结构力学-力矩分配法.ppt
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第九章 力矩分配法 学习内容 •转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定• 力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架• 无剪力分配法的概念及计算• 利用对称性简化力矩分配法计算 学习目的和要求•力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法它不需要建立和求解基本方程，直接得到杆端弯矩运算简单，方法机械，便于掌握• 本章的基本要求：• 熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩分配法计算有侧移刚架• 一、基本概念1、力矩分配法概述 2、正负号规定：•在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正号•作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号• 3、转动刚度S：•表示杆端对转动的抵抗能力 在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩AB 杆A 端的转动刚度SAB与AB杆的线刚度 i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如下： 如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点转动刚度SAB的数值不变。
4、传递系数C：•杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值即：C＝M远/M近•利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：MBA=CABMAB•等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表 例题 1转 动 刚 度 在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移） 远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）θMAB1MABMAB111MABΔ②①③④下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB转动刚度SAB=4i是（ ）√√√√iiiii⑤①②③④iAAAAA4i>SAB>3iBBBBB返回 二、基本运算•力矩分配法的基本运算指的是，单结点结构的力矩分配法计算 1、单结点结构在结点集中力偶作用下的计算•如图1所示结构，结点集中力偶m作用下，使结点转动，从而带动各杆端转动，杆端转动产生的近端弯称为分配弯矩，产生远端弯矩称为传递弯矩•分配弯矩：M1j＝μ1jm （j=A，B，C） （1）•传递弯矩： Mj1＝ cM1j （j=A，B，C） （2） 注意：•①结点集中力偶m顺时针为正，产生正的分配弯矩• ②分配系数 μ1j 表示1j杆1端承担结点外力偶的比率，它等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度之和的比值，即：μ1j＝S1j/ΣS1j ，且Σ μ1j＝1 （3）• ③只有分配弯矩才能向远端传递。
• ④分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是杆端转动时产生的远端弯矩 单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法 iBCAMMiA=4iθ=SiAθMiB=3iθ=SiBθMiC=iθ=SiCθ∑M= MiA+MiB+MiC－M=0a）分配力矩注：1）μ称为力矩分配系数且∑μ=12）分配力矩是杆端转动时产生的近端弯矩3）结点集中力偶荷载顺时针为正2、传递系数C：杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值即：b）传递弯矩Mji=CMij j=A，B，C注：1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩 2）只有分配弯矩才能向远端传递返回 2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算•将整个变形过程分为两步：• 第一步，在刚结点加刚臂阻止结点转动，将连续梁分解为两根单跨超静定梁，求出各杆端的固端弯矩结点B各杆端固端弯矩之和为附加刚臂中的约束力矩，称为结点不平衡力矩MB• 第二步，去掉约束，相当于在结点B加上负的不平衡力矩MB，并将它分给各个杆端及传递到远端• 叠加以上两步的杆端弯，得到最后杆端弯矩• • • 返回单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法200kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m6m3i4iABC200kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/mABCABC1）锁住结点，求固端弯矩－150150－902）去掉约束，相当于在结点加上负的不平衡力矩，并将它分给各个杆端及传递到远端。
