第一章-张量分析初步课件.ppt

第一章 张量分析初步第一章 张量分析初步n本章学习目的 引入最基本的张量概念，为今后学习应变张量、应力张量、广义虎克定律和弹性波方程等专业概念及运算做准备是本门课的数学基础n已学习过的物理量标量？向量？n有了标量标量和向量向量是否足够描述自然现象？ 如何用一个最简单的式子来表示？ 1?2n用矩阵？n还有更简单的表示方法吗?n可总结为： aij, xj, bi是些什么量？1.1 指标记号及两个特殊符号 n指标记号空间有个坐标系OXYZ，P (x, y, z)是其中的一点，坐标为：x, y ,z直角坐标系中的基向量： 并两两正交垂直坐标轴代号x, y, z可否用别的符号进行代换呢？用xx1, yx2, zx3则P (x, y, z)P(x1,x2,x3)基向量同样可以做如下代换：OyxzP(x, y, z)X2X1OX3P(x1, x2, x3)再对上述代换结果进行简写P点改写为：P(x1,x2,x3)P(xi, i=1,2,3)P(xi)基向量：ei, i=1,2,3 ei则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值范围，使用上述指标简写表达式的方式称为指标记号注意：指标记号只是一种人为规定的简写方式，是一种约定俗成，如同结绳记事，并不是什么高深的东西。

n向量的指标记号原直角坐标系下的向量在新直角坐标系中可表示为书写成求和的方式： 为了不每次都书写求和符号，简化书写做如下约定：n如果在数学表达式内的任一项中，有某个指标重复重复出现一次出现一次(出现两次)，就表示对该指标在其取值范取值范围内围内取一切值，并对对应项对应项进行求和求和n如果重复出现如果重复出现多于一次多于一次(出现两次以上)，因为没有，因为没有进行定义，所以没有意义，进行定义，所以没有意义，！则向量OP在新坐标系内可写为提示: 求和约定同样是人为规定，就像“+”两边的数要相加一样，仅仅是因为创造此记号法的人这么规定而已 ，没有什么神秘的地方！谁创造了求和约定? Einstein (爱因斯坦)n则前述方程组也可用求和约定进行表达n上式中i和j有何不同? 在每一项中i只出现了1次，j出现了2次，表示求和的只有j指标i？j？哑批标：在同一项中重复出现一次(即出现两次)、从而对其应用求和约定的指标称为哑指标 如上式中的j指标自由指标：同一项中不重复出现(即只出现一次)，因而不约定求和的指标称为自由指标如上式中的i指标n可否将上式表示成如下形式？n指标记号的特点：a)哑指标只是表示约定求和，与用什么字母表示无关；b)在同一表达式中，每一项必须出现相同的自由指标；c)自由指标的个数决定简写方程代表的实际方程的个数，可用3n次方来求代表的方程数；此时n为自由指标的个数； d)哑指标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数，可用3n次方来求代表的方程数；此时n为哑指标的个数；n如果研究的问题是二维问题，而不是三维问题，如何使用指标记号？P(x,y) P(x1,x2)P(x, =1,2)向量OP表示为：OP=x1e1+x2e2求和表示为：n每次还要书写取值范围，太烦！对取值范围进行约定：用拉丁字母(i, j, k等)书写的指标其取值范围是1,2,3； 用希腊字母(,b等)书写的指标其取值范围是1,2。

OP用希腊字母表示的自由指标的个数决定简写方程代表的实际方程的个数，可用2n次方来求代表的方程数；用希腊字母表示的哑指标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数，可用2n次方来求代表的项数；例题1.Qii, S展开？步骤：分析i,指标类型？字母类型？再展开2.写出a=Aijbicj的展开式3.写出 的展开式4.写出 的展开式5.?写出 的展开式6.?写出 的展开式两个特殊符号 n两个特殊符号 为书写的方便，可以使用kronecker符号和排列符号简化书写 nkronecker符号定义如何理解kronecker符号nKronecker符号的特点： a)Kronecker具有对称性. b)Kronecker可表示为基向量的点乘.c) d) 如何证明?两种方式:u将左式展开，再给定每一个i值，求左右是否相等；u只有当i=j时dij才不等于“0”， e) 证明同上f) n排列符号定义：如何理解：数字排列沿顺时针方向旋转取1； 数字排列沿逆时针方向旋转取-1； 123eijk不同排列次序间的关系 只要旋转的方向相同则取值符号相同，否则取值符号相反，任两个字母取值相同则取“0”值！n排列符号的几点重要结论：ijk证明见例题neijk与dij间的关系ei,ej,ek为3个单位基向量，i,j,k互不相等。

