函数的周期性与函数的图象(最全解析版).doc

八、函数的周期性㈠主要知识：1. 周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个X，都存在非零常数T，使得/(x+T)=/(x)恒成立，则称函数/(x)具有周期性，T叫做/(x)的一个周期，则kT(k,乙k丰0)也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期.2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y=f„x丿满足对定义域内任一实数x(其中a为常数),① f„x)、f„x+a…，则y厂f是以T二a为周期的周期函数；② f„x+a)=-f„x…，则f丿是以T二2a为周期的周期函数；+a=±1f„x…，则f„x…是以T二2a为周期的周期函数;-af(a+x)+f(b一x)=c,函数y二f(x)关于点(字)对称+a⑤f(x+a)=f，则fC…是以T=2a为周期的周期函数.⑥f(x+a)一f'则fC…是以以=4a为周期的周期函数.⑦f(x+a)=f'则fC…是以T=4a为周期的周期函数.⑧函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a—x)(a>0)，若f(x)为奇函数，则其周期为T二4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T二2a.⑨ 函数y=f(x)„x,R…的图象关于直线x二a和x=b„a

② 函数y=f(x)的图象关于原点对称(奇函数)of(-x)=-f(x)③ 函数y=f(x+a)是奇函数of(x)关于点C,o…对称2、两个函数的对称性：① y€f(x)与y€—f(x)关于x轴对称② y€f(x)与y€f(—x)关于Y轴对称③ y€f(x)与y€f(2a—x)关于直线x€a对称函数y€f(mx―a)与函数y€f(b―mx)的图象关于直线x€a,b对称.2m函数y€/(a-x)与函数y€(x-b)关于直线x€对称2特殊地：y€/(x—a)与函数y€/(a-x)的图象关于直线x€a对称⑤ y€f(x)与y€2a—f(x)关于直线y=a对称⑥ y€f(x)与y€2b—f(2a—x)关于点(a,b)对称⑦ y€f(x)与y€f—1(x)关于直线y€x对称例1定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5—x)€f(5+x)，则f(x)一定是()A. 是偶函数，也是周期函数B. 是偶函数，但不是周期函数C. 是奇函数，也是周期函数D. 是奇函数，但不是周期函数解：因为f(10+x)为偶函数，所以f(10+x)€f(10—x)所以f(x)有两条对称轴x€5与x€10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数,所以x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。

故选(A)例2设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)€f(1—x)，当—1

故y=f(x)是以2为周期的周期函数，・.f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(—0.6)=0.3练习2设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=—f(x)，当0WxW1时,f(x)=x,贝f(7.5)=()(A)0.5(B)—0.5(C)1.5(D)—1.5解：Ty=f(x)是定义在R上的奇函数，.••点(0,0)是其对称中心;又Tf(x+2)=—f(x)=f(—x)，即f(1+x)=f(1—x)，•.直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数•・f(7.5)=f(8—0.5)=f(—0.5)=—f(0.5)=—0.5故选(B)练习3(08湖北卷6)已知f(x)在R上是奇函数，且f(X€4)二f(x),当x,(0,2)时，f(x)二2x2,贝f(7)二AA. —2B.2C.—98D.98练习4、(08四川卷)函数f(x„满足f(x„•f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=(C)“c132(A)13(B)2(C)(D)213练习5、(2010安徽理数)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2则f⑶—f⑷的值为()A、-1B、1C、-2D、2练习6、(09江西卷)已知函数f(x)是(-a,+8)上的偶函数，若对于x>0,都有f(x+2)=f(x)，且当x,[0,2)时，f(x)=log(x+1)，则f(-2008)+f(2009)的值2为(C)A.-2B.-1C.1D.2练习7、2009广东三校一模)定义在R上的函数f(x„是奇函数又是以2为周期的周期函数,则fG+f(4)+f(7)等于(B)A.-1B.0C.1D.4练习8、(2009全国卷I理)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，f(1)=2则f(2009)=(D)A、2009B、-2009C、—2D.、2练习9、f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，若f(0)=2008求f(2008)的值。

解:f(x+2)-1f(x+2)+1f(x+4)-1-1f(x+4)+r=-1f(x+4)—1+「f(x+4)f(x+4)+1=f(x+8)周期为8,•••f(2008)=f(0)=2008练习10、已知函数f(x)的定义域为R,则下列命题中:①若f(x—2)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=2对称;②若f(x+2)=—f(x—2)，贝9函数f(x)的图象关于原点对称;③ 函数y=f(2+x)与函数y=f(2—x)的图象关于直线x=2对称；④ 函数y=f(x—2)与函数y=f(2—x)的图象关于直线x=2对称.其中正确的命题序号是④•【解析】①是错误的,由于f(x-2)是偶函数得f(-x-2)=f(x-2),所以f(x)的图象关于直线x=-2对称；② 是错误的，由f(x+2)=-f(x-2)得f(x+4)=-f(x),进而得f(x+8)=f(x),所以f(x)是周期为8的周期函数；③ 是错误的，在第一个函数中，用-x代x,y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；④是正确的，令x-2二t,贝^2-x二-t,函数y=f(t)与y二f(-t)的图象关于直线t二0对称，即函数y二f(x-2)与y二f(2-x)的图象关于直线％二2对称.练习1l、f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是(D)A.2B.3C.4D.5【解析】・・・f(x)为奇函数，・丁(0)二0,又函数f(x)以3为周期，且f(2)二0,••・f(-2)二0,f(l)二0,f(4)二0,f(3)二0,f(5)二0,・•・在区间(0,6)内的解有1,2,3,4,5.故选D.练习12、对函数f(x),当x£(—(»,g)时，f(2—x)=f(2+x),f(7—x)=f(7+x),在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0.(1) 试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2) 试求方程f(x)=0在闭区间［—2005,2005］上的根的个数，并证明你的结论.【分析】由已知f(2+x)=f(2—x),f(7—x)=f(7+x)知f(x)的图象有两条对称轴x=2和x=7,从而知f(x)是周期为10的周期函数，又在区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0,画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期［0,10］上只有2个根，故易求得方程f(x)=0在的根的个数.【解】(1)由已知得f(0)^0,(x)不是奇函数，又由f(2-x)=f(2+x),得函数y二f(x)的对称轴为x=2,・・・f(—1)=f(5)丸，・・・f(T)M(1)，・f(x)不是偶函数.故函数y二f(x)是非奇非偶函数；(2)由f(4-x)二f(14-x)f(x)二f(x+10),从而知y二f(x)的周期是10.又f(3)二f(1)二0,f(11)二f(13)=f(-7)=f(-9)二0,故f(x)在［0,10］和［—10,0］上均有两个解，从而可知函数y二f(x)在［0,2005］上有402个解,在上［—2005,0］有400个解,所以函数y=f(x)在［—2005,2005］上有802个解.九、函数的图象1. 描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。

2. 描点法：通过、、三步，画出函数的图象，有时可利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性)以利于更简便的画出函数的图象3. 函数图象变换：.图象变换法(1) 平移变换① 水平平移：y=f(x土a)(a>0)的图象，可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.② 竖直平移：y=f(x)±b(b>0)的图象，可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移a个单位而得到.(2) 对称变换① y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称.② y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称.③ y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.④ y=f-1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称.⑤ y=lf(x)l的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴作y=f(x)的图象的对称部分，其余部分不变.⑥ y=f(lxl)的图象可将y=f(x),x>0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出xV0的。