MB=150－90=60MBMBmBAmBC－MB=－60SBA=4×3i=12iSBC=3×4i=12iμBA=12i/24i=1/2μBC=12i/24i=1/2－30－30－153）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩计算过程可列表进行μ1/21/2－150m150 －90－30 －30－15M－175－120120ABCM图（kN.m)17512090300不平衡力矩=固端弯矩之和节点不平衡力矩要变号分配. 例题 2单结点力矩分配法 返回i=1i=1i=22m2m4m4mABCD↓↓↓↓↓↓↓↓↓40kN/m100kN15kN用力矩分配法计算,画M图解：1）求μμAB= μAC=μAD=4/92/93/92）求m mAB= mBA=mAD=50－ 50－ 80M=15MAmABmADmACM+MA=mAB+mAD+mAC－ M=50+－80－15= －45结点BACD杆端分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递20固端弯矩－ 5050－ 80101510－10最后弯矩－ 4070－ 6510－ 10100M图（kN.m)2m2m4m4mABCD↓↓↓↓↓↓↓↓↓40kN/m100kN15kN40701001080M图（kN.m) 三、多结点力矩分配法三、多结点力矩分配法•用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只要逐次放松每一个结点，应用单结点的基本运算，就可逐步渐近求出杆端弯。
以图1所示连续梁为例加以说明•⑴加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁，计算各杆固端弯矩m，由结点力矩平衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），如图b，图b与原结构的差别是：•在受力上，结点B、C上多了不平衡力矩MB、MC；在变形上结点B、C不能转动 •⑵为了取消结点B的刚臂，放松结点B（结点C仍锁住），在结点B加上（－MB），如图c,此时ABC部分只有一个角位移，并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配和传递结点B处于暂时的平衡此时C点的不平衡力矩是MC+ M传 ⑶为了取消结点C的刚臂，放松结点C，在结点C加上（－(MC+ M传)），如图d，为了使BCD部分只有一个角位移，结点B再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递结点C处于暂时的平衡⑷传递弯矩的到来，又打破了B点的平衡，B点又有了新的约束力矩M传，重复⑵、⑶两步，经多次循环后各结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状态和变形状态一般2～3个循环就可获得足够的精度⑤叠加：最后杆端弯矩： M=∑M分配＋∑M传递＋MF ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kN－128128－75MB=－128MC=53－MB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kN4m4m8m8mABCC2EI2EIEI取EI=8i=2i=2i=1μBA=0.6μBC=0.4μCB=0.4μCD=0.676.8 51.225.6MC=78.6－MC=－78.6－31.4 －47.2－15.7－15.7 15.79.4 6.33.2分配系数逐次放松结点进行分配与传递固端弯矩最后弯矩0.60.40.40.6－128128－7551.276.825.6－31.4 －47.2－15.76.39.43.2－1.3－1.9－0.70.30.40.2－0.1－0.1086.6 －86.6124.2 －124.2 4m4m8m8m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kNABCC固端弯矩最后弯矩－128128－75086.6 －86.6124.2 －124.286.6124.2192i=2i=2i=1100M图（kN.m)ΔMik86.6 41.4－3.8 －49.2ΔMki/20－1.920.7000ΔM´86.6 43.3－24.5 －49.2ΔM´之比i之比i=2i=2i=1i=2i=2i=1校核i=2i=2i=1i=2i=2i=1返回 变形条件的校核：ijikijikiiMM=DD''ijikjiijkiikiiMMMM=D-DD-D332121ijjiijkikiikiMMiMMD-D=D-D321321ikkiikikkikiikikikiMMimMmMD-D=---=3213)(21)(jikikikmMM-=DkiikikMMMD-D=D21'由此可见，在同一结点上各杆杆端转角相等的前提下，两杆i端的kiikikMMMD-D=D21'值之比等于其线刚度之比。
注意：①多结点结构的力矩分配法得的是渐近解②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛④每次要将结点不平衡力矩变号分配⑤结点i的不平衡力矩Mi 总等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡来求在第一轮第一个分配结点：Mi=∑MF－m （结点力偶荷载顺时针为正） 在第一轮其它分配结点：Mi=∑MF＋M传－m （结点力偶荷载顺时针为正） 以后各轮的各分配结点：Mi=M传 （8－6） 例题 3连续梁 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓100kN/mi=1.92i=1.37i=2.4i=12.5m3.5m4.82mA123B解: 1) 求分配系数:0.513 0.4780.363 