空间直线运动轨迹探讨.docx

2010届学士学位论文空间直线运动轨迹探讨院别、专业 研究方向 学生姓名数学科学学院数学与应用数学（师范类）解析几何指导教师姓名 指导教师职称 教授 2010 年 4 月17 日空间直线运动轨迹探讨摘要本文研究了由直线生成的曲面．首先给出了具有较为突出的几何特征的直线 运动轨迹，如平面、柱面、锥面，然后着重探究了单叶双曲面和双曲抛物面也是 直线运动的轨迹，通过举例，对不同的情形运用不同的建立直线运动轨迹方程的 方法得到轨迹方程，如建立坐标系、消去参数、利用平面束等方法，根据轨迹方 程判断直线运动的轨迹，使人们对单叶双曲面和双曲抛物面是由直线生成的形象 不再半信半疑．关键词： 空间，直线运动，曲面，轨迹方程Explore on the Trajectory of Space LinearAbstractIn this paper, we have studied the surface generated by straight line. Firstly, we introduce the linear motion trajectory with the more prominent geometric features, such as plane, cylinder, cone, then focus on exploring hyperboloid and hyperbolic paraboloid is linear motion trajectory, by way of example, different situations using different established linear motion trajectory equation methods to get the trajectory equation, such as establishment of coordinate system, elimination the parameters, using plane beam and so on. Then according to the trajectory equation, determine the trajectory of linear motion, make people on the hyperboloid and hyperbolic paraboloid generated by the linear image is no longer doubtful.Key words： space，linear motion，surface，trajectory equation目录引言 1一、具有较为突出几何特征的直线运动的轨迹 1（一）柱面 1（二）锥面 2二、直线运动轨迹进一步探讨 3（一）单叶双曲面 3（二）双曲抛物面 6结论 9参考文献 10致谢 11引言同一条直线在运动的过程中 ,所遵循的规律不同,轨迹就呈不同的曲面 .本文 首先从具有较为突出几何特征的直线运动轨迹入手 ,再对其他的情形,运用建立坐 标系、消去参数、利用平面束等方法建立直线运动的轨迹方程,根据方程判断直线 运动的轨迹.一、具有较为突出几何特征的直线运动的轨迹(一)柱面定义1川在空间,由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生 成的曲面叫做柱面.如果一条直线在运动过程中始终与空间的一条曲线相交且平行于某一固定的 非零矢量, 那么它的轨迹是柱面.显然, 柱面可视为空间中一条直线当它沿着另一 条曲线作平行于固定方向运动时形成的轨迹［2!.例1.将直线-二口二-绕z轴旋转，求这个旋转曲面的轨迹.0011(1)解 设M (x,y ,z )是母线上的任意点因为z轴通过原点,所以过M的纬圆方1 1 1 1程是z 一 z = 01,X 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2111由于M (x ,y ,z )在母线上，所以又有1 1 1 1x y 一 1 z(2)—1 — 1 = 1,001即x — 0, y — 1 .11由(1),(2)两式消去x ,y ,z得所求旋转曲面的方程为x 2 + y 2 二 1,所以这个旋转曲面的轨迹是圆柱面.二)锥面定义2m在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面.在空间直角坐标系下, 由方程x2 y 2+ -a 2 b2z2—=0,c2所表示的曲面叫二次锥面, 其中 a、b、c 为任意的正常数.如果这条直线在运动过程中始终与空间的一条曲线相交且过一个定点 , 那么 它的轨迹是锥面 .显然, 圆锥面可视为空间中一条直线通过一个定点 , 并沿着一条 曲线移动时的轨迹叨.例2.将直线X二y二Z绕z轴旋转，求这个旋转曲面的轨迹.201解设M (x,y ,z )是母线上的任意点，因为z轴通过原点,所以过M的纬圆方1 1 1 1 1程是(1)(2)z 一 z = 01x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2111由于M (x ,y ,z )在母线上，所以又有1 1 1 1x y zi 二 i 二 i ,201即x — 2 z , y = 0. i i i由(1),(2)两式消去 x , y ,z 得所求旋转曲面的方程为iiix 2 + y 2 — 4 z 2 — 0,所以这个旋转曲面的轨迹是圆锥面.