例题例6证明通过观察,6项求和，3项为正3项为负是否和排列符号有关？1.2 坐标变换n什么是坐标变换空间中同一个点在不同直角坐标系内的坐标值是不同的，这些坐标值之间的变换关系就是坐标变换如下图，在ox1x2x3和ox1x2x3两个坐标系中，P点的坐标取值是不同的n坐标变换类型：坐标旋转、坐标平移、坐标反射等；本门课中只讨论坐标旋转n坐标变换在本专业的一般应用：三维地震勘探施工设计；数字图像处理、三维可视化技术；张量计算等；n二维坐标变换公式推导空间一点P，向径为dx,长度为ds在ox1x2坐标系内坐标为(x1,x2);在 坐标为 ;求两坐标间的关系?对于三维坐标系，有：n二 坐标变换系数bij的含义如图有 如果给定了bij，就确定了直角坐标系的一个旋转变换，则称bij为坐标系变换系数bij中每一行是所对应的新坐标轴单位基向量在旧坐标系中的分量； bij每一列是所对应的旧坐标轴单位基向量在新坐标系中的分量n坐标变换系数的性质由坐标变换系数的定义知：由矢量分析知，单位体积为： n三维坐标系内，新旧坐标变换公式的获得由客观实际知，向量大小和方向与坐标系选取无关因此，任一向量在新旧两坐标系内大小、方向相同！ n提问：n此节回顾： 例题1.3 张量的定义n张量的定义：张量是在所给坐标系内，用一组有序数描述一个量。

此量可以是物理量，也可以是几何量在不同坐标系内，此有序数一般不同此有序数中的每一个数必须要满足坐标变换规律：根据满足变换规律的不同，可以将张量划分成不同种类 n不同阶正交张量的定义1.零阶张量标量 如果一个量，有一个分量并满足如下变换式，则称此量为零阶张量或标量零阶张量是坐标变换下的不变量；零阶张量举例：温度，质量等2.一阶张量向量设有一个量，它有3个有序分量，在新旧坐标系中的分量分别为 和 ，如果满足下式，则称这个量是一阶张量或向量，记为：例如：位移，速度等3.二阶张量设有一个量，它有9个有序分量，在旧新两个直角坐标系内其分量分别为Tij和如果满足下式,则称其为二阶张量.记为也可表示成矩阵形式二阶张量举例: 应力张量, 应变张量.nn阶张量 设有一个量，有3n个有序分量，在旧新两个直角坐标系中这个量的分量分别为 和 ，如果满足：则称这个量为n阶张量，记为例如：弹性系数张量Cijkl为四阶张量n可以通过以上几种张量定义，判断一个量是否是张量n张量的性质已知一个张量在某个直角坐标系内的分量分量以及直角坐标系的变换系数变换系数，则可求出该张量在另一直角坐标系内的分量如果某个张量在某个直角系内所有分量都等于“0”，则此张量在所有直角坐标系中的分量也全为“0”。

在直角坐标系ox1x2x3内，如果有张量Aij和Bij在旧坐标系内满足如下方程 ，旧新坐标系间的坐标变换系数为bij，则在新坐标内方程形式不变n结论：坐标变换时张量方程的形式是不变的，这和客观物理规律是一致的 例题1.4 张量的代数运算n张量的相等 如果两个同阶张量在一个坐标系中的每个对应分量都相等，则称这两个张量相等即： ，则 n张量加(减) 两个同阶张量的和(差)仍是一个同阶张量，其分量是原来两个同阶张量对应分量的和(差)如何证明？设由旧坐标ox1x2x3到新坐标系的坐标变换系数为bij，Aij和Bij分别是两个二阶张量，证明其和也是二阶张量证明： n张量乘积(并积)一个r阶张量A(3r个分量)和一个s阶张量B(3s个分量)的乘积是一个rS阶的张量CC有3r+s个分量，是A的3r个分量与B的3s个分量分别的乘积，记为由旧坐标系ox1x2x3到新坐标系的坐标变换系数为bij，Aij和Bijk分别是二阶和三阶张量，证明其乘积是五阶张量证明：n张量乘积运算的性质1.服从分配律，即：(A+B)C=AC+BC2.服从结合律，即：(AB)C=A(BC)3.不满足交换律，即：ABBAn张量的缩并 在r(r2)阶张量Ti1i2in中，令其任何两个指标相同，并对重复出现指标施行约定求和，称这种运算为缩并。

