高等数学上册第五节函数的微分及其应用.ppt

©二、微分的几何意义二、微分的几何意义四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用三、微分的运算法则三、微分的运算法则第五节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第二章 ©一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为设薄片边长为 x , 面积为面积为 A , 则则面积的增量为面积的增量为关于关于△△x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小时为时为故故称为函数在称为函数在 的微分的微分当当 x 在在取取得增量得增量时时,变到变到边长由边长由其其©的的微分微分,定义定义: 若函数若函数在点在点 的增量可表示为的增量可表示为( A 为不依赖于为不依赖于△△x 的常数的常数)则称函数则称函数而而 称为称为记作记作即即定理定理: 函数函数在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是即即在点在点可微可微,©定理定理 : 函数证证: “必要性必要性” 已知在点 可微 , 则故在点 的可导, 且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导, 且即©定理定理 : 函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导, 且即“充分性充分性”已知即在点 的可导, 则©说明说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当©当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分, 记作记记二. .微分的几何意义微分的几何意义©例例1 设设求当求当及时，函数的增量和微分的值时，函数的增量和微分的值 . .解解:当时，函数的增量 则时， 则时，©三、三、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变式微分形式不变式5. 复合函数的微分则复合函数基本初等函数的微分公式 (见 P72表)©例例3.设设解解:，求 ©例例4.设设 求解解:先化简先化简©例例+. 设设求求 解解: 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有例例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意注意: 数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性.©四、四、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:（一）（一）函数值的近似计算函数值的近似计算©特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得©解解: 以以例例6.半径为半径为10 10 厘米的金属圆片加热后，厘米的金属圆片加热后， 半径伸长了厘米，半径伸长了厘米， 问面积达约增加了多少？问面积达约增加了多少？分别表示圆片的面积及半径，分别表示圆片的面积及半径， 则则当当厘米，厘米， 厘米，时厘米，时 面积的增量面积的增量（厘米（厘米2 2））©的近似值的近似值 .例例7. 求求解解: 设设 则则令令则由则由得得©的近似值的近似值 .例例8. 求求解解: 由公式由公式©内容小结内容小结1. 微分概念微分概念• 微分的定义及几何意义微分的定义及几何意义• 可导可导可微可微2. 微分运算法则微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量是自变量或中间变量 )3. 微分的应用微分的应用近似计算近似计算估计误差估计误差©思考与练习思考与练习1. 设函数设函数的图形如下的图形如下, 试在图中标出的点试在图中标出的点处的处的及及并说明其正负并说明其正负 .©2.©1. 已知已知求求解解：：因为因为所以所以备用题备用题©方程两边求微分方程两边求微分, 得得已知已知求求解：解：2.2.©（二）函数的误差估计（二）函数的误差估计例例1.1. 计算球的体积可精确至１％，计算球的体积可精确至１％， 若根据这个体积若根据这个体积来推算球的半径来推算球的半径 则则的相对误差是多少？的相对误差是多少？解解: 由公式由公式则则于是　　于是　　 因此因此 ©例例2.2.有一批半径为有一批半径为1cm 的球的球 , 为了提高球面的光洁度为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为已知球体体积为镀铜体积为镀铜体积为 V 在在时体积的增量时体积的增量因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克用铜多少克 . 估计一下估计一下, 每只球需每只球需要镀上一层铜要镀上一层铜 , 厚度定为厚度定为 0.01cm , 。