0.6370.762 0.2382) 求固端弯矩:78.1 －102.0102.0 －33.333.3 －288mμ1,312.3 11.6194.1 60.65.897.1 －62.3 －109.3 －31.2－51.416 15.221,341.7 1320.97.6－10.3－18.22－5.2 －9.11,32.7 2.51.36.9 3.23.5－1.7 －3.1－1.6－0.921,30.5 0.40.21.2 0.40.6－0.3 －0.5－0.3－0.221,30.1 0.10.2 0.1M0109.7－109.742.3 －42.3211.7－211.7109.742.3211.7M(kN.m)78.115350288返回 例题 4无侧移刚架 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i↓↓↓↓↓↓20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=4iμAG=0.5μAC=0.5μCA=0.4μCH=0.2μCE=0.4结点杆端ACEAGACCACHCECHmμ0.50.50.40.20.4－15 返回0.50.50.40.20.4－157.5 7.53.75－1.50 －0.75 －1.50－ 0.75－ 0.750.37 0.380.19－0.08 －0.03 －0.08－ 0.04－ 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmμM－7.117.112.36－0.78－1.58－0.79↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m) 四、无剪力分配法•力矩分配法是用于连续梁和无侧移刚架，不能直接用于有侧移刚架。
但对有些特 殊的有侧移刚架，可以用与力矩分配法类似的无剪力分配法进行计算• ⑴⑴无剪力分配法的使用条件：无剪力分配法的使用条件：结构中除了两端无相对线位移的杆外，其余的杆均为剪力静定杆 • 如果杆件两端线位移平行并且不于轴线垂直，则该杆为两端无相对线位移的杆如图1(a)中EC、CF、DB杆均为无侧移杆 • 剪力静定杆指的是剪力可由截面投影平衡求出来的杆如图1(a)中AB、BC杆均为剪力静定杆•两端无相对线位移的杆转动刚度、传递系数和固端弯矩确定，前面已经讨论过，下面这种讨论剪力静定杆的转动刚度、传递系数和固端弯矩确定 ⑵⑵剪力静定杆的固端弯矩计算剪力静定杆的固端弯矩计算•先由截面投影平衡求出杆端剪力，然后将杆端剪力看作杆端荷载加在杆端，按该端滑动，另一端固定的单跨梁计算固端弯矩如图1(b)(c)所示•⑶⑶剪力静定杆的转动刚度：剪力静定杆的转动刚度：•S=i，传递系数：C=－1 剪力静定推导过程 1、剪力静定杆的固端弯矩：↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m 求剪力静定杆的固端弯矩时Ø先由平衡条件求出杆端剪力；Ø将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。
2、剪力静定杆的S和C：θAΔABMAB=4iθA－6iΔ/lMBA=2iθA－6iΔ/l∵ QBA=－（MAB+MBA）/l=0∴ MBA= －MAB ，∴MAB=4iθA －6i θA /2= iθA , MBA= 2iθA － 6i θA /2 =－ iθA Ø剪力静定杆的 S= i C=－1Δ/l=θA /2返回 例题 5无剪力分配法 1 例题12-7用无剪力分配法计算刚架解：1、求分配系数SBC=3i1=12 SBA=i2=3μBC=4/5 μBA=1/5 BA杆的传递系数 =－1 2m2m4m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓1kN/m 5kNi1=4i2=3ABC2、求固端弯矩：ABBABCCBμ4/51/5m－5.33 －2.67 －3.75分传1.285.14M－1.28－6.61 －1.391.3901.395.706.61M图（kN.m)返回 例题 6无剪力分配法 2 8m×6=48m5n4kN4kN4kN6kN6kN12kN2kN4kN6kN(3)(3)(3)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(4)(5)(5)(5)(5)(2)(2)(1)(1)(1)2kN3kN 6kN 6kN 2kN 3kN2kN3kN 6kN 6kN 2kN 3kN2kN3kN 6kN6kN2kN3kN(3)(5)(4)(2)(6)(4)M=0 2kN3kN 6kN6kN2kN3kN(3)(5)(4)(2)(6)(4)ABCDGFE1、求μ：大家算2、求m：大家算 6kN 4kN 1kNBCBAB结点杆端ACDAEABBFCBCGDCmμ6/71/712/196/154/15－24CD3/194/195/15－24－16－16－4－46.32 25.26 8.42－6.32－8.4225.99 4.33－4.337.58 11.37 9.47－7.58－9.47 BCBAB结点杆端ACDAEABBFCBCGDCmμ6/71/712/196/154/15－24CD3/194/195/15－24－16－16－4－46.32 25.26 8.42－6.32－8.4225.99 4.33－4.337.58 11.37 9.47－7.58－9.471.88 7.52 2.51－1.88－2.510.67 1.00 0.84－0.67－0.841.61 0.27－0.270.15 0.59 0.20M－20.2527.6033.37 －13.12 －18.6812.376.31 －14.31－27.60请自己完成弯矩图的绘制 。
