圆周角(第2课时)优秀课件.ppt

圆圆 周周 角角(2)(2)圆 周 角(2)1 1、叙述圆周角定理：、叙述圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2 2、同弧或等弧所对的圆周角、同弧或等弧所对的圆周角 ；； 一条弦所对的圆周角有一条弦所对的圆周角有 个；个； 一条弦所对的圆周角一条弦所对的圆周角 ；； 相等的圆周角所对的弧相等的圆周角所对的弧 3 3、直径（或半圆）所对的圆周角是、直径（或半圆）所对的圆周角是 ；； 90 900 0的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 1、叙述圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一AOBC∴∠ACB=2∠BAC证明：∵∠AOB=2∠ACB ∠BOC=2∠BAC例例1 1、如图，、如图，O OA A，，OBOB，，OC OC 都是都是⊙⊙O O的半径，的半径，∠∠AOBAOB=2∠=2∠BOCBOC. . 求证求证∠∠ACBACB=2∠=2∠BACBAC. .又∵∠AOB=2∠BOC，例例2 2、已知，如图、已知，如图⊙⊙O O 的弦的弦ABCDABCD的延的延长线相交于点长线相交于点E E，且，且DA=DEDA=DE；；求证：求证：BC=BEBC=BE。

AOBC∴∠ACB=2∠BAC证明：∵∠AOB=2∠ACB例 如图，四边形如图，四边形ABCD为为⊙ ⊙O的内接四边形，的内接四边形，⊙ ⊙O为为四边形四边形ABCD的外接圆的外接圆你认为你认为∠∠A与与∠∠C, ∠∠B与与∠∠D之间有何数量关系之间有何数量关系 ? ? u探究:猜想：猜想：∠∠A+ ∠∠C=180º，，∠∠B+ ∠∠D=180º如何证明你的猜想呢？如何证明你的猜想呢？圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补延长延长DC至至E，则图中，则图中∠∠A与与∠∠DCE的大小有何关系的大小有何关系？？圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x，例例3、在圆内接四边形、在圆内接四边形ABCD中，中， ∠∠A，，∠∠B，，∠∠C的的度数之比是度数之比是2︰︰3︰︰6.求这个四边形各角的度数求这个四边形各角的度数.∵四边形ABCD内接于圆，∴ ∠A+ ∠C=180°，∵2x+6x=180°，∴ x=22.5°.∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°， ∠D=180°-67.5°=112.5°.解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x，例3、1．．四边形四边形ABCD是是⊙ ⊙O的内接四边形，且的内接四边形，且∠∠A=110°，，∠∠B=80°，，则则∠∠C= ，，∠∠D= . .2．．⊙ ⊙O的内接四边形的内接四边形ABCD中，中，∠∠A∶∠∶∠B∶∠∶∠C=1∶ ∶2∶ ∶3 ，则，则∠∠D= . . 练一练1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B例例4 4、、如图，如图，AB为为⊙ ⊙O的直径，的直径，CF⊥⊥AB于于E，交，交⊙ ⊙O于于D，，AF交交⊙ ⊙O于于G. 求证：求证：∠∠FGD＝＝∠∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．系的重要依据．例4、如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，A1、如图，在、如图，在⊙ ⊙O的内接四边形的内接四边形ABCD中，中，∠∠BOD＝＝120°，那么，那么∠∠BCD是是(　　　　)A．．120° B．．100°C．．80° D．．60°解析：∵∠BOD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.练一练1、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，2、如图，已知、如图，已知BD是是⊙ ⊙O的直径，的直径，⊙ ⊙O的弦的弦AC⊥⊥BD于于点点E，若，若∠∠AOD=60°，则，则∠∠DBC的度数为（的度数为（ ）） A.30° B.40° C.50° D.60°【【规律方法规律方法】】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理然后再灵活运用圆周角定理.2、如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若ABCDO3、如图，四边形、如图，四边形ABCD内接于内接于⊙ ⊙O,如果如果∠∠BOD=130°,则则∠∠BCD的度数是（的度数是（ ）） A 115° B 130° C 65° D 50°4、如图，等边三角形、如图，等边三角形ABC内接于内接于⊙ ⊙O，，P是是AB上的一点，则上的一点，则∠∠APB= .ABCPABCDO3、如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=5、、如图，已知圆心角如图，已知圆心角∠∠AOB=100°, ,则圆周角则圆周角∠∠ACB= = ，，∠∠ADB= = . .DAOCB6、如图，、如图，△△ABC的顶点的顶点A、、B、、C都在都在⊙ ⊙O上，上，∠∠C＝＝30 °，，AB＝＝2，，则则⊙ ⊙O的半径是的半径是 .CABO解：连接OA、OB∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径为2.5、如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角DAOCB67、如图，点、如图，点A、、B、、C在在⊙ ⊙O上，上，△△ABC的外角平的外角平分线分线AD交交⊙ ⊙O点点D，连接，连接BD、、CD，判断，判断△△DBC的的形状，并给予证明。

形状，并给予证明7、如图，点A、B、C在⊙O上，△ABC的外角平分线AD交⊙8、船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗、船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，礁，如图，A、、B表示灯塔，暗礁分布在经过表示灯塔，暗礁分布在经过A、、B两点的一两点的一个圆形区域内，优弧个圆形区域内，优弧AB上任一点上任一点C都是有触礁危险的临界点，都是有触礁危险的临界点，∠∠ACB就是就是“危险角危险角”，当船位于安全区域时，，当船位于安全区域时，∠∠α与与“危危险角险角”有怎样的大小关系？有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”，即∠α＜∠ACB8、船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图拓展提升：拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证： . .ABCDE∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°即即AD⊥BC∵AB=AC， ∴BD=CD.（（2）由（）由（1）知：）知：AB=AC， BD=CD∴∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）. .解:（1）BD=CD. 理由是:连接AD,拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,ABCDE∵AB是圆心角圆心角类比类比圆周角圆周角圆周角定义圆周角定义圆周角定理圆周角定理圆周角定理圆周角定理的推论的推论课堂小结课堂小结1、同弧或等弧所对的圆、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；所对的圆心角的一半；2、相等的圆周角所对的、相等的圆周角所对的弧相等弧相等.1. 90°的圆周的圆周角所对的弦角所对的弦是直径；是直径；1.顶点在圆上，顶点在圆上，2.两边都与圆两边都与圆相交的角。

相交的角二者必须同（二者必须同时具备）时具备）圆周角与直圆周角与直径的关系径的关系半圆或直径所半圆或直径所对的圆周角都对的圆周角都相等，都等于相等，都等于90°（直角）（直角）.1 1、、直径直径是圆中常见的辅助线；是圆中常见的辅助线；2 2、由角找弧，由弧找角由角找弧，由弧找角圆内接四边形圆内接四边形对角互补对角互补；；圆内接四边形的圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角任何一个外角等于它的内对角圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论课堂小结。