对r2阶张量进行一次缩并运算后得结果为r-2阶张量n试证明三阶张量Aijk缩并后为一阶张量证明：对于三阶张量，有 令j=i，有在上式中，i和m为哑指标，只表示求和因此，上式满足一阶张量定义成立！n张量的内积 在r(r0)阶张量A与s(s0)阶张量B的乘积中，对分别属于张量A和张量B的指标进行一次缩并，称如此所得的r+s-2阶张量为张量A与B的内积，记为AB对记号AB所表达内积中的缩并做一个约定约定：缩并是对A的最后一个指标和B的第一个指标进行的n 例:T与S是二阶张量，试求它们的内积 解：方法一 T=Tij，S=Smn 根据定义，有：TS=TijSjn 方法二 根据矢量的点乘，有n结论结论：张量的内积可以用缩并运算来表达，也可以通过两个张量点乘的方式来表达 例题1.5 商法则n由于通过坐标变换系数证明一个量是张量比较复杂，因此需要引入一种较简单的证明方式n引例：Aijk由33个有序数组成的一个量，对于任意的一阶张量ui,vj,wk都使Aijkuivjwk是个标量，则Aijk是一个三阶张量 证明： 所以，Aijk是三阶张量得证！n结论：33个有序分量组成的一个量与3个向量进行内积的结果是标量，则此量是3阶张量。

n引例2：Aijk由33个有序数组成的一个量，对任意的二阶张量都使其内积是一阶张量证明：Aijk是一个三阶张量n证明： 同样，由于Bij的任意性，所以 所以，Aijk是三阶张量 n结论：33个有序分量组成的一个量与2阶张量进行内积的结果是向量，则此量是3阶张量n商法则：如果任意任意的S阶张量与一组3r个有序数组成的量的内积，得到r-s阶张量，则此量是r阶张量例题n例1：tij有32个有序分量，如果对任意向量nj有ti=tijnj，其中ti是向量则tij为二阶张量n例2：Cijkl有34个有序分量，如果对任意二阶张量eij都有tij=cijklekl，其中tij是二阶张量则Cijkl是四阶张量如果ekl，tij为二阶零张量，等式成立，但不可判断Cijkl为四阶张量n通过商法则可以比较简便地判断一个量是不是张量坐标变换系数bij是二阶张量吗？为什么？ 1.6 几种特殊张量1.零张量所有分量全为零的张量被称为零张量例如二阶零张量：?二阶张量在旧坐标系内是零张量，则在新坐标系内也是零张量吗？2.单位张量若二阶张量Iij=dij，则称此二阶张量Iij为单位张量，记为I表示成矩阵形式为：零张量是零阶张量吗？单位张量性质: IA=AI=A证明： 得证！3.转置张量 若A=Aijeiej，则称二阶张量性质1：证明：二阶张量性质2：n逆张量 如果二阶张量A、B各自分量所构成的行列式都不等于零，且AB=BA=I，则A, B互为逆张量，记为A = B-1，B = A-1。

n正交张量 如果AAT= ATA = I，则称A是正交张量显然，对正交张量有A -1= ATn对称张量及反对称张量如果二阶张量Aij=Aji，则称此二阶张量A为对称张量二阶对称张量仅6个独立分量 若四阶张量Bijkl=Bkjil，则称此张量关于指标i,k对称 如果二阶张，Cij=-Cji则称此二阶张量C为反对称张量二阶反对称张量仅3个独立分量 若四阶张量Bijkl=-Bkjil，则称此张量关于指标i,k反对称 n性质张量的对称性质和反对称性质不因。