直线运动轨迹的进一步探讨一）单叶双曲面定义3【3]在空间直角坐标系下，由方程x2 y 2+ -a 2 b2所表示的曲面叫单叶双曲面， 其中 a、b、c 为任意的正常数. 通过对单叶双曲面的性质的研究得知，它是不可展曲面， 并且可画出它的图形 （图略）， 令人兴奋的是它既可由椭圆或双曲线构成， 又可由动直线生成.例3.设直线l与m为互不垂直的两条异面直线,C是l与m的公垂线的中点,A、 B两点分别在直线/, m上滑动，且ZACB = 90。

求直线A B的轨迹.分析 适当建立坐标系推导动直线的轨迹方程建立动直线的轨迹方程, 若条件中不具体给出某些元素（如平面、直线等）的方 程,则需先建立坐标系, 得到有关元素的方程, 再去推导所求轨迹方程.而且建立的 坐标系是否适当, 将直接影响到运算过程的繁简【4].解 以两直线l与m的公垂线为z轴,公垂线的中点C为原点，l与m的角分线为x 轴建立坐标系 【5] .令 Z（l,m）= 2 , l 和 m 与 z 轴分别交于M（0,0, a）和"（0,0,-a）则l与m的方程分别为：x = t cos ail: < y = t sin a ,1z = ax =t cosa2m: < y = -t sin a ,2z = - aA、 B 点的坐标分别为：A (t cosa, t sin a, a )、 11B(t cosa, -t sina, -a),2则矢量 CA = {t cosa, t sin a, a},11CB= {t cosa, -t sina,-a22ZACB = 9011 cos2 a -11 sin2 a - a2 二 0,1 2 12又•/ 2a 丰 90°,cos2 a 丰 0,. t t12a 2cos 2a(1)另一方面，直线AB :彳x = t cos a + u (t -1 )cos a y = t sin a - u (t +1 )sin a ,1 2 1z = a - 2 au. tt12a 2 x 2 y 2a2 — z2 cos2 a sin2 a(2)由(1)、(2)得：a 2 _ a 2 x 2 y 2cos2a a2 — z2 cos2 a sin2 a整理得：x2 y2 z 2— + =1,cos2 a sin2 a a2a 2 a 2cos2a cos2 a这就是直线AB的轨迹方程，所以直线AB的轨迹是单叶双曲面.例 4. 求与三条直线字=学都共面的直线所构成的曲面.分析 利用动直线上任意点的坐标所满足的关系求出即为动直线的轨迹方程解 设动直线的方向数为a : b : c,动直线上的任意一点M (x, y,z),由题设得:x — 1yzx + 1yzx — 2y+1z + 2A =011=0,A =01—1=0,A =—345=0,1abc2abc3abc所以(c—b)(x—1)+a(y—z)=0(c+b)(x+1)+a(—y—z)=0 ,(4c—5b)(x—2)+(5a+3c)(y+1)—(3b+4c)(z+2)=0由方程消去参数 a,b,c 并化简整理得x 2 + y 2 — z 2 二 1, 显然,所求动直线的轨迹是单叶双曲面.例 5. 求下面直线族所成的曲面 :（1）I x + 2 九 y + 4 z 二 4 九［九 x — 2 y — 4 九 z 二 4分析 用消参法建立直线的轨迹方程解 由方程组消去参数九，得x 2 —16 z 2 二 16 — 4 y 2, 即x2 y 2+ — z 216 4显然, 所成的曲面是单叶双曲面.例6将直线右二畔二I绕z轴旋转,求这个旋转曲面的轨迹•（其中解 设M （x,y ,z ）是母线上的任意点，因为z轴通过原点,所以过M的纬圆1 1 1 1 1方程是(1)(2)I z — z = 0I x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2111由于M (x ,y ,z )在母线上，所以又有1 1 1 1x y —B zf 二 1 二 i,j01即x =az , y ,1 1 1由（1）,（2）两式消去x,y ,z得所求旋转曲面为111显然,该直线的轨迹是单叶双曲面.通过对以上直线轨迹的求解 , 使学生真正体会到单叶双曲面也是直线运动的 轨迹.二）双曲抛物面定义4囤在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫双曲抛物面，其中a、b为任意正常数.同样双曲抛物面也是不可展曲面.它既可由抛物线或双曲线构成， 又可由直线 生成.I x 二 0 I x 二 1例7.求与平面x + y + z二0平彳亍，且与直线：〈：L二0 12： | z二0都共面的动直线构成的曲面.分析 利用平面束建立动直线的轨迹方程对于所给条件中 ， 含有两直线共面的问题 ， 可以利用有轴平面束， 来推导轨迹 方程.解【6］设动直线为L,因为过直线l和l的平面束分别为:12(1)(2)(3)x + 九 y = 0, 与x — 1 +卩 z = 0,且L与l、l共面，所以。