《初等矩阵及其性质》ppt课件.ppt

第五节 初等矩阵（Elementary Matrix ） 及其性质,初等矩阵的概念与性质 用初等变换求逆矩阵 问题与思考,第二章 矩阵概念及其运算,一、初等矩阵的概念与性质,【定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.,初等矩阵分为三类,分别记为Eij、Ei（k）、 Eij（k）；,如对三阶单位矩阵,E23=,（1）Eij: 交换单位矩阵的第 行（列），得到的初等矩阵,:单位矩阵E的第 行（列）元素乘以常数 ， 得到的初等矩阵,E3（k）=,如对三阶单位矩阵,：单位矩阵 的第 行(第 列)乘以常数 加到第 行(第 列)，得到的初等矩阵,如对三阶单位矩阵,E12（k）=,1）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.,初等矩阵有以下性质：,行变换：,,,,,,,如：,,,,,,,,用初等矩阵表示矩形框里的矩阵：,,2）初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,即:,行变换：,,,,,,,,3） 初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：,【定理2.4】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵P1，P2，…,Pk，使,A=P1P2…Pk.,【证】,充分性:设有初等阵P1，P2，…,Pk , 使,A=P1P2…Pk.,因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所以A可逆。

即 A= P1P2…Pk,,必要性：设A是可逆阵，所以R(A)=n,A经初等变换可以化成单位矩阵E，从而经有限次初等变换可以将E变成A，,存在有限个初等阵P1,P2,…,Pl,Pl+1,…,Pk,使,A= P1P2…PlEPl+1…Pk,,证毕,二、用初等变换求逆矩阵,【推论1】两个 型矩阵A、B等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.,证,A与B等价 存在有限个 阶初等矩阵,及有限个 阶,初等矩阵 使,令,由定理2-4知P是 阶可逆矩阵,Q为 阶可逆矩阵,且 PAQ=B,R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A),【推论2】设A是 矩阵,P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵.则,【推论3】设A是可逆矩阵,则可以只经过初等行变换化成单位矩阵E.,这表明,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵.,,【证推论3】,因A可逆,,所以A-1也可逆,,由定理2.4存在初等阵P1,P2,…,Ps,使,A-1= P1P2…Ps,因为 A-1A=E 于是有P1,P2,…,PsA=E,二、用初等变换求逆矩阵,得 : P1P2…PsA=E P1P2…PsE=A-1,1.用初等变换求逆矩阵,设A是n阶可逆矩阵,则A-1 也可逆。

从而存在初等阵P1,P2,…,Ps,由 A-1A=E; A-1E= A-1;,结论: 若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵E时,则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵E化成了逆矩阵A-1,,用初等变换求逆矩阵的方法:,2)做初等行变换,,例1,,求A的逆矩阵,其中,【解】,,由于,,,,,,,,所以:,注:也可用初等列变换求可逆矩阵的逆,如上例:,,,=A-1,2.用初等变换解矩阵方程,（1）设矩阵方程为:AX=B,其中A可逆,则矩阵X=A-1B,由 A-1A=E; A-1B= X;,设:A-1 =P1P2…Ps (Pi为初等矩阵),得 : P1P2…PsA=E P1P2…PsB=X,解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的一般方法:,（2）当矩阵A可逆时,如何用初等变换求解矩阵方程:XA=B ?,想一想,,例2:设矩阵方程为AX=B,求矩阵X,其中,解:,由于,所以,例3,,,,,,设矩阵 矩阵 满足 ,其中 是 的伴随矩阵，求 .,例四６６页 ６,解：,三、小结,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 变换类型相同．,3.矩阵等价具有的性质,5. 初等变换的应用,用初等变换求逆矩阵的方法:,用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的方法:,用初等变换解矩阵方程:XA=B(其中A可逆)的方法:,作业： 6２页 习题2-5 1;2;3 6６页 总习题二 6;,四、问题与思考 习题2-4,1. 矩阵A可逆,且 则A= ;,2. 设矩阵方程: 则X= ;,问题与思考答案,练习 将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化为行最简形,最后化为标准形.,注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换. 化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用.,,,,,,,依次为行阶梯形和行最简形矩阵。

练习 ：求方阵 的逆矩阵例4 求解矩阵方程AX=A+X,其中,解 把所给方程变形为,( A-E ) X = A.,,,,,,,A-E ~ E, A-E可逆,且,。