，…，ξn是取自总体ξ的一个样本，ξ～B(1，p)，其中p为未知，0＜p＜1． 求总体参数ξ的矩估计与最大似然估计．设ξ1，ξ2，…，ξn是取自总体ξ的一个样本，ξ～B(1，p)，其中p为未知，0＜p＜1． 求总体参数ξ的矩估计与最大似然估计．(1)矩估计法：因为ξ～B(1，p)，ξ1，ξ1…，ξn是取自总体ξ的样本，知 Eξ=p，Dξ=p(1-p) 按矩估计法，用来估计p．由α1=Eξ=p解得p=α1，从而p的矩估计为 (2)最大似然估计法：设ξ的分布律为． 似然函数 令y=∑xi，有， 解得．所以p的最大似然估计量为． 19. 在数集{1，2，…，100}中随机地取一个数，已知取到的数不能被2整除，求它能被3或5整除的概率．在数集{1，2，…，100}中随机地取一个数，已知取到的数不能被2整除，求它能被3或5整除的概率．提示：以A2，A3，A5分别表示取到的数能被2，3，5整除，所求的概率为： 20. 计算方阵的三种常用范数(p=1，2，∞)．计算方阵的三种常用范数(p=1，2，∞)．由定义得 又由于，而 从而λmax(ATA)=32，所以 21. 设集合A={a，b，c}，A上的二元关系R={(a，a)，(b，b)}不具备关系中下列4个中的哪个性质? (1)传递性； (2)反对称设集合A={a，b，c}，A上的二元关系R={(a，a)，(b，b)}不具备关系中下列4个中的哪个性质? (1)传递性； (2)反对称性； (3)对称性； (4)自反性．不具备(4)自反性．如果加入(c，c)，才有自反性．22. 假设总体X的密度为 其中θ＞0，求来自X的样本X1，X2，…，Xn的密度函数p(x1，x2，…，xn)。
